中考数学压轴题专题28几何证明综合复习判定四边形形状解析版.docx
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中考数学压轴题专题28几何证明综合复习判定四边形形状解析版
专题28几何证明综合复习（判定四边形形状）
教学重难点
1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力
2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；
3.体会用“分析综合法”探求解题思路；
4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；
5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。
【说明】：
本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概5-8分钟左右。
【知识点、方法总结】：
中考几何题证明思路总结
几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化
为所要证明的结论。
这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。
所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。
一、证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
、证明两角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；
7.相似三角形的对应角相等；
8.等于同一角的两个角相等。
三、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
五、证明线段的和、差、倍、分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.
三角形的重心、
利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、相似三角形的性质等）。
六、证明角的和、差、倍、分
1.作两个角的和，证明与第三角相等。
2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。
3.利用角平分线的定义。
4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
七、证明两线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
八、证明两角不等
1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
九、证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
5.与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再根据题目中的条件进行合
理选择，攻克难题不再是梦想！
1.（2019?
金山区二模）已知：
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若CAD
1）求证：
四边形ABCD是正方形．
整体分析】
CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：
OEOF．
（1）由菱形的性质得出AD//BC，BAD2DAC，ABC2DBC，得出BADABC证出BADABC，求出BAD90，即可得出结论；
11
（2）由正方形的性质得出ACBD，ACBD，COAC，DOBO，得出COBDOC
DBC．
180，
22
即可得出结论．
【满分解答】
（1）证明：
Q四边形ABCD是菱形，
AD//BC，BAD2DAC，ABC2DBC，
BADABC180，
QCADDBC，
BADABC，
2BAD180，BAD90，
四边形ABCD是正方形；
（2）证明：
Q四边形ABCD是正方形，
11
ACBD，ACBD，COAC，DOBO，
2
2
COB
DOC
90
，CODO
QDHCE
，垂足为H
DHE90，
EDH
DEH
90，
Q
ECO
DEH
90
ECO
EDH
ECO
EDH
在
ECO和
FDO
中，
CODO
COE
DHE90
ECOFDO（ASA），
OEOF．
ABC中，D是BC边上一点，F为AB边上一点，且
FC．求证：
2.（2018春?
金山区期中）已知，如图，在等边
CDBF，以AD为边作等边ADE，联结EF、
（1）ADCCFB；
2）四边形EFCD是平行四边形．
【整体分析】
（1）ACD和CBF中，已知的条件有：
ACBC，CDBF，ACDCBF60；根据SAS即可判定两个三角形全等．
（2）由
（1）的全等三角形知：
ADCF，即DECFAD；因此只需判断DE与CF是否平行即可，由
（1）的全等三角形，可得DACBCF，而BCFACG60，即CADACG60；根据三角形外角的性质，可得AGF60CGD，由此可判定DE//FC，即可得出四边形CDEF的形状．【满分解答】
证明：
（1）QABC为等边三角形，
ACBC，
ACDB60，
QCDBF，
ACDCBF（SAS）；
2）四边形CDEF为平行四边形；
QACDCBF；
DACBCF，CFAD；
QAED是等边三角形；
ADDE；
CFDE①；
60；
60；
ACGDAC）120；
QACGBCF
ACGDAC
AGC180（
AGC120；
DGF
QAED是等边三角形；
ADE60；
DGFADE180；
CF//DE②；
ADE和等边
综合①②可得四边形CDEF是平行四边形．
3．（2018春?
浦东新区期中）在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边
BCF，连接BE、DF．求证：
四边形BEDF是平行四边形．
【整体分析】
由题意先证DAEBCF60，再由SAS证DCFBAE，继而题目得证．
【满分解答】
证明：
Q四边形ABCD是平行四边形，
CDAB，ADCB，DABBCD．
又QADE和CBF都是等边三角形，
DEBF，AECF．
DAEBCF60．
QDCFBCDBCF，
BAEDABDAE，
DCFBAE．
DCFBAE（SAS）．
DFBE．
四边形BEDF是平行四边形．
E，连接BE
4.如图，在平行四边形ABCD中，ABC60，BC2AB8，点C关于AD的对称点为
交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S
BC中点H
如图，取
，连接AH，连接EC交AD于N，作EMCD交CD的延长线于M．构建
SBEGSBCE
SECGSBCG
计算即可；
满分解答】
BABHCH，
ABH是等边三角形，
HAHBHC，
BAC90，
ACB30，
QEC
BC，
BCD
180ABC120
ACE60
，ECM30，
QBC
2AB
8，
CD
4，CNEN
23，
EC
43，
EM
23，
SBEG
SBCE
SECG
SBCG
1
8
2
43
1
2
2
1
23S平行四边形ABCD
4
163
23
43
143．故答案为43．
5.如图，已知在RtABC中，∠C=90°，
点O为边AC的中点，点D为边AB上一点，过点C作AB
的平行线，
交DO的延长线于点E。
1）
证明：
四边形ADCE为平行四边形；
2）
当四边形
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
1.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：
AOOC，CE∥AB；2.角的关系：
∠C=90°。
2.证明四边形ADCE为平行四边形：
结合AOOC和CE∥AB可得ODOE即可。
3.当四边形ADCE为怎样的四边形时，AD=BD，并加以证明：
把AD=BD当条件求解，可得四边形ADCE为菱形，利用角度关系即可。
【满分解答】
（1）证明：
∵点O为边AC中点，∴AO=CO又∵CE∥AB，∴∠DAC=∠ECA，∠ADE=∠CED∴△ADO≌△CEO，∴OD=OE∴四边形ADCE为平行四边形
2）当四边形ADCE为菱形时，AD=BD，
∵四边形ADCE为菱形，∴AD=CD，∴∠BAC=∠ACD
∵∠BAC+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠BCD，∴CD=BD，∴AD=BD
6.已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD，点E在BA的延长线上，AE=BC，∠AED=
（1）求证：
∠BCD=2；
解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
1.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：
AD//BC，AB=CD=AD，AE=BC；
2.求证∠BCD=2：
先证明△DEA≌△ABC可得∠BCA=∠AED=，所以∠BCD=∠DCA+∠ACB=2。
3.求证△EBC是等腰直角三角形：
由角度关系证明CE=BC=AE，再证明∠ECB=4=90o可得。
【满分解答】
（1）联结AC，
∵梯形ABCD中，AD//BC，∴∠EAD=∠B．∵AE=BC，AB=AD，∴△DEA≌△ABC．
∵∠AED=，∴∠BCA=∠AED=．∵AD=CD，∴∠DCA=∠DAC=∠ACB=．
∴∠BCD=∠DCA+∠ACB=2．
（2）∵ED平分∠BEC，∴∠AEC=2∠AED=2∵梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，
∴∠EAD=∠B=∠BCD=2=∠AEC．
∴CE=BC=AE．
∴∠ECA=∠EAC=∠EAD+∠DAC=3∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=4．
∵∠B+∠BEC+∠BCE=180o，∴2+2+4=180o，
∴∠ECB=4=90o．
∴△EBC是等腰直角三角形。
1）求证：
GFGD；
2）联结AF，求证：
AFDE．
分析】
解答】
证明：
（1）Q四边形ABCD是正方形，
ADC90，
QFGFC，
GFC90，
QCFCD，
CDFCFD，
GFCCFDADCCDE，即GFDGDF，
GFGD．
（2）联结CG．
QCFCD，GFGD，
点G、C在线段FD的中垂线上，
GCDE，CDFDCG90，
QCDF
ADE90，
DCG
ADE．
Q四边形ABCD是正方形，
ADDC，DAECDG90，
DAE
CDG，
AEDG，
Q点E是边AB的中点，点G是边AD的中点，AGGDGF，
DAF
AFG，GDFGFD，
QDAF
AFGGFDGDF180，
2AFG
2GFD180，
AFD
90，即AFDE．
证法2:
（1）联结CG交ED于点H．Q四边形ABCD是正方形，
ADC90，
QFGFC，
GFC90，
在RtCFG与RtCDG中，
CFCD，
CGCG.，
RtCFGRtCDG，
GFGD．
（2）QCF
CD，GFGD
点G、C在线段
FD的中垂线上，
FHHD，GC
DE，
EDCDCH
90，
QADEEDC
90，
ADEDCH
Q四边形ABCD是正方形，
ADDC
AB，
DAE
CDG90，
QADE
DCH，
AD
DC，EADGDC
ADE
DCG，
AEDG
Q点E是边AB的中点，
点G是边AD的中点，
Q点H是边FD的中点，
GH是AFD的中位线，
GH//AF，
AFDGHD，
GHD90，
QGHFD，
AFDE．
2.（2019春?
浦东新区期中）如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为3，那么面积是．
【分析】
由正方形的性质可得ABBC5，BGBE3，由三角形面积公式可求解．【解答】
解：
Q正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为3，
ABBC5，BGBE3
CE53
GCE的面积1CEBG1（53）3153
2222故答案为：
153
22
解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：
EF=EB，菱形ABCD对边平行、四边相等。
二.求证EGGFCGGD：
用角度关系证明∠EDC=∠EFC，可得∠DGE∽△FGC，所以可得比例关系。
三.证明∠FDC与∠ADC之间有怎样的数量关系：
1.证明：
△DGF∽△EGC；.
因为EF⊥CD，DA=DC，所以∠DAC=∠DCA=∠DFG=90o–∠FDC所以∠ADC=180o–2∠DAC=180o–2（90o–∠FDC）=2∠FDC。
【满分解答】
（1）联结BD，
∵点E在菱形ABCD的对角线AC上，∴∠ECB=∠ECD．
∵BC=CD，CE=CE，∴△BCE≌△DCD．
∴∠EDC=∠EBC．
∵EB=EF，∴∠EBC=∠EFC．
∴∠EDC=∠EFC．
∵∠DGE=∠FGC，∴∠DGE∽△FGC．
EGGD
∴,∴EGGFCGGD．
CGCG
（2）∠ADC=2∠FDC．
EGGD
证明如下：
∵,∠DGF=∠EGC，∴△DGF∽△EGC．
CGCG
∵EF⊥CD，DA=DC，∴∠DAC=∠DCA=∠DFG=90o–∠FDC．
∴∠ADC=180o–2∠DAC=180o–2（90o–∠FDC）=2∠FDC
4.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，垂足为点O，过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E。
（★★★）
（1）求证：
△BDE是等腰直角三角形；
解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：
AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，DE∥AC。
在证明∠BOC=∠BDE=90°可得。
见后面满分解答）
二.求证△BDE是等腰直角三角形：
先证明BD=DE，
三.求AD:
DE的值：
利用三角比，结合勾股定理求解。
满分解答】
1）证:
∵AD//BE且BE//AC
∴ACED是平行四边形∴AC=DE
∵等腰梯形ABCD∴AC=BD∴BD=DE∵AC⊥BD∴∠BOC=90°∵AC//DE∴∠BOC=∠BDE=90°∴△BDE是等腰直角三角形．
OAOD
2）解：
∵AD//BC
OCOB
AD
BC
AC
BD
OC
OB
OA=OD
∵等腰梯形ABCD∴AC=BD∴OC=OB
∵AC//DE
∴∠CDE=∠DCO∴sin
CDEsinDCO5
5
在Rt△DCO
中，设OD=k，DC=5k（k>0），则OC=DC2-OD22k
∵平行四边形
ACDE∴AD=CE
ODOD1
AD1
AD1
OBOC2
BC2
DE3
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