车头时距服从负指数分布的车流的特性 - 西南科技大学网络教育学院.pptx

车头时距服从负指数分布的车流的特性 - 西南科技大学网络教育学院.pptx

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第四章交通流理论,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,主讲陈健,E_mail:

西南科技大学网络教育系列课程,第四章交通流理论,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,交通工程学理论基础的交通流理论是：

运用物理学和数学的方法来描述交通特性的一门边缘科学，它用分析的方法阐述交通现象及其机理，使我们能更好地理解交通现象及其本质，并使城市道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功效。

本章主要内容：

概述交通流的统计分布特性排队论的应用跟驰理论简介流体动力学模拟理论,4-1概述,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,交通流理论是发展中的科学，虽然现在还没有形成完整的体系，但有很多理论在探讨各种交通现象，本章学习：

四种交通流理论概率统计分布的应用；随机服务系统理论（排队论）的应用；流体力学模拟理论（波动理论）的应用；跟驰理论（动力学模拟理论）的应用。

4-2交通流的统计分布特性,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,一、含义与作用随机变量：

对随机试验来说，每次试验的结果可能不止一种情况。

如果我们将试验的结果用一个实数X来表示，那么对于试验结果的不同情况，X将取不同的值，所以X是一个变量。

这种随着随机试验结果的情况不同而取不同值的变量，称为随机变量。

离散型随机变量：

如果一个随机变量只可能取数轴上有限个或可数个孤立的值，并且对应于这些值有确定的概率，则称这个随机变量为离散型随机变量。

连续型随机变量：

如果一个随机变量所有可能取的值是充满某一区间，甚至整个数轴时，就称其为连续型随机变量。

4-2交通流的统计分布特性,二、离散型分布

（一）泊松分布1）适用条件：

车流密度不大，车辆间相互影响小，其它外界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的。

2）基本公式：

（4-1）式中：

P（k）在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率；单位时间间隔的平均到达率（辆/s或人/s）；t每个计数间隔持续的时间（s）或距离（m）；e自然对数的底，取值为2.71828。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,3）递推公式：

令m=t,则：

（4-2）,递推公式：

（4-3）分布的均值M和方差D都等于m,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,到达数小于k辆车（人）的概率：

（4-4）到达数小于等于k的概率：

（4-5）到达数大于k的概率：

（4-6）到达数大于等于k的概率：

（4-7）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,到达数至少是x但不超过y的概率：

（4-8）用泊松分布拟合观测数据时，参数m按下式计算：

（4-9）式中：

g观测数据分组数；fj计算间隔t内到达kj辆车（人）这一事件发生的次（频）数；kj计数间隔t内的到达数或各组的中值；N观测的总计间隔数。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,应用举例例：

设60辆车随机分布在10km长的道路上，其中任意1km路段上，试求：

无车的概率；小于5辆车的概率；不多于5辆车的概率；6辆及其以上的概率；至少为3辆但不多于6辆的概率；恰好为5辆车的概率。

4-2交通流的统计分布特性,解：

这里t理解为车辆数的空间间隔，为车辆平均分布率，m为计数空间间隔内的平均车辆数。

由=60/10t=1，因此m=t=6（辆），这里m即为计数空间间隔内的平均车辆数。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,无车的概率为：

小于5辆车的概率为：

不多于5辆车的概率为：

6辆及其以上的概率为：

至少为3辆但不多于6辆的概率为：

恰好为5辆车的概率为：

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,

（二）二项分布适用条件：

车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。

基本公式：

（4-10）式中：

P（k）在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率；平均到达率（辆/s或人/s）；t每个计数间隔持续的时间（s）或距离（m）；n正整数；p二项分布参数。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,（3）递推公式：

（4-11）,（4）均值M和方差D分别为:

M=npD=np（1-p）,（4-12）（4-13）,（5）如果通过观测数据计算样本均值m和方差，则可分别代替M和D，用下式求出p和n的估计值：

（4-14）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,例2：

在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车30辆，其中有30%的左转弯车辆，试求：

到达的5辆车中，有2辆左转弯的概率；到达的5辆车中，少于2辆左转弯的概率；某一信号周期内没有左转弯车辆的概率。

解：

1）p=30%，n=5，k=2,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,2）由：

p=30%，n=5，k=2,3）由：

p=30%，n=30，k=0,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,三、连续型分布描述前后车辆之间车头时距的分布时，常用连续型。

连续型分布常用来描述车头时距、或穿越空档、速度等交通流特性的分布特征。

1.负指数分布1）.适用条件：

用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布。

4-2交通流的统计分布特性,

（2）.基本公式：

P（ht）=e-t（4-15）式中：

p（ht）-到达的车头时距h大于t秒的概率；-车流的平均到达率（辆/s）；负指数分布常与泊松分布相对应，当来车符合泊松分布时，车头时距则符合负指数分布。

由公式：

可知，当车辆平均到达率为时，P（0）为计数间隔t内无车到达的概率。

可见，在具体的时间间隔t内，如无车辆到达，则在上一次车和下一次车到达之间车头时距h至少有t，即ht。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,或者说：

P（0）也就是车头时距h大于或等于t的概率。

对于任意的t，如果在t内没有车辆到达，上一次车和下一次车到达之间车头时距必然大于或等于t，即：

式中：

车辆平均到达率（辆/s）P（ht）车头时距大于或等于t（s）的概率车头时距小于t（s）的概率，可有下式求得：

（4-16）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,例3：

对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头时距大于或等于10s的概率。

解：

车头时距大于或等于10s的概率也就是10s以内无车的概率。

由=360/3600=0.1,同样，车头时距小于10s的概率为：

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,由上例可见，设车流的单向流量为Q（辆/h），则=Q/3600，于是负指数公式可改写成：

（4-17）负指数分布的均值M和方差D分别为：

（4-18）,（4-19）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,（3）车头时距服从负指数分布的车流的特性（图）其概率密度函数：

（4-20）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,P（t）的图象如图所示，曲线是单调下降的，说明车头时距愈短，其出现的概率愈大。

这种情形在不能超车的单列车流中是不可能出现的。

因为车辆的车头至车头的间距至少为一个大于零的最小值。

负指数分布在应用中的局限性即在于此。

负指数分布适用于车辆到达是随机的、有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的情况。

通常认为当每小时每车道的不间断车流量等于或小于500辆，用负指数分布描述车头时距是符合实际的。

图4-1,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-2交通流的统计分布特性,2.移位负指数分布

（1）适用条件：

用于描述能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。

（2）基本公式：

（4-21）分布的均值和方差：

移位负指数分布的局限性：

服从移位负指数分布的车头时距，愈接近L，其出现的可能性愈大。

这在一般情况下是不符合驾驶人的心理习惯和行车特点的。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-3排队论的应用,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,一、引言排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称随机服务系统理论。

在交通工程中，排队论被用来研究车辆延迟、信号配时、收费站、加油站等设施的设计与管理。

4-3排队论的应用,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,二、排队论的基本原理排队：

单指等待服务的顾客（车辆或行人），不包括正在被服务的顾客；排队系统：

既包括等待服务的顾客，又包括正在被服务的顾客。

排队系统的三个组成部分输入过程：

是指各种类型的顾客按怎样的规律到来。

定长输入泊松输入爱尔朗输入排队规则：

指到达的顾客按怎样的次序接受服务。

损失制等待制混合制服务方式：

指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为每一顾客服务了多少时间。

定长分布服务负指数分布服务爱尔朗分布服务,4-3排队论的应用,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,3.排队系统的主要数量指标最重要的数量指标有三个：

等待时间：

从顾客到达时起至开始接受服务时为止的这段时间。

忙期：

服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。

队长：

有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供的服务水平的一种衡量排队系统的主要数量指标,4-3排队论的应用,三、M/M/1系统及其应用由于M/M/1系统排队等待接受服务的通道只有单独一条，也叫“单通道服务”系统，如图。

图4-2设平均到达率为，则到达的平均时距为1/；排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为，则平均服务时间为1/；比率：

叫做交通强度或利用系数，可确定各种状态的性质。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-3排队论的应用,状态：

排队系统的顾客数。

如果1（即），且时间充分，每个状态都会按一定的非零概率反复出现；当1（即），任何状态都是不稳定的，而排队的长度会变得越来越长。

要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件是1（即）。

例如：

某高速公路进口收费站平均每10s有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要8s，即:

1/=10s；1/=10s如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-3排队论的应用,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,当比率1（即），系统处于稳定状态：

（1）在系统中没有顾客的概率,（4-22）,P（0）=1-

（2）在系统中有n个顾客的概率P（n）=n（1-）,（4-23）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-3排队论的应用,例1：

修建一个服务能力为120辆/h的停车场，布置一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为72辆/h，进入停车场的引道长度能够容纳5辆车，是否合适。

解：

=72（辆/h）,=120（辆/h）=/=0.61，排队系统是稳定的。

进入停车场的引道长度能够容纳5辆车,如果系统,中的平均车辆数小于5辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆必然影响交通。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-3排队论的应用,验证系统中平均车辆数超过5辆车的概率P（5），,如果P（5）很小，则得到“合适”的结论正确。

由：

验证结果表明：

系统中平均车辆数超过5辆车的概,率P（5）不足5%，概率很小，进入停车场的引道长度是合适的。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-4跟驰理论简介,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,一、引言是运用动力学方法，探究在无法超车的单一车道上车辆排队行驶时，后车跟随前车的行驶状态，并且借助数学模型式表达并加以分析的一种理论。

二、车辆跟驰特性分析跟弛理论只研究非自由行驶状态下车的特性。

非自由行驶状态：

在道路上行驶的一队高密度汽车，车间距离不大，车队中任一辆车的车速都受前车速度的制约，司机只能按前车所提供的信息采用相应的车速。

4-4跟驰理论简介,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,非自由行驶状态的车队有以下三个特性：

制约性：

紧随要求，车速条件，间距条件。

延迟性：

前车在t时刻的动作，后车在（t+T）时刻才能动作。

传递性：

第一辆车制约第二辆车-第n辆车制约第（n+1）辆车。

4-4跟驰理论简介,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,三、线性跟驰模型跟驰模型是一种刺激反应的表达式。

驾驶人所接受的刺激是指其前方导引车的加速或减速以及随之而发生的这两车之间的速度差和车间距离的变化；驾驶人对刺激的反应是指其为了紧密而安全地跟踪前车的加速或减速动作及其实际效果。

假定驾驶员保持他所驾驶车辆与前导车的距离为S（t），以便在前导车刹车时能使车停下而不致于和前导车尾相撞。

设驾驶员的反应时间为T，在反应时间内车速不变，这两辆车在t时刻地相对位置如图所示，图中n为前导车，n+1为后随车。

4-4跟驰理论简介,图4-3线性跟驰模型示意图,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-4跟驰理论简介,两车在刹车操作后的相对位置如图所示。

第i辆车在时刻t的位置；两车在时刻t的间距，且:

后车在反应时间T内行驶的距离；后随车在减速期间行驶的距离；前导车在减速期间行驶的距离；停车后的车头间距；第n+1辆车在时刻t的速度。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-4跟驰理论简介,假定，要使在时刻t两车的间距能保证在突然刹车事件中不发生碰撞，则应有：

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-4跟驰理论简介,上式是在前导车刹车、两车的减速距离相等以及后车在反应时间T内速度不变等假定条件下推导出来的。

实际的跟车操作要比这两条假定所限定的情形复杂得多，例如刺激也可能是有前车加速引起。

而两车的变速过程中行驶的距离可能不相等。

为了适应更一般的情况，把上式修改为：

（4-30）式中称为反映强度系数，量纲为s-1，这里不再理解为敏感度，而应看成是与驾驶员动作的强弱程度直接相关。

它表明后车的反应与前车的刺激成正比，此公式称为线性跟弛模型。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-4跟驰理论简介,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,三.线性模型的稳定性局部稳定:

指前后两车之间的变化反应。

例如两车车距的摆动，如摆动大则不稳定，摆动愈小则愈稳定，这称为局部稳定。

渐近稳定:

是引导车向后面各车传播速度变化。

如扩大其速度振幅，叫做不稳定，如振幅逐渐衰弱，则叫做稳定，这称为渐近稳定。

4-5流体动力学模拟理论,一、引言,流体动力学理论建立AB,连续理论：

Q1Q2A1*V1A2*V2Q：

立方米/秒,流体动力学模拟理论。

该理论运用流体动力学的基本原理，模拟流动的连续性方程，建立车流的连续性方程。

把车流密度的变化，比拟成水波的起伏而抽象为车流波。

当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在车流中产生车流波的传播，通过分析车流波的传播速度，以寻求车流流量和密度、速度之间的关系，并描述车流的拥挤消散过程。

因此，该理论又称为车流波动理论。

A1V1Q1,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,A2V2Q2,4-5流体动力学模拟理论,车流连续性方程的建立设车流顺次通过断面和的时间间隔为t，两断面的间距为x。

车流在断面的流入量为Q、密度为K；同时，车流在断面的流出量为：

（Q+q），（K-K），其中：

K的前面加一负号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量增加而减小。

QK,xtQ+QK-K,K,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,Q,（K,Q）,（K-K,Q+Q）,4-5流体动力学模拟理论,根据物质守恒定律，在t时间内：

流入量-流出量=x内车辆数的变化，即：

Q-（Q+Q）t=K-（K-K）x或：

，取极限可得：

含义为：

当车流量随距离而降低时，车辆密度随时间而增大。

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-5流体动力学模拟理论,二、车流波动理论列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；绿灯启亮后，排队的车辆又陆续起动而疏散成一列肯有适当密度的车队。

车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。

此车流波动沿道路移动的速度，称为波速。

（4-31）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-5流体动力学模拟理论,图4-4：

在时间-空间坐标系下表示的一队n辆车的运行状态变化图。

图中每根曲线表示一辆车运行的时间一空间轨迹，曲线间的水平距离表示车头时距，垂直距离表示车间距离，两条虚线分隔出I、II和III三个时间一空间区域。

在区域I内，车速最高而密度最低。

进入区域II后，车速明显降低而密度明显升高。

进入区域III后，速度有所回升而密度有所下降。

图4-4车队运行状态变化图,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-5流体动力学模拟理论,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,虚线与运行轨迹的交点就是车队密度不同的两部分的分界（对某一确定时刻而），而虚线则表示此分界既沿车队向后一辆辆地传播下去，又沿着道路而移动，虚线的斜率就是波速。

虚线AB是低密度状态向高密度状态转变的分界，它所体现的车流波称为集结波；而Ac是高密度状态向低密度状态转变的分界，它所体现的车流波称为疏散波，两种不同的车流波可统称为集散波。

当K2K1，密度增加，产生的w为集结波。

4-5流体动力学模拟理论,波速公式：

第一辆车在“0”时刻开始变速第二辆车在“A”时刻开始变速“0”时刻,L2,tv2“A”“0”,2,L11,1,2x,tv12“t”时刻,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,4-5流体动力学模拟理论,三、车流波动状态讨论当Q2Q1、K2K1时，产生一个消散波，w为正值，消散波在波动产生的那一点，沿着与车流相同的方向，以相对路面为w的速度移动。

Q,K,图4-5车流波动图

（1）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,（K1,Q1）,（K2,Q2）,4-5流体动力学模拟理论,当Q2Q1、K2K1时，产生一个集结波，w为正值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相同的方向，以相对路面为w的速度移动。

Q,K,图4-6车流波动图

（2）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,（K2,Q2）,（K1,Q1）,4-5流体动力学模拟理论,当Q2K1时，产生一个集结波，w为负值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相反的方向，以相对路面为w的速度移动。

Q,K,图4-7车流波动图

（2）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,（K2,Q2）,（K1,Q1）,4-5流体动力学模拟理论,当Q2Q1、K2K1时，产生一个消散波，w为负值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相反的方向，以相对路面为w的速度移动。

Q,K,图4-8车流波动图

（2）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,（K1,Q1）,（K2,Q2）,4-5流体动力学模拟理论,当Q2=Q1、K2K1时，产生一个集结波，w=0，集结波在波动产生的那一点原地集结。

Q,K,图4-9车流波动图

（2）,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,（K1,Q1）,（K2,Q2）,4-5流体动力学模拟理论,当Q2=Q1、K2K1时，产生一个消散波，w=0，消散波在波动产生的那一点原地消散。

K,交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,Q,（K2,Q2）,（K1,Q1）,图4-10车流波动图（6）,谢谢！

交通工程学（TrafficEngineering）,西南科技大学,