球与各种几何体切接问题专题一.docx
《球与各种几何体切接问题专题一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《球与各种几何体切接问题专题一.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
球与各种几何体切接问题专题一
球与各种几何体切、接问题
近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义1:
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内
接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面
体，这个球是这个多面体的内切球•
一、球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题•
1、球与正方体
（1）正方体的内切球，如图1。
位置关系：
正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；
数据关系：
设正方体的棱长为a,球的半径为r,这时有2r=a。
（2）正方体的棱切球,如图2。
位置关系：
正方体的十二条棱与球面相切,正方体中心与球
心重合;数据关系：
设正方体的棱长为a，球的半径为r,这时有2^2a。
（3）正方体的外接球,如图3。
位置关系：
正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心
（4）
与球心重合;
AA，DDI的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（
A.辽
5'二
=VEFC—直线En冠得的绽段为球的截面圆船直径27J=√2。
点评；本题考查球与正启悴ft⅛撷的问题，;「闭球的Iffi性质，转化成⅛⅛求球的截面IS直径.
2、球与长方体
例2自半径为R的球面上一点M,引球的三条两两垂直的弦MA,MB，MC，求
MA2MB2MC2的值.
【解析】,3∕C⅜A一个顶点出发的三条協將三棱笹M—ABC补咸一个长方氷则另外四个顶点莎在球面上，故长方体是球的內接长方体，则长方体的⅛⅛i⅛长是球的直径.
/.—Ur+3Z52+J∕c—^（2J？
）2
点评匕此题突出构造法的演用，姬渗透利用今割补劭的方法解决立体几何中体积计算••
结论：
长方体的外接球直径是长方体的对角线。
例3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个
球的表面积为（）•
A。
16二B.20二C。
24二D。
32:
思路分析：
正四棱柱也是长方体•由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,
可得长方体的长、宽、高分别为2,2，4,长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径
【解析】正四棱柱也是长方体口由长方体的対只16^734可以匸出长方体的底面辺长为2,因此,长方体的长、宽、高分别为Z2，4。
因为长方体内接于球,所页”勺体对角线正好为球的直径•长方体体对角线长为2√6•故球的表面积为24π•故选C.
点评*本题考查球与长⅛⅛的间题,于打扶方体的性质・转化成为求其体对角线。
3、球与正棱柱
（1）结论1：
正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。
（2）结论2:
直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
一个六棱柱的h⅛⅛½止六边形，其测棱雅直F底面.
斷鮭梭幽顶点都在同i球面匕11験棱柱的体积碍
⅛:
InJrilK为—则这个坤的休积为
4打
已知备顶点都亦同个球而上IHiIiPM棱柱的高为虬体积为⑷•则这牛球（1⅛⅛ι⅛ι⅛⅛.24；T
Λ-「[三棱柱ABC一AiZrICl中∙AB=4，AC=⅛J=.AAλ=4,
财直滋柱ABC-4ZrlCl的外接球的表面积
160jt
～T~
球与锥体的切接
规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。
1、正四面体与球的切接问题
（1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：
正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体
的中心与球心重合；
【解析】如图正四面体A—BCD的中心为0,即内切球球心，内切球半径R即为0到
正四面体各面的距离.∙.∙AB=a,.∙.正四面体的高h=严a,又Va-BCD=4VO—BCD,（）∙°∙R=1h
34
=陰
12
（2）正四面体的外接球，位置关系：
正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心
与球心重合；
数据关系：
设正四面体的棱长为a,高为h；球的半径为R,这时有4R=3^-⅛a;（可用
正四面体高h减去内切球的半径得到）
例5求棱长为1的正四面体外接球的半径。
设SOi是正四面体S-ABC的高，外接球的球心0在SOi上，设外接球半径为R,AOi=
结论：
正四面体的高线与底面的交点是△ABC勺中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据•此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点
3
此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的*内切球的半径是正
1
四面体高的4∙
（3）正四面体的棱切球,位置关系：
正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球
心重合；
数据关系：
设正四面体的棱长为a，高为h;球的半径为R,这时有
4R=。
3h=S2a,h-a。
3
RMuG中，OC：
=0G」+CGsWR2
已知正四面体A—BCD的棱长対G求它的外接球半径、內切球半径、棱切球半径”解］由正四面陳的对隸性与球的对粽性知球心在正四面体的高上＊
设外接球半径为J?
如图（O为外接球球心，G^ΛBCD的重心）+
所l⅛AG=—解得R=區＊
例7设正四面体中，第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积
之比及体积之比。
思路分析：
此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两
个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的。
【解析】如图,正四面⅛ABCD的中心JU,λPZι）的中50—则第一个域半径为正四面体的中心到各面的距离,第二个球的半径为正四面体白「到炉:
加距离.
^OO=rτOA=AS正四靳ft的一"面的面积严’—
依题意得U^L）=^S（R^r）t又4亠4卩亠口二；GIS
二R十＄=4尸即A=弘＊
Fςςrj内切球的表面积_丄万：
_1內切球的体积_亍”_1所以外接球的表面积^存肓•升接球的师：
二二匚亍一/ZK
点评:
正四面慵与球的接切问题,可通过线面关系证出，內切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点,幫定有内切球的半径y=—h（h为正四面体的高），且外接球的半径R=3r.
（4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点？
分析如图II因为正四面体Λλ
ABCDftJ外接球的球心O到点B,Ctj∕∖∖
D的距离相等,所以O在平面BCD/：
\\
内的射影O-到点BtUD的距离也B《一列相等.又因为在正四面体ABCD中/
VBCD是正三角形，所以Ol是C
VBCD的中心。
进而在正四面体罡］
ABCD中，有AaL平面BCD,所以
球心0在高线AQ上；同理:
球心0也在其它面的高线上.又正四面体ABCD中各面上的高都相等•所以,由OA=OB=OC=OD，得［点0到正四面体各面的距离相等,所以点0也是正四面体ABeD的内切球的球心。
这样,正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合。
记正四面体ABeD的高为h,则r÷R=h=今乱因此■只要求出!
’和R中的一个■便可求出另一个＊
2.其它棱锥与球的切接问题
（1）球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点
在球面上，根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解•二是球为正棱锥的内切球，例
如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R•这
样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
（2）球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解。
结论1:
正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到.
结论2：
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法。
途径1：
正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。
途径2：
同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方
体和正方体.
途径3：
若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体。
途径4：
若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体。
例8正三棱锥的高为1,底面边长为2，6，正三棱锥内有一个球与其四个面相切。
求球的表面积与体积.
思路分析：
此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系,由等体积法
VP—ABC=VO-PABVO—PAC+Vo_PBC+V。
」BC，
【解析】如國球0是正三棱锥P—ABC的内切玖O到兀二粧锥四个而的距冉都是球的半径虑
尸H是正三棱維的高，1。
E是BCil）屮鬲H^LAE±，
丄扭C的边。
，。
.⅛Ξ=-×2√6=√2。
PE=运
6
可左得到Sda二S＊=S曲=^CPE=3√2-S/=f（2√6）2=M
IK—1
由等体积法,b运仪+Z亦+2运
A—x6^xl=iχ3Λ∕2xJξx3+^x6√3x^⅛:
Λ=-⅛^=√6-2，
3332y[3+3
二‰=4衣:
=丄巩质—2）：
=8（5-L^）.τ.…T;=；总=i,τ（√6—2）∖
点评；球心是決走球的位直关键泉本題和用球心钊正三巒口个面的距离相等且为球半径R来求出乩以球心的位置特点来抓球的基本墾，这是解决球有关间题常用的方法。
例9（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为■，3,则其外接球的表面积
是^
思路分析：
此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心,利用直角三角形计算球
的半径•而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法•三条侧棱两两垂直，使我们很快联想
到长方体的一个角,马上构造长方体,由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型^
【解析】此题用F解法,需妾作出棱锥的高，然右再设出球心•利用直角三甫形计算球的半径.而作対墟空题，我们更想使用较为便捷的方法,所以三条侧棱两两垂育。
使我们很快联想到长;⅛体的一个角,马上构造长方体，且测棱长均相等,所以可构造正方体模型.如图1,^AC=BC=CD=√3,那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线,故所求罷5只是溉.（如图1）
图1
点评：
此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用的方法。
例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是
边长为1的正三角形，SC是球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为（）
2A.
6
。
3。
22
B。
C.D。
632
思路分析：
ABC的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点O到面ABC
的距离•由SC为球O的直径=点S到面ABC的距离即可求得棱锥的体积.
【解析】AAEC的外接區1半径为1∙面一匹二的距鹿d=〉⅛2—√=虽处球O的直径=
33
点S到面朋C的距离X=吏T此棱锥的蚀职为；JSX防U匕垃瓦还=生「选討
333436
点评：
本题难度不大，主要是利用转化与化归怎想,将棱锥高应用球的几何性质计算得到.
练习:
例J沿⅛Jf;AlKDffJ⅛角线乂•折起，形成空伺洌边形AlHDT便得。
IllJ角B-AC—D为120人t√AB-2・BCit
则此时四面林ABCD的外接球的体积为
5>∕⅛
例氛L!
⅛fl的二视同如国所示・號中工个视麗都是頁角：
：
用形+
则在谨丄杭惟的四亍初中∙fif（j.1角形的个教⅛.
例α^WS—ABCD的底rtd边长和⅛ffim长都为JL
点S、A。
B、C。
Q都在同一球面上、Ilu此球的体枳为
例7＊如果二棱棵的三个削血两两垂宜。
它们的面积分别为6c∕
例Hh若三陵锥S—BCD仃顶点都在球O的球Ifii上.
⅛J5C∖SA2√3，AB=LJC=2,ZH4C=60，
则球O的表面积为＊16/r
3、由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心01的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.
例12、三棱辩S＊ΛBt’1I1。
SAL血AB「・SA=2.
∆ABC基边长为1的正:
筑形,则其外接球的衣面积为.
例13、点ABuD在同•个球的球面上.AB-BC=2.AC2√2。
着PIhm体ABCD体枳的⅛i大值対2・则该球的我面积为.5
4、内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个
球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：
构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
（二）棱權的内切球【分割法｝
特內切球的廉心与槪恰的备卒顶⅛⅛ft，割討烏的依枳村等■刊出壬于半径R的方殍4
3Γ
⅛⅛⅛⅛⅞⅛积为生表面枳为S。
则内切球的半痊为R=——。
5
例L負EPm^S^ASCD■底而边怅为站M梭悅为3，
4√z7
则内切球的半録足•厂
4+8√2
例14、三棱中,底面&吃厂足边长为2的正壬角形・
L丄底血U.PA人则此三棱锚内伪球的半律为"
C2爲）
√3+√7+4
CD圏蛀（轴截丽为ιE∙¾JEh岡淮fl勺内切球（■截唧法】
例仮圆锥的SS为4,底面半径为2.求谏圆锥内切球与外WffJT—⅛比
5√⅞
例I仏匾柱的底面直径和高都是6，求⅛枫柱内切球的半径•3
三、球与球相切问题
对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力,通过准确确定各个
小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解^
例11已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切,现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为。
思路分析：
结合图形，分析四个球的球心A、BC、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5∖B=6CD=4。
设AB中点为E、CD中点为F，连结EF.在厶ABF中可得BF»、迈1，在△EBF中可得EF=2、、3∙由于对称性可得第五个球的球心O在EF上,连结OAOD设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF建立r的方程∙
【解析】如图：
设四个球的球心分别为ABSC.Df则XD=QBD=BC二SSAB=6，CDM设AB中点为E、CD中点.为F,连结EF■在Aabf中求得氐J5I，在Aeef中求得EF=L占+
由于对称性可得第五个球的球心O在EF丄,连结QD∙设第五个球的半径为A则OAFr÷3，0D=r÷Ξ,于是
OE=y∣ir-3fIy=J二亠3,QiJ（F+2）亠-21=^JrZ-^・∕OE+OF^F
。
∖Jr—6LJF”Tf=1苗n-＆=2忑—平方整理再平右得
点评’本题通过分析球心的位置，根据它们构感的几何体特征，转化感平面几何中三角形边角关系，禾IJ用方程思想得解-
例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切,然后在它们上面放上第四
个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离。
思路分析：
关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定
组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2。
【解析】四域心组咸棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高A=
而第四个球的最高点到第四个球的球心距离再求的半径b且三个球心到桌面的距离都沟L故第四牛球的
最高点与桌面的距离⅛2+-，
点评:
本题难度不大，主要是币呻转化2化归思想J.∣⅝⅛锥高咗用球的几何性质计算得到.
四、球与几何体的各条棱相切问题
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为
目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解•如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对
棱的一半：
例13把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20Cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使
皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为（）
B.10Cm
【解析】如图所示,由题意球心在A?
上，球心为0,过0作刃的
垂建OX垂足为X，OX=R,0λf=^τ因为各个棱詐为⅛所以
⅛l-1053P—2Γ∣3M=IO，A3=10√5设—AR＄二G,
在^r∆3?
M中，EP=血厂十尸"［所以Eur=Io占在应UPAλl中:
Pyr=^Z:
十AP-
解得，R=IO或刃（舍■所以,J?
=IW他故选M
点评：
本题难度较大，主要是利用转化与化芳思想,将间题转化咸平面几何间题，应用三角形中的边甬关系,建立R的；⅛程。
五、球与旋转体切接问题
首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系。
例14求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
思路分析：
首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系.
【解析】如图,等边M3为匾锥的轴≡fi,此截面謝裁庄得正CCDDx-截球而得球的TygH0：
.
设球的半径OOl=乩则它的外切ID柱的高为Ift,底面半径为丘，
05=0.0cot30c=√3A,SO=OStalI6σ==＊R√5=3丘，
*∖二一曲SaR—,rς二「加YgR二曲、
3"a3
二G:
F；：
G=4：
6：
9。
点评’本题充分利用轴截面，将间题转化成平面几何间题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径应的联系。
例15在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切.
（1）求两球半径之和;
（2）球的半径为多少时,两球体积之和最小。
思路分析：
此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球
的球心连线也应在正方体的体对角线上,故仍需作正方体的对角面,得如图的截面图，在图
中,观察R与r和棱长间的关系即可.
【解析】如图，球心Q和Q在土二上，过"，0：
分SJ作-QEC的垂线交于ER
n
¢1）设两球体积之和⅛r，
则F二；恣+ra）=i+R）（RZ—Ry+Γ2）
33
4^｛3—Z］4J^∖3j313√3J
=—^-IR^r）-^R∖=-.τ—1（——）-’⅛
:
∙:
^^■-
«rr＃rr
2a「r…1r/
J■■W
当J？
=—时,T有最小值•二当R=严二二亠时，体积之和有最小值。
44
点评;本题充分利用轴截面,将问题转化成平面几何间题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径的
匪系，将球的体积之和用F或R表示，应月二袂敲的图象和性质确定其最小値。
本题综合性较强，是函数与立体几何相结合的典例・
综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决•如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题•解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解•如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确•高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一,在复习中切忌好高骛远,应重视各种题型的备考演练,重视高考信息的搜集,不断充实题目的类型，升华解题的境界•
升级会员 