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1、数学证明的讲解数学证明的讲解(华师大版证明方法精讲) 一.内容： 证明 1.证明的认识 2.用推理方法研究三角形包括：（1）等腰三角形，（2）角平分线，（3）线段的垂直平分线，（4）逆命题、逆定理。 二.过程：（知识点回顾） 1.用公理、定理作为逻辑推理证明的依据，从而证明新的命题成立，常用公理如下： （1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 （3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边、或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等。 （4）全等三角形的对应边、对应角分别相等。 2.等腰三角形： （1）如果一个三角

2、形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”，这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法。 （2）重要性质：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合，简写成“等腰三角形的三线合一”。 3.角平分线： （1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 4.线段的垂直平分线上 （1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 （2）到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 【典型例题】 例1.“三角形内角和180”的证明。 方法1： 方法2： 方法3： 方法4：（注：通过作

3、平行线将角转化），证明过程略。 例2.“四边形的内角和等于360”的证明。 常用的方法是将四边形转化成三角形，利用三角形的内角和： 也可以通过平移角的方法证明： DEBC，FHAB 46B 3C 5A ABCADC543ADC360 例3.如图，已知：ABDE，观察A、C、D的关系如何？ 方法一：延长CD交AB于F ABDE 1CDE 又1AC CDEAC 方法二：延长ED交AC于F ABDE CFDA 又CDECCFD CDECA 方法三：过C作CFAB ABDE，DECF 1D180 12A180 D2A 图2： 方法一：ABDE ADEADC 方法二：延长BA、CD交于F ABDE FE

4、DC BACFCEDCC 方法三： 解略 此题是平移角的训练，关键体会只需移动角的位置。 例4.已知ADCD，C15，ABE30，求A。解：方法一：延长AB交CD于F 则ABECBF30 AFDCCBF153045 ADF90 A180ADFAFD45 方法二：过B作BFCD交AD于F 则EBFC15，BFACDA90 ABFABEEBF45 A180ABFAFB45 例5.已知：如图，ABCD，BE、CE分别是ABC、BCD的平分线，点E在AD上。 求证：BCABCD （分析：一般证明线段和差时有截长法，补短法）方法一：截长法（因为要证BCABCD，在线段BC上截取BFAB，然后证明CFCD

5、，或在BC上截取CFCD，再证明BFAB。） 如上图，在BC上截取BFAB，连结EF 在ABE和FBE中 ABEFBE（SAS） AEFB ABCD AD180 又BFEEFC180 EFCD 在EFC和EDC中 EFCEDC（AAS） FCCD BCBFFCABCD 证法：补短法（延长BE交CD的延长线于G，如图，再证明DGAB，从而转证BCCG，则由BCEGCE可得，再证ABEDGE可有结论DGAB。）ABCG ABEG 又ABEGBC GGBC 在GEC和BEC中 GECBEC（AAS） EGEB，CGBC 在ABE和DGE中 ABEDGE（ASA） ABDG BCCGCDDGCDAB

6、例6.如图，四边形ABCD中，AB8，BC1，DAB30，ABC60且四边形ABCD的面积为，求AD的长。解：将不规则四边形转化成特殊三角形，延长AD、BC交于E A30，B60 E180AB90 AB8 由勾股定理： BC1，CEBEBC3例7.已知：ABAC，D是BC上任意一点，DEAB。 求证：A2EDB 解：方法一：利用等腰三角形的性质（即三线合一） 过A作AFBC于F ABAC，AF平分BAC 即B190 DEAB于E BBDE90 方法二：将BDE沿DE翻折，得到DEF ABAC 则DFBBC，BDF2BDE BDF为等腰三角形，且BDFA A2BDE 方法三：将BA延长至F使AF

7、AB，连结AC（即倍长腰） ABAC，AFAC 即BCF90 DEAB，BED90 又BB，BCFBED 即BAC2BDE 将此题推广，已知ABAC，D是AC上任意一点，DEAB 如图： 将ED、BC延长交于F，则A2F 方法一： 方法二： 方法三： 例8.已知BD、CE是ABC、ACB的平分线，若A60。 求证：（1）BCBECD （2）ODOE 证明：此题隐含的结论：（1）DOCEOB60，（2）AEOD四点共圆，（3）O为内心。 先证ODOE 方法1：连结AO BD、CE分别是ABC、ACB的平分线 DOCEOB60 EOD120 AEOADO180 A、E、O、D四点共圆 O为ABC的

8、内心 AO平分EAD OEOD 方法2： O为ABC的内心 AO平分EOD，可以将AOD沿AO翻折，得到AFO，则 ODOF，ADOAFO 由方法1得：AEOADO180 又AFOEFO180 AEOEFO OEOF ODOE 证明BCBECD也有两种方法： 方法1：在BC上截取BHBE，连结OH，先得出BOEBOH OEOH，1260 3460 再证CODCOH，得到CHCD BCBHCHBECD 方法2：将BOE沿BO翻折得到BOH，然后再证COHCOD。 （证明略） 例9.已知：BAC90，ADBC，BE平分ABC，EGBC，GHAC。 求证：DGGH 分析：先看一个基本图，由双垂直，A

9、DBC，BAC90 再加角平分线BE平分ABC，必有等线段AEAF 由角平分线性质得：AEEG 最后能知四边形AFGE为菱形 方法1：连结FG、AG BAC90，ABCC90 ADBC，ADB90 1ABC90 1C BE平分ABC，23 412，53C 45 AFAE 又EGBC，AEEG且EGAF AFAEFG 四边形AFGE为菱形 AG平分FAE GHAC，GDAD DGGH（角平分线的性质） 方法2：由平行、角平分线及等线段中两个条件成立，必有第三个结论成立，如图，连结AG。 BE平分ABC，BAC90，EGBC AEEG 12 又ADBC ADEG 32 13 DGAD，GHAC D

10、GGH 【模拟试题】 1.如图所示，四边形ABCD中，BD90，AE平分A，CF平分C。 求证：AECF 2.已知：如图所示，ABC中，ABAC，AD平分BAC，EFAD于G，交AB于E，交AC于F，交BC的延长线于H。 求证： 3.如图所示，已知：在ABC中，ACB90，ACBC，BD平分ABC交AC于D，AEBD交BD的延长线于E。 求证：BD2AE 4.如图所示，ABC为等边三角形，AECD，AD、BE相交于点P，BQAD于Q，PQ3，PE1，求AD的长。 5.已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，ABC的高为h。 “若点P在一边BC上（如图（1），此时，

11、可得结论：。” （1）请直接应用上述信息解决下列问题： 当点P在ABC内（如图（2）、点P在ABC外（如图（3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，与h之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明。 （2）若不用上述信息，你能用其他方法证明猜想结论吗？ 6.如图所示，ABC中，AD是A的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDFBAF180。 求证：DEDF 7.如图所示，已知：在ABC中，B60，ABC的角平分线AD、CE交于O。 求证：AECDAC 8.如图所示，BCAB，BD平分ABC，且ADDC。 求证：AC180 【试题答案】 1.证明： AECF 2. 3.证明：延长BC、AE交于F 先证得EF=EA，AF=2AE 再证得BD=AF 4.解：为等边三角形 5.解：（1）如图（2），当P在内时，结论仍成立；当P在外时，结论不成立；应是（2）如图（3）（由面积得到） 6.证明：过D作DMAB于M，DNAC于N 则DM=DN 再证则可证有DE=DF 7.证明：在AC上截取AF=AE，连OF，则 8.方法1：（如图） 方法2：如图 证法略 方法3：如图 证法略