最优控制理论的发展与展望.docx

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最优控制理论的发展与展望

[1]最优控制理论是20世纪60年代迅速发展起来的现代控制理论中的主要内容之一,它

研究和解决的是如何从一切可能的方案中寻找一个最优的方案。

1948年维纳等人发表论文,提出信息、反馈和控制等概念 ,为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。

我国著名学者钱

学森在1954年编著的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展。

美国著名学者贝尔曼的“动态规划”和原苏联著名学者庞特里亚金的“最大值原理”是在最优控制理论的形成和发展过程中,最具开创性的研究成果,并开辟了求解最优控制问题的新途径。

此外,库恩和图克共同推导的关于“不等式约束条件下的非线性最优必要条件（库恩—图克定理）

”及卡尔曼的关于“随机控制系统最优滤波器”等是构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表作。

[1]

[1]鲁棒控制是针对不确定性系统的控制系统的设计方法 ,其理论主要研究的问题是不确定性系统的描述方法、鲁棒控制系统的分析和设计方法以及鲁棒控制理论的应用领域。

鲁棒控制理论发展的最突出的标志之一是 H∞控制。

H∞控制从本质上可以说是频域内的最优控制理论。

鲁棒控制与最优控制结合解决许多如线性二次型控制、电机调速、跟踪控制、采样控制、离散系统的镇定、扰动抑制等实际问题。

[2]近年来，最优控制理论[1,2]的研究，无论在深度和广度上，都有了很大的发展，已成为系统与控制领域最热门的研究课题之一，取得了许多研究成果。

同时，也在与其他控制理论相互渗透，出现了许多新的最优控制方式，形成了更为实用的学科分支。

例如鲁棒最优控制[3]、随机最优控制[4]、分布参数系统的最优控制[5]、大系统的次优控制[6]、离散系统的最优控制及最优滑模变结构控制[7,8]等。

而对于非线性系统，其最优控制求解相当困难，需要求解非线性HJB方程或非线性两点边值问题，除简单情况外[9]，这两个问题都无法得到解析解。

因此，许多学者都致力于寻求近似的求解方法[10~13]，通过近似解得到近似的最优控，即次优控制。

1非线性最优控制理论研究成果分类

目前，较为流行的近似最优控制求解方法主要有以下几类[6][13]。

1.1幂级数展开法：

幂级数展开方法通过一个幂级数来构造控制律，得到序列形式的近似最优解，或者将系统中的非线性项以幂级数形式分解，或者通过引进一个临时变量并围绕它展开。

V（x）=∞i=0ΣV（i）（x），Vx（x）=∞i=0ΣV（i）（x），f（x）=∞i=0Σf（i）（x）

将上式代入HJB方程求得级数近似解，也可利用Adomian分解将非线性项进行分解，由此寻求非线性HJB方程级数的近似解。

1.2Galerkin逐次逼近方法：

由动态规划得到的一般性偏微分HJB方程，引入一个迭代过程来求解一般非线性HJB方程的一个近似解序列。

u（k＋1）＝－12R－1BT坠V（k）坠x（x），k＝0，1，2…1．3广义正交多项式级数展开法：

其主要思想是将最优控制问题中的状态变量，控制输入，性能指标和各个参数分别用广义正交多项式展开，利用广义正交多项式的积分、乘积运算阵

tt0乙θ（t）dt＝Pθ（t），tiθ（t）＝Liθ（t）

将描述系统的微分方程转化为一系列的代数方程X＝MU＋N。

然后，得到TU=V，T非奇异时由U=T-1V得到的控制律是一个多项式级数解u（t）＝θpt（t）U。

该方法将最优控制问题转化为代数极值问题，从而避免了求解时变非线性Riccati方程。

1.4有限差分和有限元方法：

经典的有限差分和有限元方法可以用

来近似求解非线性HJB方程。

近年来，这类方法用来近似求取非线性HJB方程的粘性解。

1.5状态相关Riccati方程方法：

这种方法适用的模型是仿射非线性系统，通过极大值原理假设最优控制律具有如下形式

u*（t）＝－R－1BT（x）P（x）x

其中P（x）为下式所述里卡提方程的解－P.（x）=AT（x）P（x）＋P（x）A（x）－P（x）

B（x）R－1BT（x）＋QP（x（tf））＝Qf这样，问题的关键归结于近似求解P（x）。

状态相关里卡提方程方法通过在P（x）中引入灵敏度参数变量ε，在ε＝0邻域内将P（x）展为幂级数

P（x，ε）＝P（x）ε＝0＋Pεε（x）ε2／2ε＝0＋…＝mn＝0ΣεnLn（x）

通过比较幂级数同次项系数将状态相关里卡提方程分解为一组矩阵微分方程序列，由此求得其近似解。

状态相关里卡提方程方法所设计的近似最优控制律是一种级数形式的状态反馈控制律。

1.6Riccati方程近似序列法：

该方法对非线性系统构造线性时变序列以及相应的线性二次型时变性能指标，得到线性时变序列的最优反馈控制序列

ui＝－R－1BT（x（i－1）P（x（i）x（i），i≥0

其中P（x（i）∈Rn×n是里卡提方程近似序列的解。

此方法计算量较大，但是当系统的维数不是很大时，较里卡提方程近似序列方法具有很快的收敛速度，并表现出很好的鲁棒性。

1.7逐次逼近法：

该方法是针对非线性的一次项和高次项可分离的一类非线性系统进行近似最优控制问题的求解，给出了一种逐次逼近的近似求解方法。

该方法针对由极大值原理导致的两点边值问题，构造近似的等价序列将其转化为一组线性非齐次两点边值问题序列，通过迭代求解一系列的向量微分方程，包括状态向量方程序列和共态向量方程序列，得到原非线性系统近似最优控制问题的解。

该方法被广泛应用到各类非线性系统，其最大优点是在迭代过程中每次计算的不是矩阵微分或代数方程，而是向量微分或代数方程，计算量大大减少，而且实时性很高。

2非线性最优控制理论研究成果对比比较以上方法，各有优缺点。

其中，幂级数展开方法要求系统关于状态向量 x 解析，才能够进行展开，这在实际工程应用中是不现实的。

Galerkin 逐次逼近法的收敛性过于依赖系统的初值，收敛性在很多情况下是无法保证的。

广义正交多项式级数展开法和有限差分、有限元方法都是采用不同的数学工具来解决近似求解非线性系统的最优控制问题，但这两种方法的计算收敛性不好，所需的巨大计算量也使得它们离工程实际应用有很大一段距离。

状态相关里卡提方程适用于一类仿射非线性系统。

里卡提方程近似序列方法同样适用于一类仿射非线性系统，当处理高维系统时，其计算量将很大。

而逐次逼近法，从计算复杂度看，是对向量迭代，得到的最优控制律是由精确的线性反馈项和非线性补偿项组成，将最优控制的求解转化为非线性补偿向量序列的求极限过程，大大减少了计算量，容易被实际工程所应用。

简言之，逐次逼近法通过较为简单的计算设计得到系统的近似最优控制律，具有计算量少，易于工程实现的优点，有很好的工程应用前景。

然而，逐次逼近法的缺点在于其对外部扰动和系统内部参数摄动以及未建模动态敏感，因此提高最优控制的鲁棒性是非常必要的。

3结束语

对于非线性系统，其最优控制的解一般是不存在的。

再加上非线性系统的复杂性和多样性，这方面的研究成果还很少，尚待解决的问题还很多，本文对非线性最优控制理论现有研究

成果对比进行了详细的阐述，并对其优缺点进行了客观的对比，为非线性最优控制理论的进一步研究提供参考。

[3]2 最优控制理论的基本内容和常用方法

众所周知,动态规划、最大值原理和变分法是最优控制理论的基本内容和常用方法。

动态规划是贝尔曼20世纪50年代中期为解决多阶段决策过程而提出来的。

这个方法的关键是建立在他提出的所谓“最优性原理”基础之上的,这个原理归结为用一组基本的递推关系式使过程连续的最优转移。

它可以求这样的最优解,这些最优解是以计算每个决策的后果并对今后的决策制定最优决策为基础的,但在求最优解时要按倒过来的顺序进行,即从最终状态开始到初始状态为止。

动态规划对于研究最优控制理论的重要性在于:

①它可以得出离散时间系统的理论结果;

②用动态规划方法可以得出离散时间系统最优解的迭代算法;

③动态规划的连续形式可以给出它与古典变分法的联系,在一定条件下,也可以给出它与最大（小）值原理的联系。

这样就使得三种解决最优控制问题的基本方法在一定条件下得以沟通。

庞特里雅金于1956～1958年间创立的最大值原理是经典最优控制理论的重要组成部分和控制理论发展史上的一个里程碑。

它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效方法。

由于它放宽了求解问题的前提条件 ,使得许多古典变分法和动态规划无法解决的工程技术问题得到了解决。

同时庞特里雅金在他的著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。

当然,许多控制问题还是能用古典变分法解决的。

在这种情况下,采用古典变分法解决问题会更加简便和容易。

3最优化技术

最优控制的实现离不开最优化技术,最优化技术是研究和解决最优化问题的一门学科,它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。

也就是说 ,最优化技术是研究和解决如何将最优化问题表示为数学模型以及如何根据数学模型尽快求出其最优解这两大问题。

一般而言,用最优化方法解决实际工程问题可分为三步进行:

①根据所提出的最优化问题,建立最优化问题的数学模型,确定变量,列出约束条件和目标函数;

②对所建立的数学模型进行具体分析和研究,选择合适的最优化方法;

③根据最优化方法的算法列出程序框图和编写程序,用计算机求出最优解 ,并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等作出评价。

4最优化问题的基本求解方法

所谓最优化问题,就是寻找一个最优控制方案或最优控制规律,使系统能最优地达到预期的目标。

在最优化问题的数学模型建立后,主要问题是如何通过不同的求解方法解决寻优问题。

一般而言,最优化方式有离线静态优化方式和在线动态优化方式,而最优化问题的求解方法大致可分为四类:

4.1 解析法

对于目标函数及约束条件具有简单而明确的数学表达式的最优化问题,通常可采用解析法来解决。

其求解方法是先按照函数极值的必要条件,用数学分析方法求出其解析解,然后按照充分条件或问题的实际物理意义间接地确定最优解。

4.2 数值解法（直接法）

对于目标函数较为复杂或无明确的数学表达式或无法用解析法求解的最优化问题,通常可采用直接法来解决。

直接法的基本思想,就是用直接搜索方法经过一系列的迭代以产生点的序列,使之逐步接近到最优点。

直接法常常是根据经验或实验而得到的。

4.3 解析与数值相结合的寻优方法

4.4 网络最优化方法

这种方法以网络图作为数学模型,用图论方法进行搜索的寻优方法。

5优化方法的新进展

5.1在线优化方法基于对象数学模型的离线优化方法是一种理想化方法。

这是因为尽管工业过程（对象）被设计得按一定的正常工况连续运行,但是环境的变动、触媒和设备的老化以及原料成分的变动等因素形成了对工业过程的扰动,因此原来设计的工况条件就不是最优的。

解决此类问题的常见方法。

5.1.1局部参数最优化和整体最优化设计方法

局部参数最优化方法的基本思想是:

按照参考模型和被控过程输出之差来调整控制器可调参数,使输出误差平方的积分达到最小。

这样可使被控过程和参考模型尽快地精确一致。

此外,静态最优与动态最优相结合,可变局部最优为整体最优。

整体最优由总体目标函数体现。

整体最优由两部分组成:

一种是静态最优（或离线最优）,它的目标函数在一段时间或一定范围内是不变的;另一种是动态最优（或在线最优）,它是指整个工业过程的最优化。

工业过程是一个动态过程,要让一个系统始终处于最优化状态,必须随时排除各种干扰,协调好各局部优化参数或各现场控制器,从而达到整个系统最优。

5.1.2预测控制中的滚动优化算法

预测控制,又称基于模型的控制（M