球与各种几何体切接问题专题一.docx

1、球与各种几何体切接问题专题一球与各种几何体切、接问题近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。首先明确定义1 :若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2 ：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球 一、球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形 态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关 问题1、 球与正方体(1)正方体的内切球，如图 1。 位置

2、关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心 与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a ,球的半径为r ,这时有2r =a。(2)正方体的棱切球,如图 2。位置关系：正方体的十二条棱与球面相切,正方体中心与球心重合; 数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为r,这时有2 2a 。(3)正方体的外接球,如图 3。 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心(4)与球心重合;AA，DDI的中点，则直线EF被球O截得的线段长为(A .辽5二= V EF C 直线En 冠得的绽段为球的截面圆船直径27J=2。点评；本题考查球与正启悴ft撷的问题，;闭球的Iffi性质，转化成求球的截

3、面IS直径.2、球与长方体例2自半径为R的球面上一点 M ,引球的三条两两垂直的弦 MA, MB， MC ，求MA2 MB2 MC2 的值.【解析】,3CA一个顶点出发的三条協 將三棱笹MABC补咸一个长方氷 则另外四个 顶点莎在球面上，故长方体是球的內接长方体，则长方体的i长是球的直径./. Ur+ 3Z52 +Jc(2J？）2点评匕此题突出构造法的演用，姬渗透利用今割补劭的方法解决立体几何中体积计算结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线。例3 (全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）A。 16二 B. 20二 C。 24二 D。

4、32:思路分析：正四棱柱也是长方体由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为 2,可得长方体的长、宽、高分别为 2, 2，4,长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径【解析】正四棱柱也是长方体口由长方体的対只1673 4可以匸出长方体的底面辺长为2,因此,长方体 的长、宽、高分别为Z 2， 4。因为长方体内接于球,所页”勺体对角线正好为球的直径长方体体对角线 长为26 故球的表面积为24 故选C.点评*本题考查球与长 的间题,于打扶方体的性质转化成为求其体对角线。3、球与正棱柱（1) 结论1 ：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。（2) 结论2 :直三棱柱的外接球的球心是

5、上下底面三角形外心的连线的中点。一个六棱柱的h止六边形，其测棱雅直F底面.斷鮭梭幽顶点都在同i球面匕11験棱柱的体积碍:InJril K为则这个坤的休积为4打已知备顶点都亦同个球而上IHiIiPM棱柱的高为虬 体积为则这牛球(1 . 24；T-三棱柱 ABC 一 Ai ZrICl 中 AB = 4， AC = J = . AA = 4,财直 滋柱ABC - 4 Zrl Cl的外接球的表面积160jtT球与锥体的切接规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和 内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或 者表面积等相关问题

6、。1、正四面体与球的切接问题(1) 正四面体的内切球，如图 4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；【解析】 如图正四面体 A BCD的中心为0,即内切球球心，内切球半径 R即为0到正四面体各面的距离. AB = a, .正四面体的高 h=严a,又Va-BCD = 4VO BCD, () R=1h3 4=陰12(2)正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a ,高为h ；球的半径为R ,这时有4R = 3-a ;(可用正四面体高h减去内切球的半径得到)例5求棱长为1的正四面体外接球的半

7、径。设SOi是正四面体S- ABC的高，外接球的球心 0在SOi上，设外接球半径为 R, AOi =结论：正四面体的高线与底面的交点是 ABC勺中心且其高线通过球心，这是 构造直角三角形解题的依据此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点3此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的*内切球的半径是正1四面体高的4(3)正四面体的棱切球,位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a ，高为h ;球的半径为 R ,这时有4R = 。 3h = S 2a, h - a。3RMuG中，OC： = 0G+CGs WR2已知正四面体ABCD的

8、棱长対G求它的外接球半径、內切球半径、棱切球半径” 解由正四面陳的对隸性与球的对粽性知球心在正四面体的高上设外接球半径为J?,如图（O为外接球球心，GBCD的重心)+所l AG = 例氛 L!fl 的二视同如国所示號中工个视麗都是頁角：用形+则在谨丄杭惟的四亍初中 fi f(j. 1角形的个教 .例 WSABCD的底rtd边长和ffim长都为JL点S、A。 B、C。 Q都在同一球面上、Ilu此球的体枳为 例7如果二棱棵的三个削血两两垂宜。它们的面积分别为6c例Hh若三陵锥S BCD 仃顶点都在球O的球Ifii上.J5C SA 23， AB = L JC = 2,ZH4C = 60 ，则球O的表

9、面积为 16/r3、由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心 01的连线垂直于截面圆及球心 O与弦中点的连线垂直于弦的性质, 确定球心.例 12、三棱辩 S Bt 1I1。 SA L 血 AB SA=2.ABC基边长为1的正:筑形,则其外接球的衣面积为 .例13、点ABuD在同个球的球面上.AB-BC= 2. AC 22 。着PIhm体ABCD体枳的i大值対2则该球的我面积为 . 54、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.2、正多面体的内切球

10、和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、 基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、 体积分割是求内切球半径的通用做法。(二）棱權的内切球【分割法特內切球的廉心与槪恰的备卒顶ft， R惟1 以60面为底面內切螳的半捡为商的小检権t割討烏的依枳村等刊出壬于半径R的方殍43积为生表面枳为S。则内切球的半痊为R =。5例L負EPmSASCD底而边怅为站M梭悅为3，4z7则内切球的半録足 厂4 + 82例14、三棱中,底面&吃厂足边长为2的正壬角形L丄底血U.PA 人 则此三棱锚内伪球的半律为 C 2爲 ）3 + 7 + 4CD 圏蛀（轴截丽为EJEh岡淮fl勺

11、内切球（截唧法】例仮圆锥的SS为4,底面半径为2.求谏圆锥内切球与外WffJT比 5例I仏 匾柱的底面直径和高都是6，求枫柱内切球的半径 3三、球与球相切问题对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力,通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解 例11已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切,现有一个球与此四个球都 相外切，则此球的半径为 。 思路分析：结合图形，分析四个球的球心 A、B C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5B=6 CD=4。 设AB中点为E、CD中点为F，连结EF.在厶ABF中可得BF 、迈1 ，

12、在 EBF中可得EF= 2、3 由于对称性可得第五个球的球心 O在EF上,连结OA OD设第五个球的半径为 r，根据OE+OF=EF 建立r的方程【解析】如图：设四个球的球心分别为A BS C. Df则XD=QBD=BC二SS AB=6， CDM设AB中点为E、CD中点. 为F,连结EF在Aabf中求得氐J5I，在Aeef中求得EF=L占+由于对称性可得第五个球的球心O在EF丄,连结QD设第五个球的半径为A则OAFr3， 0D=r,于是OE= yir-3 f Iy =J二亠3,QiJ(F+2）亠-21 =JrZ- OE+OFF。 Jr 6LJF” Tf=1苗 n -=2忑 平方整理再平右得点评

13、本题通过分析球心的位置，根据它们构感的几何体特征，转化感平面几何中三角形边角关系，禾IJ用 方程思想得解-例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离。思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2。【解析】四域心组咸棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高A =而第四个球的最高点到第四个球的球心距离再求的半径b且三个球心到桌面的距离都沟L故第四牛球的最高点与桌面的距离2+-，点评:本题难度不大，主要是币呻转

14、化2化归思想J .锥高咗用球的几何性质计算得到.四、球与几何体的各条棱相切问题球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解 如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半： 例13把一个皮球放入如图 10所示的由8根长均为20 Cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为（ )B. 10 Cm【解析】如图所示,由题意球心在A?上，球心为0,过0作刃的垂建OX垂足为X， OX=R, 0f=因为各个棱詐为 所以l-105 3P23M=IO， A3= 105 设AR 二 G,在r3?M中

15、，EP=血厂十尸所以Eur = Io占在应UPAl中:Pyr =Z:十AP-解得，R=IO或刃（舍所以,J? =IW他故选M点评：本题难度较大，主要是利用转化与化芳思想,将间题转化咸平面几何间题，应用三角形中的边甬关 系,建立R的；程。五、 球与旋转体切接问题首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系。例14求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与 几何体之间元素的关系.【解析】如图,等边 M3为匾锥的轴fi,此截面謝裁庄得正CCDDx -截球而得球的TygH 0：.设球的半径

16、OOl=乩 则它的外切ID柱的高为Ift,底面半径为丘，05 = 0.0 cot 30c = 3A, SO = OS talI 6= = R 5 = 3丘，* 二一曲S a R, r 二加YgR 二曲、3 a 3二 G : F； ： G =4： 6： 9。点评本题充分利用轴截面，将间题转化成平面几何间题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径应的 联系。例15在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1）求两球半径之和;(2)球的半径为多少时,两球体积之和最小。思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上,故

17、仍需作正方体的对角面,得如图的截面图，在图中,观察R与r和棱长间的关系即可.【解析】如图，球心Q和Q在土二上，过，0：分SJ作-QEC的垂线交于ERn1）设两球体积之和r，则 F 二；恣 +ra） = i + R）（RZRy + 2）3 34 3 Z 4 J 3j31 33 J=-IRr） -R= -.1( ） - : : - r rr r2 a r 1 r /J W当J？ = 时,T有最小值二当R=严二二亠时，体积之和有最小值。4 4点评;本题充分利用轴截面,将问题转化成平面几何间题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径的匪系，将球的体积之和用F或R表示，应月二袂敲的图象和性质确定其最小値。

18、本题综合性较强，是函 数与立体几何相结合的典例综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要 找准切点，通过作截面来解决 如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对 角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是 抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力，借助于 数形结合进行转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以 借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一, 在复习中切忌好高骛远,应重视各种题型的备考演练,重视高考信息的搜集,不断充实题目 的类型，升华解题的境界