数学证明的讲解.docx

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数学证明的讲解

数学证明的讲解（华师大版证明方法精讲）

一. 内容：

    证明

  1. 证明的认识

  2. 用推理方法研究三角形包括：

（1）等腰三角形，

（2）角平分线，（3）线段的垂直平分线，（4）逆命题、逆定理。

二. 过程：

（知识点回顾）

  1. 用公理、定理作为逻辑推理证明的依据，从而证明新的命题成立，常用公理如下：

（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

    （3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边、或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等。

    （4）全等三角形的对应边、对应角分别相等。

  2. 等腰三角形：

（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”，这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法。

（2）重要性质：

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合，简写成“等腰三角形的三线合一”。

  3. 角平分线：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

  4. 线段的垂直平分线上

（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

（2）到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

【典型例题】

  例1. “三角形内角和180°”的证明。

    方法1：

        方法2：

        方法3：

        方法4：

        （注：

通过作平行线将角转化），证明过程略。

  例2. “四边形的内角和等于360°”的证明。

    常用的方法是将四边形转化成三角形，利用三角形的内角和：

       也可以通过平移角的方法证明：

        DE∥BC，FH∥AB

    ∠4＝∠6＝∠B

    ∠3＝∠C

    ∠5＝∠A

    ∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝∠5＋∠4＋∠3＋∠ADC＝360°

  例3. 如图，已知：

AB∥DE，观察∠A、∠C、∠D的关系如何？

    方法一：

延长CD交AB于F

    ∵AB∥DE

    ∴∠1＝∠CDE

    又∵∠1＝∠A＋∠C

    ∴∠CDE＝∠A＋∠C

    方法二：

延长ED交AC于F

    ∵AB∥DE

    ∴∠CFD＝∠A

    又∵∠CDE＝∠C＋∠CFD

    ∴∠CDE＝∠C＋∠A

    方法三：

过C作CF∥AB

    ∵AB∥DE，∴DE∥CF

    ∴∠1＋∠D＝180°

      ∠1＋∠2＋∠A＝180°

    ∴∠D＝∠2＋∠A

    图2：

    方法一：

∵AB∥DE

    ∴∠A＝∠DEA＝∠D＋∠C

    方法二：

延长BA、CD交于F

    ∵AB∥DE

    ∴∠F＝∠EDC

    ∴∠BAC＝∠F＋∠C＝∠EDC＋∠C

    方法三：

    解略

    此题是平移角的训练，关键体会只需移动角的位置。

  例4. 已知AD⊥CD，∠C＝15°，∠ABE＝30°，求∠A。

    解：

方法一：

延长AB交CD于F

    则∠ABE＝∠CBF＝30°

    ∴∠AFD＝∠C＋∠CBF＝15°＋30°＝45°

    ∵∠ADF＝90°

    ∴∠A＝180°－∠ADF－∠AFD＝45°

    方法二：

过B作BF∥CD交AD于F

    则∠EBF＝∠C＝15°，∠BFA＝∠CDA＝90°

    ∴∠ABF＝∠ABE＋∠EBF＝45°

    ∴∠A＝180°－∠ABF－∠AFB＝45°

  例5. 已知：

如图，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，点E在AD上。

    求证：

BC＝AB＋CD

    （分析：

一般证明线段和差时有截长法，补短法）

    方法一：

截长法（因为要证BC＝AB＋CD，在线段BC上截取BF＝AB，然后证明CF＝CD，或在BC上截取CF＝CD，再证明BF＝AB。

）

    如上图，在BC上截取BF＝AB，连结EF

    在△ABE和△FBE中

        ∴△ABE≌△FBE（SAS）

    ∴∠A＝∠EFB

    ∵AB∥CD

    ∴∠A＋∠D＝180°

    又∵∠BFE＋∠EFC＝180°

    ∴∠EFC＝∠D

    在△EFC和△EDC中

        ∴△EFC≌△EDC（AAS）

    ∴FC＝CD

    ∴BC＝BF＋FC＝AB＋CD

    证法：

补短法（延长BE交CD的延长线于G，如图，再证明DG＝AB，从而转证BC＝CG，则由△BCE≌△GCE可得，再证△ABE≌△DGE可有结论DG＝AB。

）

    ∵AB∥CG

    ∴∠ABE＝∠G

    又∵∠ABE＝∠GBC

    ∴∠G＝∠GBC

    在△GEC和△BEC中

        ∴△GEC≌△BEC（AAS）

    ∴EG＝EB，CG＝BC

    在△ABE和△DGE中

        ∴△ABE≌△DGE（ASA）

    ∴AB＝DG

    ∴BC＝CG＝CD＋DG＝CD＋AB

  例6. 如图，四边形ABCD中，AB＝8，BC＝1，∠DAB＝30°，∠ABC＝60°且四边形ABCD的面积为 ，求AD的长。

    解：

将不规则四边形转化成特殊三角形，延长AD、BC交于E

    ∵∠A＝30°，∠B＝60°

    ∴∠E＝180°－∠A－∠B＝90°

    ∵AB＝8

        由勾股定理：

       ∵BC＝1，∴CE＝BE－BC＝3 

  例7. 已知：

AB＝AC，D是BC上任意一点，DE⊥AB。

    求证：

∠A＝2∠EDB

    解：

方法一：

利用等腰三角形的性质（即三线合一）

    过A作AF⊥BC于F

    ∵AB＝AC，∴AF平分∠BAC

    即  

   ∵∠B＋∠1＝90°

    DE⊥AB于E

    ∴∠B＋∠BDE＝90°

        方法二：

将△BDE沿DE翻折，得到△DEF

    ∵AB＝AC

    则∠DFB＝∠B＝∠C，∠BDF＝2∠BDE

    ∴△BDF为等腰三角形，且∠BDF＝∠A

    ∴∠A＝2∠BDE

    方法三：

将BA延长至F使AF＝AB，连结AC（即倍长腰）

    ∵AB＝AC，∴AF＝AC

            即∠BCF＝90°

    ∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°

    又∠B＝∠B，∴△BCF∽△BED

        即∠BAC＝2∠BDE

    将此题推广，已知AB＝AC，D是AC上任意一点，DE⊥AB

    如图：

    将ED、BC延长交于F，则∠A＝2∠F

    方法一：

    方法二：

    方法三：

  例8. 已知BD、CE是∠ABC、∠ACB的平分线，若∠A＝60°。

    求证：

（1）BC＝BE＋CD

（2）OD＝OE

    证明：

此题隐含的结论：

（1）∠DOC＝∠EOB＝60°，

（2）AEOD四点共圆，（3）O为内心。

    先证OD＝OE

    方法1：

连结AO

    ∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线

        ∴∠DOC＝∠EOB＝60°

    ∴∠EOD＝120°

    ∴∠AEO＋∠ADO＝180°

    ∴A、E、O、D四点共圆

    ∵O为△ABC的内心

    ∴AO平分∠EAD

    ∴OE＝OD

    方法2：

   ∵O为△ABC的内心

    ∴AO平分∠EOD，可以将△AOD沿AO翻折，得到△AFO，则

    OD＝OF，∠ADO＝∠AFO

    由方法1得：

∠AEO＋∠ADO＝180°

    又∠AFO＋∠EFO＝180°

    ∴∠AEO＝∠EFO

    ∴OE＝OF

    ∴OD＝OE

    证明BC＝BE＋CD也有两种方法：

    方法1：

在BC上截取BH＝BE，连结OH，先得出△BOE≌△BOH

    OE＝OH，∠1＝∠2＝60°

    ∴∠3＝∠4＝60°

    再证△COD≌△COH，得到CH＝CD

    ∴BC＝BH＋CH＝BE＋CD

    方法2：

将△BOE沿BO翻折得到△BOH，然后再证△COH≌△COD。

    （证明略）

例9. 已知：

∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，EG⊥BC，GH⊥AC。

    求证：

DG＝GH

    分析：

先看一个基本图，由双垂直，AD⊥BC，∠BAC＝90°

    再加角平分线BE平分∠ABC，必有等线段AE＝AF

    由角平分线性质得：

AE＝EG

    最后能知四边形AFGE为菱形

    方法1：

连结FG、AG

    ∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°

    ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°

    ∴∠1＋∠ABC＝90°

    ∴∠1＝∠C

    ∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠3

    ∵∠4＝∠1＋∠2，∠5＝∠3＋∠C

    ∴∠4＝∠5

    ∴AF＝AE

    又∵EG⊥BC，∴AE＝EG且EG∥AF

    ∴AF＝AE＝FG

    ∴四边形AFGE为菱形

    ∴AG平分∠FAE

    ∵GH⊥AC，GD⊥AD

    ∴DG＝GH（角平分线的性质）

    方法2：

由平行、角平分线及等线段中两个条件成立，必有第三个结论成立，如图，连结AG。

    ∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，EG⊥BC

    ∴AE＝EG

    ∴∠1＝∠2

    又∵AD⊥BC

    ∴AD∥EG

    ∴∠3＝∠2

    ∴∠1＝∠3

    ∵DG⊥AD，GH⊥AC

    ∴DG＝GH

【模拟试题】

  1. 如图所示，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE平分∠A，CF平分∠C。

    求证：

AE∥CF

  2. 已知：

如图所示，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，EF⊥AD于G，交AB于E，交AC于F，交BC的延长线于H。

    求证：

  3. 如图所示，已知：

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC交AC于D，AE⊥BD交BD的延长线于E。

    求证：

BD＝2AE

  4. 如图所示，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长。

  5. 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为

 ，△ABC的高为h。

    “若点P在一边BC上（如图

（1）），此时 ，可得结论：

 。

”

（1）请直接应用上述信息解决下列问题：

    当点P在△ABC内（如图

（2））、点P在△ABC外（如图（3））这两种情况时，上述结论是否还成立？

若成立，请给予证明；若不成立，

 与h之间又有怎样的关系？

请写出你的猜想，不需证明。

（2）若不用上述信息，你能用其他方法证明猜想结论吗？

  6. 如图所示，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°。

    求证：

DE＝DF

  7. 如图所示，已知：

在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE交于O。

    求证：

AE＋CD＝AC

  8. 如图所示，BC＞AB，BD平分∠ABC，且AD＝DC。

    求证：

∠A＋∠C＝180°

【试题答案】

  1. 证明：

   ∴AE∥CF

  2. 

 3. 证明：

延长BC、AE交于F

    先证

 得EF=EA，AF=2AE

    再证

 得BD=AF

  4. 解：

 为等边三角形

  5. 解：

（1）如图

（2），当P在

 内时，结论  

   仍成立；当P在

 外时，结论

     不成立；应是 

（2）如图（3）

 （由面积得到）

  6. 证明：

过D作DM AB于M，DN AC于N

    则DM=DN

    再证

 则可证 有DE=DF

  7. 证明：

     在AC上截取AF=AE，连OF，则

   8. 方法1：

（如图）

     方法2：

如图

    证法略

    方法3：

如图

    证法略