圆 精炼卷含答案.docx
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圆精炼卷含答案
2018年九年级数学中考专题--圆精炼卷
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．
（1）求证：
直线BF是⊙O的切线．
（2）若CD=2
，OP=1，求线段BF的长．
如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,延长BC到点F，连接AF,使∠ABC=2∠CAF．
（1）求证：
AF是⊙O的切线；
（2）若AC=4，CE：
EB=1：
3，求CE的长．
如图,▱ABCD中,AB=2,以点A为圆心,AB为半径的圆交边BC于点E,连接DE,AC,AE.
（1）求证:
△AED≌△DCA．
（2）若DE平分∠ADC且与☉A相切于点E,求图中阴影部分（扇形）的面积.
如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连接PD.
（1）求证：
PD是⊙O的切线；
（2）求证：
PD2＝PB·PA；
（3）若PD＝4，tan∠CDB＝0.5,求直径AB的长．
如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线的一点,AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F,且CE=CF．
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6,BD=3,求AE和BC的长．
如图,⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于E、F两点,连结DE.已知∠B=30°,⊙O的半径为12,弧DE的长度为4π．
（1）求证：
DE∥BC；
（2）若AF=CE,求线段BC的长度．
如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，边BC是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD．
⑴求证：
AD平分∠BAC；
⑵若AC=8，tan∠DAC=0.75，求⊙O的半径．
如图,已知AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：
BD是⊙O的切线；
（2）求证：
CE2=EH·EA；
（3）若⊙O的半径为5,sinA=
求BH的长．
如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．
（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：
直线CD是⊙O的切线．
如图，AC是⊙O的直径，BF是⊙O的弦，BF⊥AC于点H，在BF上截取KB=AB，AK的延长线交⊙O于点E，过点E作PD∥AB，PD与AC、BF的延长线分别交于点D、P．
（1）求证：
PD是⊙O的切线；
（2）若AK=
，tan∠BAH=
，求⊙O半径的长．
如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：
AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．
如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
（1）求证：
PC是⊙O的切线；
（2）求证：
2BC=AB；
（3）点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
如图,△ABC中,AB=AC,点D为BC边上一点,且DA=DC,过A,B,D三点作⊙O,AE是⊙O的直径,连接DE．
（1）求证：
AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=0.8,AC=12,求⊙O的直径．
如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．
（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；
（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，
（1）的结论是否还成立？
请说明理由；
（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1.
（1）证明：
∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠AFB=∠ADC，
∴CD∥BF，∴∠AFD=∠ABF，
∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：
连接OD，∵CD⊥AB，∴PD=
CD=
，
∵OP=1，∴OD=2，∵∠PAD=∠BAF，∠APO=∠ABF，∴△APD∽△ABF，
∴
=
，∴
=
，∴BF=
．
2.
（1）证明：
连接BD，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°，∵BA=BC，∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD
∵∠ABC=2∠CAF，∴∠ABD=∠CAF，
∵∠ABD+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，∴AF是⊙O的切线；
（2）解：
连接AE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°，即△AEB为直角三角形，
∵CE：
EB=1：
3，设CE长为x，则EB长为3x，BC长为4x．则AB长为4x，
在Rt△AEB中由勾股定理可得AE=
，在Rt△AEC中，AC=4，AE=
，CE=x，
由勾股定理得：
，解得：
，∵x＞0∴
，即CE长为
．
3.
（1）∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB;在▱ABCD中,AB=CD,AD∥BC,∠ABE=∠ADC,
∴DC=AE,∠DAE=∠AEB=∠ADC;
在△ADE与△DAC中,DC=AE,∠DAE=∠ADC,AD=DA,∴△AED≌△DCA．
（2）∵DE平分∠ADC且与☉A相切于点E,AE是☉A的半径,
∴∠AED=90°,∠ADE=∠EDC,
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC=∠CDE,∴CD=CE.
由
（1）中结论,可知∠AED=∠DCA=90°,DC=AE=CE,[∴∠ACE=∠EAC.
∵∠CAE+∠BAE=90°,∠ACE+∠ABE=90°,∴∠BAE=∠ABE,∴BE=AE=AB,
∴△ABE是等边三角形,∴∠BAE=60°.∴阴影部分的面积为:
=
π.
4.解：
（1）证明：
连接OD，OC.∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°.
∵直径AB⊥CD，∴O，P是CD垂直平分线上的点，∴OD＝OC，PD＝PC.
又∵OP＝OP，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP＝∠OCP＝90°.
又∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：
∵∠ODP＝90°，∴∠PDB＋∠ODB＝90°.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠PDB＝∠ADO＝∠A．
又∵∠DPB＝∠APD，∴△DPB∽△APD，∴PD∶PA＝PB∶PD，∴PD2＝PB·PA．
（3）∵∠A＋∠ABD＝90°＝∠CDB＋∠ABD，∴∠A＝∠CDB.
又∵tan∠CDB＝0.5，∴tanA＝0.5，∴AD＝2BD.
∵△DPB∽△APD，∴PD∶PA＝PB∶PD＝BD∶DA＝1：
2.
又∵PD＝4，∴PA＝8，PB＝2，∴AB＝6.
5.证明：
（1）连接OC；
∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE=CF，∴∠1=∠2．
∵OA=OC，∴∠2=∠3，∠1=∠3．∴OC∥AE．∴OC⊥CD．∴DE是⊙O的切线．
（2）∵AB=6，∴OB=OC=0.5AB=3．在Rt△OCD中，OD=OB+BD=6，OC=3，
∴∠D=30°，∠COD=60°．
在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，∴AE=0.5AD=4.5．
在△OBC中，∵∠COD=60°，OB=OC，∴BC=OB=3．
6.
（1）证明：
连接OD、OE，
∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，
又∵弧DE的长度为4π，∴4π=
，∴n=60，
∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，∴∠B=∠EDA，∴DE∥BC．
（2）解：
连接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF=∠C=90°，∴FD是⊙0的直径，
由
（1）得：
∠EFD=
∠EOD=30°，FD=24，∴EF=12
，
又∵∠EDA=30°，DE=12，∴AE=4
，
又∵AF=CE，∴AE=CF，∴CA=AE+EF+CF=20
，
又∵tan∠ABC=tan30°=
，∴BC=60．
7.解：
（1）连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC∴∠ODB=90°
又∵∠C=90°∴AC∥OD∴∠CAD=∠ADO
又∵OA=OD∴∠OAD=∠ADO∴∠CAD=∠OADAD平分∠BAC
（2）在Rt△ACD中AD=10连接DE，∵AE为⊙O的直径∴∠ADE=90°∴∠ADE=∠C
∵∠CAD=∠OAD∴△ACD∽△ADE∴AE=12.5.∴⊙O的半径是6.25.
8.
（1）证明：
∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：
连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，∴
，∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴
，∴CE2=EHEA；
（3）解：
连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=
，∴AB=10，BE=ABsin∠BAE=10×
=6，
∴EA=
=
=8，∵
，∴BE=CE=6，∵CE2=EHEA，∴EH=
=
，
在Rt△BEH中，BH=
=
=
．
9.
（1）解：
∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB=90°，
又∵BC=3，AB=5，∴由勾股定理得AC=4；
（2）证明：
∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠BAC，
又∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA=∠CBA，
又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠OBC=90°，∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．
10.解：
（1）连接OE，∵OE=OA，∴∠OEA=∠OAE，∵PD∥AB，∴∠PEA=∠BAE，
∵KB=AB，∴∠AKB=∠BAE，∴∠PEA=∠AKB，
∵BF⊥AC，H为垂足，∴∠OAE+∠AKB=90°∴∠OEA+∠PEA=90°，
即OE⊥PD，∴PD是⊙O的切线；
（2）解：
∵tan∠BAH=
，BF⊥AC，H为垂足，且KB=AB，
在Rt△ABH和Rt△AKH中，设AH=3n，则BH=4n，AB=5n，KH=n，
∴由AH2+KH2=AK2，即（3n）2+n2=（
）2，解得n=1，∴AH=3，BH=4，
设⊙O半径为R，则在Rt△OBH中，OH=R﹣3，
由OH2+BH2=OB2，即（R﹣3）2+42=R2，解得：
R=
，∴⊙O半径的长为
．
11.
12.解：
（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP
∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线
（2）∵PC=AC∴∠A=∠P∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB∴∠CBO=∠COB
∴BC=OC∴2BC=AB
（3）连接MA,MB
∵点M是弧AB的中点∴弧AM=弧BM∴∠ACM=∠BCM
∵∠ACM=∠ABM∴∠
BCM=∠ABM
∵∠BMC=∠BMN∴△MBN∽△MCB
∴BM:
MC=MN:
BM∴BM2=MC·MN
∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB=4∴BM=
∴MC·MN=BM2=8
13.
（1）证明：
∵AB=AC，AD=DC，∴∠C=∠B，∠1=∠C，∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，∴∠1=∠E，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；
（2）解：
过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，∴CF=
AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC=
=
，
设DF=4x，DC=5x，∴CF=
=3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，
∴
=
，即
=
，解得AE=
，即⊙O的直径为
．
14.
（1）PN与⊙O相切．证明：
连接ON，则∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠OAN=90°．即PN与⊙O相切．
（2）成立．证明：
连接ON，则∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．在Rt△AOM中，
∵∠OMA+∠OAM=90°，∴∠PNM+∠ONA=90°．∴∠PNO=180°﹣90°=90°．即PN与⊙O相切．
（3）解：
连接ON，由
（2）可知∠ONP=90°．
∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，∴∠PON=60°，∠AON=30°．
作NE⊥OD，垂足为点E，则NE=ON•sin60°=1×
=
．
S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=
OC•OA+
CO•NE
=
×1×1+
π﹣
×1×
=
+
π﹣
．
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