XX数学建模汽车修理问题.docx
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XX数学建模汽车修理问题
XX数学建模汽车修理问题
数学建模第二次模拟
题号：
C1
组号：
152组CMMHML
组员：
贺霆、米占通、李蕾
摘要
由于汽车修理中心资源安排的不合理，一方面使得修理中心成本较高，另一方而白费了顾客大疑的时刻。
本文第一建立排队论模型，求得在模型中p。
、w.Lq等相关指标：
然后从费用的角度考虑再建立排队优化模型，得到人员与设备的最佳安排方案；苴次，又建立一个区间估量模型来解决服务车辆完成服务的时刻区间，最后综合考虑修理机构的服务成本和顾客中意度分别赋权0.7和0.3建立模型，进一步改善服务台的配巻。
问题一，要考虑工作台的利用率即求服务系统的工作强度P。
第一，通过对数据的处理利用x彳检验得到服务系统的输入过程服从泊松分布，服务时刻服从负指数分布，在依照题目中的已知条件可知该排队论的类型为M/M^N/-/FCFSO假设修理机构每天8小时工作制,依照处理的数据可得单位时刻顾客到达数X和单位时刻服务完的顾客数P,由p=—可求得服务台的利用率为0.8310。
问题二，在汽车修理系统中，由于系统的服务台是有限的s=3,因此当需要修理的车辆大于3时，来的车辆就需排队等候。
通过该类型排队论的相关指标以及little公式，就能够求的汽车排队候修的概率p以及等待修理和正在修理的平均水平，候修概率为：
土化=1一（斥+鬥+人+化）=0.3708平均等待的顾客数场=0.6959：
正同意服务W-.V+1
的平均顾客数5=2.2400
问题三，通过排队论优化模型建立费用函数z=st+c.U+293而利用率。
随丄作每天台服务时刻t变动最后得到关于t的函数求出极小值为最小服务成本809.1（元）对应的每个服务台每天运行时刻t为：
4（小时）
问题四：
要求修车员在汽车侯修时即告知其大致修理完成时刻，可找到一个置信度为9概的置信区间，建立满足一定置信度的统讣推测模型，利用参数的区间估量方法，依照所给数据，对修理完成的时刻区间进行推测。
问题五:
我们提岀了改进的建议和新建模型综合考虑顾客中意度和服务成本分配权重为0.7（中意度）和0.3（服务成本）建立目标函数
f=0.1d-0.3z并求出最小值为1217.98（元）
问题重述
汽车修理是一个随机服务系统，服务对象是各种不同类型汽车，也能够说是这些车辆的拥有者或驾驶员，统称为顾客，服务机构是汽车修理中心或汽车修理点，称为服务员或服务台。
该汽车修理点有三个工作台，共有九个修理技术工人。
修理点的排队规则为顾客到达服务机构时，若所有服务台都被占用，则按先后次序单列排队等候服务。
服务规则为先到先服务，即按到达的先后次序同意服务。
该修理点有九名修理技术工人、三个工作台，依照以往体会，每个服务台每天的服务成本要紧包括以下儿项:
⑴工资300元，
（2）餐费30元，（3）房租54元，⑷水电费38元，⑸税收45元，（6）设备折旧费26元，（7）上缴费用100元，⑻设备修理费13元，（9）交通、洗涤、易损工具费等26元。
顾客等待费用的确定比较困难,它包括停车缺失、顾客等待时刻长而无法返回的食宿费、车旅费等，由于各种大小车辆的停车缺失不同，顾客离修理点的距离远近不同，但据调查，因汽车故障而造成停车的缺失费平均不低于1007C/台•天。
问题一：
通过运算工作台的利用率并分析结果。
问题二：
运算汽车需排队候修的可能性，以及等待修理与正在修理的汽车平均水平，并给出你的建议。
问题三：
从费用的角度研究该汽车修理点的人员和设备的最佳配置。
问题四：
作为等待修车的驾驶员，自然期望尽早明白自己大约何时能修理完毕。
能否依照修理汽车的统讣情形，在汽车侯修时即告知其大致修理完成时刻区间。
问题五：
是否还有其他比较好的改进或者治理建议?
问题分析
排队服务系统简介:
排队论中常用来衡量服务机构服务水平或强度的数量指标有:
1几一-顾客平均到达率；
2“---每个工作台的平均服务率；
3°=兄/$“---系统的服务强度（服务机构的平均利用率）；
4N—-汽车修理点系统的最大容量；
5仇---汽车修理点系统的闲暇率;
6Pn-一汽车修理点系统的状态概率；
7巴---顾客平均等待时刻；
8厶---在汽车修理中心的汽车数量的平均水平，即队长;
9厶厂--正在等待修理的汽车数量平均水平，即队列长；
10?
-一为正在同意汽车修理服务的顾客数；
11S——汽车修理点的服务台数此处为（s=3）
依照排队论的相关公式进行统计推断，依照资料建立模型：
分析系统处于平稳状
问题一要求运算工作台的利用率，即p=Msp的值。
问题二要求汽车需排队候修的可能性，以及等待修理与正在修理的汽车平
均水平，即求顾客来到修理点需要排队等待的概率山下面公式：
可得等候概率为土化=1—（斥+鬥+出+化）=0.3708
n-54-l
问题三属于排队系统最优化问题。
汽车修理点每天的费用由三部分组成:
（1）单位时刻支付所有修理人员和与时刻相关的服务台的服务费（含餐费）
（2）按天运算的每天固定费用费293（3）所有顾客在系统中停留单位时刻造成的费用即等待费用Q2=c“Z。
得费用函数乙=Q+Q+293=cSs+c.L（单位时刻）其中t是每天每个工作台服务的时刻：
以小时为单位；以费用函数为要紧优化LI标，得出总费用的函数关系模型，求其取最极小值，该汽车修理点的人员和设备的最佳配置。
即最优服务台数和每个丄作台每天提供服务的时刻以及每位丄人每天需要工作的时刻。
问题四要求修车员在汽车侯修时即告知其大致修理完成时刻，可找到一个置信度为9概的置信区间，建立满足一定置信度的统讣推测模型，利用参数的区间估量方法，依照所给数据，对修理完成的时刻区间进行推测。
3.模型假设
1、假设汽车修理点一天工作8小时制；
2、假设汽车服务系统的服务容量为6；
3、不考虑修车技术的限制，修理设备无故障。
4、汽车在修好后观看终止后均可正常离开，不再占用服务台资源；
5、服务人员的服务质量不因服务人员的态度而改变，不阻碍汽车等待时刻一
6、需要修理的汽车来源是无限的。
4、符号说明
1A—顾客平均到达率；
2每个工作台的平均服务率；
3p—系统的服务强度（服务机构的平均利用率）；
4N-一汽车修理点系统的最大容量；
□P.一-汽车修理点系统的闲暇率；
6Pn一-汽车修理点系统的状态概率；
7%---顾客平均等待时刻；
8厶一-等待修理的汽车平均水平，即队长；
9L---正在修理的汽车平均水平，即队列长；
10，-一为正在同意汽车修理服务的顾客数
问题一：
先依照下表：
做统讣才检验法分析得到输入流泊松分布和服务时刻服从负指数分布
各月份修理中心共提供服务数量（辆）表
年月日期
2008年
2009年
8月
9月
10
月
11
月
12月
1
月
2月
3
月
4月
5月
6月
7
月
36
0
天
服务总数
（辆）
27
7
26
3
27
6
26
0
28
0
29
3
25
6
26
9
26
0
26
6
26
0
28
0
32
40
辆
平均每天服务数
（辆）
8.
9
8.
8
8.
9
8.
7
9.
3
11
.3
9.
1
8.
7
8.
7
8.
6
8.
7
9
C
辆
/
天
服务总数（辆）
□服务总数（辆）
*检验法是在总体X的分布未知时，
依照来自总体的样本，检验关于总体分布的假设的一种检验方法.分布拟合的，检验法的差不多原理和步
骤如下：
1.将总体x的取值范畴分成k个互不重迭的小区间，记作外44,…4
2.把落入第i个小区间A的样本值的个数记作£，称为实测频数.所有实测频数之和
Z+f2+/3+...+fk等于样本容量n.依照图表得知n=3240
3.依照所假设的理论分布,能够算出总体X的值落入每个4的概率必，因此np,确实是落入A的样本值的理论频数.
4.标志着体会分布与理论分布之间的差异的大小.
5.皮尔逊引进如下统汁量表示体会分布
与理论分布之间的差异:
、
才_£（/一心）2
在理论分布F（x）完全给泄的情形下，每个门差不多上确左的常数.由棣莫佛一拉普拉斯
中心极限泄理，当n充分大时，实测频数渐近正态，
因此：
是k个近似正态的变量的平方和.
这些变疑之间存在着一个制约关系：
故统il崔渐近（k-1）个自由度的力‘分布
依照那个定理，对给泄的显著性水平
査力‘分布表可得临界值力：
得拒绝域:
/2＞力伙一D（不需估疑参数）
假如依照所给的样本值X,,X2,X3,...X„算得统计量/的实测值落入拒绝域，则拒绝原假设，否则就认为差异不显著而同意原假设.
皮尔逊建理是在n无限增大时推导出来的，因而在使用时要注意n要足够大，以及np不
太小这两个条件.
依照运算实践，要求n不小于50,以及n门都不小于5.否则应适当合并区间，使n□满足那个要求.
现在假设：
顾客到达时刻间隔满足泊松分布，那么到达时刻间隔满足负指数分布,其概率分布函数服从负指数分布。
假设到达时刻间隔服从期望值等于丄的指数分布，（人=9为平均到达率）
那么概率分布函数则为F（x）=1-严
记：
H。
：
总体X的分布函数为：
F（%）=1-严;
Hi：
总体X的分布函数不是=
将数轴分为12个区间，在H。
成立的条件下，运算总体频率；
顾客到达规律：
Possion程
时刻段t内到达的顾客数k的概率为
P（X（f）=£）=W?
*却，其中k=0,1,2,3・・・
给定显著性水平«（0<«<1）,能够得到拒绝域：
运算才的观测值，假如z2>Z；伙-1）就拒绝H（）,否则就同意Ho。
通过对题LI给定的统讣资料进行才检验得知顾客输入流是服从Possion分布
类似的服务时刻分布服从〃负指数分布：
且求得l/“"33min/辆（每辆汽车平均同意服务的时刻）
将“的单位转化为天可得到〃=3.61
汽车修理时刻与顾客数的关系直方图
服务数（笹）
09OO—02C）6S—00C）oom—o、a6拓—0氏）2鬲—0石）〔2N—1081—0906ST0E）昌—06）06—09）〔09—0e）0:
0一
问题二:
基于Marcov生火过程：
M/MgN/8
差不多模型的建立
系统状态（稳态）的平稳方程为
入Pg=S“n
M?
=久E
<
z、
（1）
S+1）〃即+样=（兄+必比
（1少“化+i+几化_1=（几+s"）£（$S刃vN）
N
其中£代=1,且p=—<\.:
ih递推关系能够求得系统状态概率为;?
=0sp
乞扑刃+警土严
$!
（QH1）
（2）
（P=l）
N
顾客等待的概率：
/伍Q）=£巳/t=^4-l
为了运算方便，我们约定N取值6,s=3,由
（2）式可得吒=0.0685（4）再将（4）代入（3）可得：
片=0.1708P2=0.2129出=0.1770
因此可求得:
顾客等待的概率：
f（s,p）=£匕=1—（呂+鬥+出+4）=0.3708ri-J+1
等待修理的汽车的平均水平即排队长：
L仝（―记=-^4皿--（N-必-Q0]
>2=V+15：
（1—P）
即L=0.6959
正在修理的汽车平均水平为s=L-L=sp{\-Pv）
N=6
人=0.1015
即？
=2.2400
问题三：
系统费用模型的建立
通常所说的费用是指服务机构的服务费用和顾客的等待费用，一样说来，提高服务机构的服务水平（即增加了服务机构的成本），自然会降低顾客的等待费用（缺失），最优化的目标之一是使二者费用之和最小，另一个目标是使服务机构的纯收入（利润）为最大，如图5・5所示。
极小it服务水平
费用与服务水平关系图
顾客的等待缺失费
关于某一确定顾客，其等待缺失费为等待一个单位时刻的费用与等待队长的期望值乘积。
等待一个单位时刻缺失的费用为定值（比如能够用顾客平均一天的工资来衡量），顾客的中意度能够通过顾客在服务系统花费的总费用来运算，即包含服务费用和顾客的等待缺失费，山于该费用可归为只与顾客平均等待时刻有关，因此通过平均等待时刻的大小便可反映岀顾客中意度大小
（2）M/M/q模型中最优的服务台数c
一天内的全部费用
Z=c*sst+CwLt+293,（10）
其约束条件为:
{0为了便于治理和公平起见假设每个修理工人的修理技术都相同，每天工资相同,假设每个工作台平均分配三个修理工人。
工人工资按天运算；
二（工资300元+设备折旧费26元+设备修理费13元）/8M2.375
每天每个工作台固定费用（按天运算）：
餐费30元+房租54元+水电费38元+税收45元上缴费用100元+交通、洗涤、易损工具费等26元=293（元）；
9
现在A=-；
t
-=133nin=2.217（台//?
）
A3
p=一=—
3“皿
把：
L=5+“（1一斥v）
"敦-松課>[+—）严]
乞挣刃+咛土严
代入到LI标函数即可用MATLAB编程算出费用函数的极小值
其中”，为每个服务台每位时间的成本。
现在要求z（s*,r）最小，由此有
故得到：
修理中心每天最小服务成本809.1（元），以及假设3个服务台同时运行时每天只需要提供的服务时刻为t为：
4（小时）
问题四：
模型的分析
山模型-可知，汽车修理服务时刻满足了负指数分布。
要依照修理汽车的统计情形，在汽车侯修时即告知其大致修理完成时刻区间，只要求出在一定置信水平a下，修车所需要真正时刻的所在范畴，如此的范畴以区间形式给出，即是所谓的置信区间。
与未知参数&的点估量相比，区间佔量有着明显的优势：
它不仅给出了参数真值所在的范畴，还给出了该范畴包含真值的可信程度。
模型的建立与求解：
依照题□设服务时刻那个总体X~e⑹，其中沧兀…Xn是取自X的样本。
则由统计学的知识可得
«Y
Y=2工冷~才⑵“，同时分布*⑵2）不依靠于任何未知参数。
设定a=0.5利用表二的数据可得
nX
⑵7）<2耳子<忿⑵?
）j=1一a（12）
得到e的置信区间
—11
2Xn-—,—（13）
b（n）
其中
力=/I%⑵”，4力玄⑵2）
在附表二汽车修理服务时刻记录表中，曲于样本容量充分大n=100则有
/l（n）=n+42nZa（14）
代入数据并运算可得
宀/爲5（2OO）=2OO+U2*2OOZo.975i60・8b=加025（200）=200+y/2*2OOZOO25=239.2由
其中X=133,n=100,
得到在可信度为0・93时，服务台修理汽车大致修理完成时刻区间为
[1小时46min,2小时28min]
问题五：
依照笫三问可知：
在修理中心的平均顾客数为2.24（台）这和0=彳=0.8310是对
应的，验证了此模型的可行性，依照模型假设可知在8小时工作制的前提下该修理中心工作台的利用率为83・1%相对来说较高了。
原模型假设的基础上考虑：
只改变营业时刻即:
8小时制换成24小时营业求出对应的工作台利用率和系统中其他数量指标
5.1:
24小时制下服务系统：
依照数据表和实际情形可知平均每天到修理中心的顾客的数量是差不多固定的因此：
利用率P=-^-=0.2771得知24小时制下修理中心工作台的利用率太小导致工3sp
作台闲置增加了服务成本，因此24小时制下该修理中心能够减少服务台的数量
模型分析：
因为的顾客一样差不多上在白天来修理中心晚上相对较少而晚上的时刻则是白天的2倍明显可知晚上工作台的利用率会比白天小得多但从费用角度来说修理工人的耗费会比白天多因此24小时制下的修理机构造成的资源白费比较严峻，从利润角度和服务系统的平均服务水平来说都不可取
5.2：
综合考虑顾客中意度和服务成本建立模型
假设顾客中意度占70%的权重服务成本占30%的权重
顾客的中意度直截了当阻碍修理机构的声誉和生意进而阻碍到修理中心的利润模型假设：
修理中心的技术不变，关于顾客来说一样是等待时刻越短顾客月中意假设顾客中意度下〃与等待时刻（平均逗留时刻）成反比其比例系数为常数R
即得到目标函数:
/=0.7J-0.3z
d=k^W
“敷宀=律心）严］
w=%+丄
“
Z=c*sSt+CwLt+293
1=133nin=2.217（台/〃）“
_£=2_
3“M
L=场+3（1—凡）
姑讨+畔士严
L*-oN•」・訂・j+i
爲（沪畔（―）
（0（s
<）
用数学工具MATLAB能够求得znax/=1217.98
六：
模型的评判与改进
第五问中的/=0・7〃-0・3乙中意度d没有量化处理从而无法准确给出顾客的中童度
琢型陰优点：
采纳8小时工作制能够得到较高工作台的利用率，并给较为准确的给出该排队系统的各项数量指标
模型缺点：
关于中意度的指标给的专门模糊，基于做题比较匆忙没有深刻研究中意度的量化函数
七：
参考文献
⑴韩忠庚•有用运筹学•北京•清华大学出版社［MJ.2007
［2］覃志奎.基于银行排队问题的数学模型及求解［J］.广西，河池2006年第3期.⑶杨米沙,易昆南.基于排队过程的银行柜台设置优化探讨［JJ.2009年9月，第36卷第5期.
附录：
第三问的程序：
clear
symsx
form=l:
3
c=m;
p0=0;
fori=0:
c-l;
pO=pO+（c*（l/（0.739*x）））Ai/factorial（i）;
end
p0=p0+cAc/factorial（c）*（（l/（0.739*x））A（c+l）-（l/（0-739*x））A7）/（l-（V（0-739*x）））;p0=l/p0;
forj=O:
c
p（j+l）=（c*（l/（0.739*x）））Aj/factorialO）*pO;
end
forj=c+l:
6;
p（j+l）=cAc/factorial（c）*（J/（0.739*x））Aj*pO;
end
lq=0;
fork=c+l:
6;
lq=lq+（k-c）*p（k+l）;
end
ls=lq+c*（l/（O.739*x））*（l-p（7））;
w=（lq*x*0.0778）./（l-p（7））+12.768*c*x+3.75*lq*x+5.074*c*（l-p（7））+87.9
forn=l:
3
A（m/n）=subs（w,x,n）
end
end
zl=subs（ls,x,3）
z2=subs（lq/x/3）
第五问的程序：
clear
symsx
form=l:
3
c=m;
p0=0;
fori=O:
c-l;
pO=pO+（c*（l/（0-739*x）））Ai/factorial（i）;
end
p0=p0+cAc/factorial（c）*（（V（0.739*x））A（c+l）-（l/（0.739*x））A7）/（l-（l/（0-739*x）））;pO="pO;
forj=O:
c
p（j+l）=（c*（l/（0.739*x）））Aj/factorialG）*pO;
end
forj=c+l:
6;
p（j+l）=cAc/factorial（c）*（l/（0-739*x））Aj*pO;
end
lq=O;
fork=c+l：
6;
lq=lq+（k-c）*p（k+l）;
end
ls=lq+c*（l/（0.739*x））*（l-p（7））;
w=（lq*x*0.0778）./（l-p（7））+12.768*c*x+3.75*lq*x+5.074*c*（l-p（7））+87.9〃k"时的w表达式
w=（lq*x*0.0778*12.5）./（l-p（7））+12.768*c*x+3.75*lq*x+5.074*c*（l-p（7））+87.9//k=12.5时的w表达式
z=42.375*c*x+12.5*ls*x+293〃问题三的目标函数
forn=l:
3
A（m,n）=subs（w,x/n）
end
end
z0=subs（z,x3）
zl=subs（ls,x,3）
z2=subs（lq/x3）〃对应的t是后来用笔算出来的
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