椭圆大题——含答案.docx

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1.已知椭圆M：

+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；

2.设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.

（I）求E的离心率e；

（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.

3.已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.

（I）求直线的斜率；（II）求椭圆的方程；

4.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．

（I）求椭圆的离心率；

（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的

方程．

5．已知斜率为k的直线l与椭圆C：

+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

（1）证明：

k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：

2||=||+||．

答案

1.【解答】解：

（Ⅰ）由题意可知：

2c=2，则c=，椭圆的离心率e==，则a=，

b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：

；

（Ⅱ）设直线AB的方程为：

y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，整理得：

4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：

m2＜4，x1+x2=﹣，x1x2=，∴|AB|==，

∴当m=0时，|AB|取最大值，最大值为；

2.【答案】（I）；（II）.

3.【答案】（I）；（II）；

【解析】（I）由已知有，又由，可得，，

设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有

，解得.

（II）由（I）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得

，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为

4.【答案】（I）；（II）．

试题解析：

（I）过点，的直线方程为，则原点到直线的距离，

由，得，解得离心率.

（II）解法一：

由（I）知，椭圆的方程为.

（1）

依题意，圆心是线段的中点，且.

易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入

（1）得

设则

由，得解得.从而.

于是.

由，得，解得.故椭圆的方程为.

解法二：

由（I）知，椭圆的方程为.

（2）

5.【解答】解：

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），

∴x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：

+=1中，可得，

两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，∴k==﹣=﹣

点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴．

（2）证明：

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2

∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，∴x3=1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．

则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，