版高考数学北师大版理一轮复习第3章导数及其应用31导数的概念及运算文档.docx

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版高考数学北师大版理一轮复习第3章导数及其应用31导数的概念及运算文档

1.导数与导函数的概念

（1）当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f（x）在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f（x）在x0点的导数，通常用符号f′（x0）表示，记作f′（x0）＝＝.

（2）如果一个函数f（x）在区间（a，b）上的每一点x处都有导数，导数值记为f′（x）：

f′（x）＝，则f′（x）是关于x的函数，称f′（x）为f（x）的导函数，通常也简称为导数.

2.导数的几何意义

函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

f（x）＝c（c为常数）

f′（x）＝0

f（x）＝xα（α为实数）

f′（x）＝αxα－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cos_x

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sin_x

f（x）＝ex

f′（x）＝ex

f（x）＝ax（a>0，a≠1）

f′（x）＝axln_a

f（x）＝lnx

f′（x）＝

f（x）＝logax（a>0，a≠1）

f′（x）＝

4.导数的运算法则

若f′（x），g′（x）存在，则有

（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；

（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

（3）[]′＝（g（x）≠0）.

5.复合函数的导数

复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）f′（x0）与（f（x0））′表示的意义相同.（　×　）

（2）求f′（x0）时，可先求f（x0）再求f′（x0）.（　×　）

（3）曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.（　√　）

（4）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（　×　）

（5）函数f（x）＝sin（－x）的导数是f′（x）＝cosx.（　×　）

1.（教材改编）f′（x）是函数f（x）＝x3＋2x＋1的导函数，则f′（－1）的值为（　　）

A.0B.3C.4D.－

答案　B

解析　∵f（x）＝x3＋2x＋1，∴f′（x）＝x2＋2.

∴f′（－1）＝3.

2.如图所示为函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图像，那么y＝f（x），y＝g（x）的图像可能是（　　）

答案　D

解析　由y＝f′（x）的图像知y＝f′（x）在（0，＋∞）上单调递减，说明函数y＝f（x）的切线的斜率在（0，＋∞）上也单调递减，故可排除A，C.

又由图像知y＝f′（x）与y＝g′（x）的图像在x＝x0处相交，说明y＝f（x）与y＝g（x）的图像在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.

3.设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝f′（）sinx＋cosx，则f′（）＝________.

答案　－

解析　因为f（x）＝f′（）sinx＋cosx，

所以f′（x）＝f′（）cosx－sinx，

所以f′（）＝f′（）cos－sin，

即f′（）＝－1，所以f（x）＝－sinx＋cosx.

f′（x）＝－cosx－sinx.

故f′（）＝－cos－sin＝－.

4.已知函数f（x）＝x（x－1）·（x－2）（x－3）（x－4）（x－5），则f′（0）＝________.

答案　－120

解析　f′（x）＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）＋

x[（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）]′，

∴f′（0）＝（－1）×（－2）×（－3）×（－4）×（－5）

＝－120.

5.（2015·陕西）设曲线y＝ex在点（0,1）处的切线与曲线y＝（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.

答案　（1,1）

解析　y′＝ex，曲线y＝ex在点（0,1）处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P（m，n），y＝（x>0）的导数为y′＝－（x>0），曲线y＝（x>0）在点P处的切线斜率k2＝－（m>0），因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为（1,1）.

题型一　导数的运算

例1　求下列函数的导数：

（1）y＝（3x2－4x）（2x＋1）；

（2）y＝x2sinx；

（3）y＝3xex－2x＋e；

（4）y＝；

（5）y＝ln（2x－5）.

解　

（1）∵y＝（3x2－4x）（2x＋1）

＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，

∴y′＝18x2－10x－4.

（2）y′＝（x2）′sinx＋x2（sinx）′＝2xsinx＋x2cosx.

（3）y′＝（3xex）′－（2x）′＋e′

＝（3x）′ex＋3x（ex）′－（2x）′

＝3xexln3＋3xex－2xln2

＝（ln3＋1）·（3e）x－2xln2.

（4）y′＝

＝

＝.

（5）令u＝2x－5，y＝lnu，

则y′＝（lnu）′u′＝·2＝，

即y′＝.

思维升华　

（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.

（2）复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.

（1）f（x）＝x（2016＋lnx），若f′（x0）＝2017，则x0等于（　　）

A.e2B.1

C.ln2D.e

（2）若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f′

（1）＝2，则f′（－1）等于（　　）

A.－1B.－2

C.2D.0

答案　

（1）B　

（2）B

解析　

（1）f′（x）＝2016＋lnx＋x×＝2017＋lnx，故由f′（x0）＝2017得2017＋lnx0＝2017，则lnx0＝0，解得x0＝1.

（2）f′（x）＝4ax3＋2bx，

∵f′（x）为奇函数，且f′

（1）＝2，

∴f′（－1）＝－2.

题型二　导数的几何意义

命题点1　已知切点的切线方程问题

例2　

（1）函数f（x）＝的图像在点（1，－2）处的切线方程为（　　）

A.2x－y－4＝0B.2x＋y＝0

C.x－y－3＝0D.x＋y＋1＝0

（2）曲线y＝e－2x＋1在点（0,2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________.

答案　

（1）C　

（2）

解析　

（1）f′（x）＝，则f′

（1）＝1，

故该切线方程为y－（－2）＝x－1，即x－y－3＝0.

（2）∵y′＝－2e－2x，曲线在点（0,2）处的切线斜率k＝－2，

∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，

其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点为A（，），

∴三角形的面积S＝×1×＝.

命题点2　未知切点的切线方程问题

例3　

（1）与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是（　　）

A.2x－y＋3＝0B.2x－y－3＝0

C.2x－y＋1＝0D.2x－y－1＝0

（2）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，－1），并且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的方程为（　　）

A.x＋y－1＝0B.x－y－1＝0

C.x＋y＋1＝0D.x－y＋1＝0

答案　

（1）D　

（2）B

解析　

（1）对y＝x2求导得y′＝2x.

设切点坐标为（x0，x），则切线斜率为k＝2x0.

由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2（x－1），

即2x－y－1＝0.

（2）∵点（0，－1）不在曲线f（x）＝xlnx上，

∴设切点为（x0，y0）.

又∵f′（x）＝1＋lnx，∴

解得x0＝1，y0＝0.

∴切点为（1,0），∴f′

（1）＝1＋ln1＝1.

∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.故选B.

命题点3　和切线有关的参数问题

例4　已知f（x）＝lnx，g（x）＝x2＋mx＋（m<0），直线l与函数f（x），g（x）的图像都相切，且与f（x）图像的切点为（1，f

（1）），则m等于（　　）

A.－1B.－3C.－4D.－2

答案　D

解析　∵f′（x）＝，

∴直线l的斜率为k＝f′

（1）＝1.

又f

（1）＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.

g′（x）＝x＋m，

设直线l与g（x）的图像的切点为（x0，y0），

则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，

于是解得m＝－2.故选D.

命题点4　导数与函数图像的关系

例5　如图，点A（2,1），B（3,0），E（x,0）（x≥0），过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f（x）的图像为下图中的（　　）

答案　D

解析　函数的定义域为[0，＋∞），当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越大，即斜率f′（x）在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S＝f（x）的图像是上升的，且图像是下凸的；

当x∈（2,3）时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小，即斜率f′（x）在（2,3）内大于0且越来越小，因此，函数S＝f（x）的图像是上升的，且图像是上凸的；

当x∈[3，＋∞）时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′（x）在[3，＋∞）内为常数0，此时，函数图像为平行于x轴的射线.

思维升华　导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：

k＝f′（x0）.

（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k.

（3）若求过点P（x0，y0）的切线方程，可设切点为（x1，y1），由求解即可.

（4）函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢.

（1）已知函数f（x）＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为（　　）

A.3x－y－2＝0

B.4x－3y＋1＝0

C.3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0

D.3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0

（2）若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________.

答案　

（1）C　

（2）－e

解析　

（1）由f（x）＝3x＋cos2x＋sin2x

得f′（x）＝3－2sin2x＋2cos2x，

则a＝f′（）＝3－2sin＋2cos＝1.

由y＝x3得y′＝3x2，

当P点为切点时，切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.

又b＝a3，则b＝1，∴切点P的坐标为（1,1）.

故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3（x－1），

即3x－y－2＝0.

当P点不是切点时，设切点为（x0，x），

∴切线方程为y－x＝3x（x－x0），

∵P（a，b）在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.

∴1－x＝3x（1－x0），

∴2x－3x＋1＝0，

∴2x－2x－x＋1＝0，

∴（x0－1）2（2x0＋1）＝0，

∴切点为，

∴此时的切线方程为y＋＝，

即3x－4y＋1＝0.

综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0，故选C.

（2）设切点为（x0，x0lnx0），

由y′＝（xlnx）′＝lnx＋x·＝lnx＋1，

得切线的斜率k＝lnx0＋1，

故切线方程为y－x0lnx0＝（lnx0＋1）（x－x0），

整理得y＝（lnx0＋1）x－x0，与y＝2x＋m比较得

解得x0＝e，故m＝－e.

4.求曲线的切线方程条件审视不准致误

典例　（12分）若存在过点O（0,0）的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值.

易错分析　由于题目中没有指明点O（0,0）的位置情况，容易忽略点O在曲线y＝x3－3x2＋2x上这个隐含条件，进而不考虑O点为切点的情况.

规范解答

解　易知点O（0,0）在曲线y＝x3－3x2＋2x上.

（1）当O（0,0）是切点时，

由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，

即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.

由得x2－2x＋a＝0，

依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.[4分]

（2）当O（0,0）不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P（x0，y0），则y0＝x－3x＋2x0，且k＝

＝3x－6x0＋2，①

又k＝＝x－3x0＋2，②

联立①②，得x0＝（x0＝0舍去），所以k＝－，

故直线l的方程为y＝－x.[7分]

由得x2＋x＋a＝0，

依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝.[10分]

综上，a＝1或a＝.[12分]

温馨提醒　对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论.

[方法与技巧]

1.f′（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））′是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常数，其导数一定为0，即（f（x0））′＝0.

2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.

3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.

[失误与防范]

1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.

2.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.

3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

A组　专项基础训练

（时间：

40分钟）

1.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′

（1）＋lnx，则f′

（1）等于（　　）

A.－eB.－1

C.1D.e

答案　B

解析　由f（x）＝2xf′

（1）＋lnx，得f′（x）＝2f′

（1）＋.

∴f′

（1）＝2f′

（1）＋1，

则f′

（1）＝－1.

2.已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）

A.eB.－eC.D.－

答案　C

解析　y＝lnx的定义域为（0，＋∞），且y′＝，

设切点为（x0，lnx0），则

＝，

切线方程为y－lnx0＝（x－x0），

因为切线过点（0,0），所以－lnx0＝－1，

解得x0＝e，故此切线的斜率为.

3.已知f1（x）＝sinx＋cosx，fn＋1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x），n∈N＋，则f2016（x）等于（　　）

A.－sinx－cosxB.sinx－cosx

C.－sinx＋cosxD.sinx＋cosx

答案　B

解析　∵f1（x）＝sinx＋cosx，

∴f2（x）＝f1′（x）＝cosx－sinx，

∴f3（x）＝f2′（x）＝－sinx－cosx，

∴f4（x）＝f3′（x）＝－cosx＋sinx，

∴f5（x）＝f4′（x）＝sinx＋cosx＝f1（x），

∴fn（x）是以4为周期的函数，

∴f2016（x）＝f4（x）＝sinx－cosx，故选B.

4.（2014·课标全国Ⅱ）设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x，则a等于（　　）

A.0B.1

C.2D.3

答案　D

解析　令f（x）＝ax－ln（x＋1），则f′（x）＝a－.由导数的几何意义可得在点（0,0）处的切线的斜率为f′（0）＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.

5.已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）等于（　　）

A.－1B.0C.2D.4

答案　B

解析　由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处的切线斜率等于－，∴f′（3）＝－.

∵g（x）＝xf（x），∴g′（x）＝f（x）＋xf′（x），

∴g′（3）＝f（3）＋3f′（3），

又由题图可知f（3）＝1，

∴g′（3）＝1＋3×（－）＝0.

6.已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（　　）

A.x＋4y－2＝0B.x－4y＋2＝0

C.4x＋2y－1＝0D.4x－2y－1＝0

答案　A

解析　y′＝＝，

因为ex>0，所以ex＋≥2＝2（当且仅当ex＝，即x＝0时取等号），

则ex＋＋2≥4，

故y′＝≥－当（x＝0时取等号）.

当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，

此时切点的坐标为（0，），

切线的方程为y－＝－（x－0），

即x＋4y－2＝0.故选A.

7.若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：

f（x）≥kx＋b和g（x）≤kx＋b，则称直线l：

y＝kx＋b为f（x）和g（x）的“隔离直线”.已知函数f（x）＝x2－1和函数g（x）＝2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为____________.

答案　y＝2x－2

解析　由题意得函数f（x）和函数g（x）的隔离直线为它们在交点（1,0）处的公切线.因为f′

（1）＝2＝g′

（1）＝k，所以切线方程为y＝2（x－1）.

8.已知函数f（x）＝x3－3x，若过点A（0,16）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________.

答案　9

解析　先设切点为M（x0，y0），

则切点在曲线上有y0＝x－3x0，①

求导数得到切线的斜率k＝f′（x0）＝3x－3，

又切线l过A、M两点，所以k＝，

则3x－3＝，②

联立①②可解得x0＝－2，y0＝－2，

从而实数a的值为a＝k＝＝9.

9.已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限.

（1）求P0的坐标；

（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.

解　

（1）由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，

由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.

当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.

又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为（－1，－4）.

（2）∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，

∴直线l的斜率为－.

∵l过切点P0，点P0的坐标为（－1，－4），

∴直线l的方程为y＋4＝－（x＋1），

即x＋4y＋17＝0.

10.设函数f（x）＝ax－，曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）证明：

曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.

解　

（1）方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.

当x＝2时，y＝.又f′（x）＝a＋，

于是　解得故f（x）＝x－.

（2）设P（x0，y0）为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点

P（x0，y0）处的切线方程为

y－y0＝

（x－x0），

即y－＝

（x－x0）.

令x＝0，得y＝－，

从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.

令y＝x，得y＝x＝2x0，

从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）.

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.

故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.

B组　专项能力提升

（时间：

15分钟）

11.已知函数f（x）＝＋1，g（x）＝alnx，若在x＝处函数f（x）与g（x）的图像的切线平行，则实数a的值为（　　）

A.B.C.1D.4

答案　A

解析　由题意可知f′（x）＝

，g′（x）＝，

由f′（）＝g′（），得

，

可得a＝，经检验，a＝满足题意.

12.曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1（x∈[1,2]）上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　设P（x0，x＋1），x0∈[1,2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－（x＋1）＝2x0（x－x0），∴y＝2x0（x－x0）＋x＋1，设g（x）＝2x0（x－x0）＋x＋1，则g

（1）＋g

（2）＝2（x＋1）＋2x0（1－x0＋2－x0），∴S普通梯形＝×1＝－x＋3x0＋1＝－2＋，

∴P点坐标为时，S普通梯形最大.

13.若函数f（x）＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.

答案　[2，＋∞）

解析　∵f（x）＝x2－ax＋lnx，∴f′（x）＝x－a＋.

∵f（x）存在垂直于y轴的切线，∴f′（x）存在零点，

即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2.

14.已知曲线f（x）＝xn＋1（n∈N＋）与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015的值为________.

答案　－1

解析　f′（x）＝（n＋1）xn，k＝f′

（1）＝n＋1，

点P（1,1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1），

令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，

∴x1·x2·…·x2015＝×××…××＝，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015

＝log2016（x1x2…x2015）＝－1.

15.已知函数f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线m：

y＝kx＋9，且f′（－1）＝0.

（1）求a的值；

（2）是否存在k，使直线m既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线？

如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

解　

（1）由已知得f′（x）＝3ax2＋6x－6a，

∵f′（－1）＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.

（2）存在.

由已知得，直线m恒过定点（0,9），若直线m是曲线y＝g（x）的切线，则设切点为（x0,3x＋6x0＋12）.

∵g′（x0）＝6x0＋6，

∴切线方程为y－（3x＋6x0＋12）

＝（6x0＋6）（x－x0），

将（0,9）代入切线方程，解得x0＝±1.

当x0＝－1时，切线方程为y＝9；

当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.

由

（1）知f（x）＝－2x3＋3x2＋12x－11，

①由f′（x）＝0得－6x2＋6x＋12＝0，

解得x＝－1或x＝2.

在x＝－1处，y＝f（x）的切线方程为y＝－18；

在x＝