新课标最新浙教版八年级数学上学期《三角形的初步认识》高频考点专训及答案解析精品试题.docx

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新课标最新浙教版八年级数学上学期《三角形的初步认识》高频考点专训及答案解析精品试题

专项训练一：

三角形三边关系的巧用

名师点金：

三角形的三边关系应用广泛，利用三边关系可以判定三条线段能否组成三角形、已知两边求第三边的取值范围、证明线段不等关系、化简绝对值、求解等腰三角形的边长及周长等问题．

判断三条线段能否组成三角形

1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾顺次连结后，不能摆成三角形的一组是（　　）

A．4，4，8B．5，5，1

C．3，7，9D．2，5，4

2．有四条线段，长度分别为4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？

求三角形第三边的长或周长的取值范围

3．一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是（　　）

A．2或4B．4或6

C．4D．2或6

4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是（　　）

A．6＜l＜15B．6＜l＜16

C．11＜l＜13D．10＜l＜16

5．若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．

三角形的三边关系在等腰三角形中的

应用

6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为（　　）

A．25B．25或32　C．32D．19

7．已知，等腰三角形ABC的底边BC＝8cm，|AC－BC|＝2cm，则AC＝________．

8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．

三角形的三边关系在代数中的应用

9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．

10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足（b－2）2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．

利用三角形的三边关系证明边的不等关系

11．如图，已知D，E为△ABC内两点，求证：

AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

（第11题）

专项训练二：

全等三角形中常见的辅助线的作法

名师点金：

在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：

构造法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．

翻折法

1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：

∠2＝∠1＋∠C.

（第1题）

构造法

2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连结DF.

求证：

∠ADC＝∠BDF.

（第2题）

旋转法

3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．

（第3题）

倍长中线法

4．如图，在△ABC中，D为BC的中点．

（1）求证：

AB＋AC>2AD；

（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

（第4题）

截长补短法

5．如图，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点．求证：

AB－AC>PB－PC.

（第5题）

专项训练三：

常见的几何题型的证明

名师点金：

全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础．三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此还可以获得直线之间的垂直（平行）关系，线段的和、差、倍、分关系．

数量关系

1．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.

求证：

（1）BF＝BC；

（2）BD＝2CE.

（第1题）

.

位置关系

2．如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF.

求证：

BE∥CF.

（第2题）

3．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：

AM⊥AN.

（第3题）

和差关系

4．如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请提出对EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．

（第4题）

专项训练四：

线段垂直平分线及角的平分线性质的应用

名师点金：

由线段垂直平分线及角平分线的性质可得两线段相等，实际应用中多与三角形结合，实现边的转化，也可将其作为全等三角形判定的条件，与三角形全等综合应用解决问题．

用线段的垂直平分线的性质求线段的长

（第1题）

1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知△ADE的周长为12cm，则BC＝________.

2．如图，AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．

（第2题）

利用线段垂直平分线的性质求角的度数

3．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连结AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数．

（第3题）

利用角平分线的性质证线段相等

4．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，证明：

PC＝PD.

（第4题）

利用角平分线证倍分关系（延长线段法）

5．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO，AE⊥BD，求证：

BD＝2AE.

（第5题）

利用角平分线证不等关系（截取法）

6．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，求证：

BE＋CF>EF.

（第6题）

专项训练五：

思想方法荟萃

名师点金：

本章主要涉及的思想方法有：

转化思想、分类讨论思想、建模思想、类比思想等．

转化思想

1．如图，AB＝DC，∠A＝∠D.求证：

∠ABC＝∠DCB.

（第1题）

分类讨论思想

2．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24和18两部分，求△ABC的三边长．

3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10cm，BC＝8cm，D为AB的中点．点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间．

（第3题）

建模思想

4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35cm，点B与点O的垂直距离AB长20cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20cm，连结OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？

（第4题）

类比思想

5．在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，E点和F点分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图

（1）），则可以得到以下两个结论：

①∠AED＋∠AFD＝180°；②DE＝DF.那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E和点F分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：

（1）若∠AED＋∠AFD＝180°（如图

（2）），则DE与DF是否仍相等？

若仍相等，请证明；否则请举出反例．

（2）若DE＝DF，则∠AED＋∠AFD＝180°是否成立？

（只写出结论，不证明）

（第5题）

答案

专项训练一

1．A　点拨：

4＋4＝8，不能摆成三角形．

2．解：

可以组成3个三角形，分别为：

（1）8cm，10cm，12cm；

（2）4cm，10cm，12cm；（3）4cm，8cm，10cm.

3．B　点拨：

设三角形第三边的长为xcm，则5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8.又在2到8之间的整数有3，4，5，6，7，而三角形的周长x＋3＋5＝x＋8应为偶数，所以x也是偶数，即x的值只能是4或6.所以三角形第三边的长是4或6.

4．D　点拨：

设第三边的长为x，则2＜x＜8，所以周长l的取值范围是3＋5＋2＜l＜3＋5＋8，即10＜l＜16.

5．4　点拨：

设三边长分别为a，a＋1，a＋2，则m＝3a＋3.∴10＜3a＋

3＜22，解得

＜a＜

.∴a＝3，4，5或6，经验证，都可以组成三角形，即这样的三角形有4个．

6．C

7．10cm或6cm　点拨：

求出AC的长后要验证是否满足三角形的三边关系．

8．2＜b＜8　点拨：

由题意得

解得2＜b＜8.

9．解：

根据三角形的三边关系，可知

a＋b>c，b＋c>a.

所以|a＋b－c|＋|a－b－c|＝a＋b－c＋b＋c－a＝2b＝10，

所以b＝5.

点拨：

因为|x|＝

所以做绝对值化简的题目时，我们需考虑x的符号问题．本题中绝对值符号内的式子都是关于三角形三边的关系式，灵活运用三角形的三边关系判断每一个式子的正负，再利用绝对值的意义求解．

10．解：

因为（b－2）2≥0，|c－3|≥0，且（b－2）2＋|c－3|＝0，所以（b－2）2＝0，|c－3|＝0，解得b＝2，c＝3.

由a为方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或a－4＝－2，即a＝6或a＝2.

当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；

当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系．

所以a＝2，b＝2，c＝3.所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.

（第11题）

11．证明：

如图，将DE向两边延长分别交AB，AC于点M，N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE.①

在△BDM中，MB＋MD＞BD；②

在△CEN中，CN＋NE＞CE；③

①＋②＋③得，AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE，

∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

专项训练二

（第1题）

1．证明：

如图，延长AD交BC于点F（相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE）．

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE.

∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.

在△ABD和△FBD中，

∵

∴△ABD≌△FBD（ASA）．

∴∠2＝∠DFB.

又∵∠DFB＝∠1＋∠C，

∴∠2＝∠1＋∠C.

（第2题）

2．证明：

如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.

∵CE⊥AD，

∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.

∴∠1＝∠2.

在△ACD和△CBG中，

∵

∴△ACD≌△CBG（ASA）．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.

∵点D为BC的中点，

∴CD＝BD.∴BD＝BG.

又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，

∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.

∴∠DBF＝∠GBF.

在△BDF和△BGF中，∵

∴△BDF≌△BGF（SAS）．

∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.

点拨：

本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键．

　（第3题）

3．解：

如图，延长CB至点H，使得BH＝DF.

∵∠ABH＝∠ABE＝90°，∠D＝90°，

∴∠D＝∠ABH＝90°.

在△ABH和△ADF中，

∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.

∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.

∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.

在△AEH和△AEF中，

∴△AEH≌△AEF.

∴∠EAH＝∠EAF.

∴∠EAF＝

∠HAF＝45°.

点拨：

图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.

4．

（1）证明：

延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE.

∵D为BC的中点，

∴CD＝BD.

又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，

∴△ADC≌△EDB.∴AC＝EB.

∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.

（2）解：

∵AB－BE

∴AB－AC<2AD

∵AB＝5，AC＝3，∴2<2AD<8.

∴1

点拨：

本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题转化为证明三角形全等的问题，从而利用全等三角形的性质来解决．

5．证明：

方法一（截长法）：

如图

（1），在AB上截取AN＝AC，连结PN.

在△APN和△APC中，

∵

∴△APN≌△APC（SAS）．

∴PN＝PC.

∵在△BPN中，PB－PN

∴PB－PCPB－PC.

（第5题）

方法二（补短法）：

如图

（2），延长AC至点M，使AM＝AB，连结PM.

在△ABP和△AMP中，

∵

∴△ABP≌△AMP（SAS）．

∴PB＝PM.

∵在△PCM中，CM>PM－PC，

∴AB－AC>PB－PC.

点拨：

本题运用了两种不同的方法解题，方法一是截长法，方法二是补短法，这两种方法都是证明线段和、差或不等关系的常用方法，用这两种方法解题的关键是通过截长法或补短法构造全等三角形，将分散的和差线段转化为同一直线上的和差线段．

专项训练三

1．证明：

（1）∵BE平分∠ABC，

∴∠FBE＝∠CBE.

∵CE⊥BE，∴∠FEB＝∠CEB＝90°.

在△FBE和△CBE中，

∵

∴△FBE≌△CBE（ASA）．∴BF＝BC.

（2）∵∠CAF＝∠BAC＝∠BEF＝90°，

∴∠ABD＋∠F＝∠ACF＋∠F＝90°.

∴∠ABD＝∠ACF.

在△BDA和△CFA中，

∵

∴△BDA≌△CFA（ASA）．

∴BD＝CF.

又∵△FBE≌△CBE，∴EF＝EC，

即CF＝2CE.

∴BD＝2CE.

2．证明：

∵AB∥CD，

∴∠ABO＝∠DCO，∠BAO＝∠CDO.

又∵OA＝OD，

∴△OAB≌△ODC.

∴OB＝OC.

∵AE＝DF，

∴OA＋AE＝OD＋DF，

即OE＝OF.

又∵∠BOE＝∠COF，OB＝OC，

∴△BOE≌△COF.

∴∠E＝∠F.

∴BE∥CF.

（第3题）

3．证明：

如图，

∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.　

∴∠1＝∠2.

又∵BM＝CA，AB＝NC，

∴△ABM≌△NCA.

∴∠3＝∠N.∵∠N＋∠4＝90°，

∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.

即AM⊥AN.

4．解：

猜想：

EF＝BE＋AF.

证明：

∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，

∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，

∠BCA＝α＝∠BEC，∴∠CBE＝∠ACF.

又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，

∴△BEC≌△CFA.

∴BE＝CF，EC＝FA.

∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.

专项训练四

1．12cm

2．解：

∵△ACD的周长是14cm，

∴AD＋DC＋AC＝14cm.

∵DE是BC的垂直平分线，∴BD＝DC.

∴AD＋DC＝AD＋BD＝AB.∴AB＋AC＝14cm.

∵AB比AC长2cm，∴AB－AC＝2cm.

∴AB＝8cm，AC＝6cm.

3．解：

∵∠1∶∠2＝2∶5，∴设∠1＝2x，则∠2＝5x.

∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD.

∴△ADB是等腰三角形．

∴∠B＝∠2＝5x.∴∠ADC＝∠2＋∠B＝10x.

∵在△ADC中，2x＋10x＝90°，解得x＝7.5°，

∴∠ADC＝10x＝75°.

（第4题）

4．证明：

如图，过点P作PE⊥OA于点E，

PF⊥OB于点F，

∴∠PEC＝∠PFD＝90°.

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE＝PF.

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，

∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.

而∠PDO＋∠PDF＝180°，

∴∠PCE＝∠PDF.

在△PCE和△PDF中，

∵

∴△PCE≌△PDF（AAS）．

∴PC＝PD.

（第5题）

5．证明：

如图，延长AE交BO的延长线于点F.

∵AE⊥BE，　

∴∠AEB＝∠FEB＝90°.

∵BD平分∠ABO，

∴∠ABE＝∠FBE.

又∵BE＝BE，

∴△ABE≌△FBE.

∴AE＝FE.

∴AF＝2AE.

∵∠AEB＝∠AOB＝90°，

∴∠OAF＋∠ADE＝90°，∠OBD＋∠ODB＝90°.

又∵∠ADE＝∠ODB，

∴∠OAF＝∠OBD.

又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD，

∴△AOF≌△BOD.

∴AF＝BD.∴BD＝2AE.

6．证明：

在AD上截取DH＝BD，连结EH，FH.

∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD＝DH.

∵DE平分∠ADB，∴∠BDE＝∠HDE.

又∵DE＝DE，

∴△BDE≌△HDE（SAS）．

∴BE＝HE.

同理可证△CDF≌△HDF.

∴CF＝HF.

在△HEF中，HE＋HF>EF，

∴BE＋CF>EF.

专项训练五

（第1题）

1．证明：

如图，分别取AD，BC的中点N，M，连结BN，CN，MN，则有

AN＝ND，BM＝MC.

在△ABN和△DCN中，

∵

∴△ABN≌△DCN（SAS）．

∴∠ABN＝∠DCN，NB＝NC.

在△NBM和△NCM中，∵

∴△NBM≌△NCM（SSS）．

∴∠NBM＝∠NCM.

∴∠NBM＋∠ABN＝∠NCM＋∠DCN，

即∠ABC＝∠DCB.

点拨：

证明三角形全等时常需添加适当的辅助线，辅助线的添加以能制造已知条件为上策，如本题取AD，BC的中点就是把中点作为已知条件，化整为零，分散证明，体现了转化思想的运用．

2．解：

设AB＝AC＝a，BC＝b，

则有a＋

＝24且

＋b＝18，

或a＋

＝18且

＋b＝24.

解得a＝16，b＝10或a＝12，b＝18.

所以△ABC的三边长分别为16，16，10或12，12，18.经检验，它们都能构成三角形．

点拨：

本题运用方程思想与分类讨论思想求解．容易因忽视一种情况而漏解．

3．解：

∵D为AB的中点，AB＝10cm，∴BD＝AD＝5cm.设点P运动的时间是xs，则BP＝CQ＝3xcm，CP＝（8－3x）cm.若BD与CQ是对应边，则BD＝CQ，∴5＝3x，解得x＝

，此时BP＝3×

＝5（cm），CP＝8－5＝3（cm），BP≠CP，故舍去；若BD与CP是对应边，则BD＝CP，∴5＝8－3x，解得x＝1，符合题意．综上，点P运动的时间是1s.

点拨：

由∠B＝∠C可知DP与PQ是对应边，而其他两组对应边的对应关系不确定，因此要分BD与CQ是对应边、BD与CP是对应边两种情况考虑，体现了分类讨论思想．

4．解：

在△AOB和△COD中，

∵

∴△AOB≌△COD.

∴∠AOB＝∠COD，

又∵∠AOB＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＋∠COD＝180°，

即∠BOD＝180°.∴点D，O，B在同一直线上．

∴钻头沿DO方向打孔，正好从点B处打出．

点拨：

本题运用了建模思想，将实际生活中的打孔问题转化为几何中判断3个点是否在同一直线上的问题．

（第5题）

5．解：

（1）相等．证明：

如图，作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，H，

∴∠AGD＋∠AHD＝180°.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴DG＝DH.

∵四边形AGDH的内角和是360°，

∴∠HAG＋∠GDH＝180°.

∵∠AED＋∠AFD＝180°，

∴∠HAG＋∠EDF＝180°.∴∠GDH＝∠EDF.

∴∠GDH－∠GDF＝∠EDF－∠GDF，即∠GDE＝∠HDF.

在△GDE和△HDF中，

∴△GDE≌△HDF.∴DE＝DF.

（2）不一定成立．

点拨：

本题运用了类比思想，由题图

（1）联想到题图

（2）辅助线的作法．探究中的两个小题只是交换了已知和结论，考虑

（2）题时要在

（1）题的基础上逆向思考.