矩阵特征值方法研究与初探.doc
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ANYANGINSTITUTEOFTECHNOLOGY
本科毕业论文
矩阵特征值的计算方法初探
Studyoncalculationmethodofthematrixfeature
学院：
数理学院
专业班级：
信息与计算科学09-1
学生姓名：
王江朋
学号：
200911010004
指导教师姓名：
刘肖云
指导教师职称：
讲师
2013年5月
毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明
原创性声明
本人郑重承诺：
所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果.尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得安阳工学院及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料.对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意.
作者签名：
日 期：
指导教师签名：
日 期：
使用授权说明
本人完全了解安阳工学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：
按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容.
作者签名：
日 期：
矩阵特征的计算方法初探
摘要：
矩阵是主要的研究工具，而且在很多领域都有很重要的应用.矩阵的特征值是矩阵应用的一个重点之一，在科学研究方面具有重要的地位.进行矩阵特征值的讨论可以直接用来解决实际的问题.矩阵特征的计算方法初探，引入矩阵的定义以及性质，主要介绍了矩阵的普通矩阵特征值的求法和求解矩阵的一些其他优化方法.其中求解矩阵的普通方法包括传统的求法以及初等变换求矩阵的特征值方法；其他的一些优化方法包括幂法、反幂法、Jacobi方法、QR方法.在实际的求解矩阵特征值的问题，根据矩阵的不同特点，选择最快速的方法求解，从而达到最优化解决实际问题.
关键词：
矩阵矩阵特征值幂法反幂法Jacobi方法QR方法
Studyoncalculationmethodofthematrixfeature
Abstract：
Thematrixisthemainresearchtool,andhasveryimportantapplicationinmanyfields.Theeigenvalueofthematrixisoneofthekeymatrixapplication,hastheimportantstatusinthefieldsofscientificresearch.Discussionofmatrixeigenvaluescanbedirectlyusedtosolvepracticalproblems.Calculationofmatrixcharacteristic,introducingthedefinitionofmatrixandproperties,mainlyintroducesthecommonmatrixeigenvaluematrixvaluecalculationmethodsandsomeotheroptimizationmethodforsolvingmatrix.Onecommonmethodforsolvingmatrixeigenvalueapproachmethodincludingtraditionalandelementarytransformationmatrix;someotheroptimizationapproachesincludingpowermethod,inversemethod,QRmethod,Jacobimethod.Insolvingthematrixcharacteristicsofpracticalvalueoftheproblem,accordingtodifferentcharacteristicsofmatrix,solvingmethodtoselectthemostquickly,soastoachievetheoptimizationtosolvepracticalproblems
.Keywords：
matrixmatrixeigenvaluepowermethodinversepowermethodJacobimethodQRmethod
目录
第1章矩阵特征值的定义以及性质 2
1.1矩阵特征值与特征向量的定义 2
1.2矩阵特征值的性质 2
第2章普通矩阵特征值的求法 2
2.1传统方法 2
2.2初等变换求矩阵的特征值 3
第3章求解矩阵特征值的其他优化方法 4
3.1幂法 4
3.2幂法 10
3.3Jacobi方法 11
3.4QR方法 15
结论 19
致谢 20
参考文献 21
附录 21
引言
1课题的主要内容
随着电子计算机的普及和记忆电子技术的迅猛发展，矩阵特征值的计算越来越被从事计算数学的人们所关注，在现有的经典Jacobin算法、QR算法的基础上，出现了一些新的计算方法，还有一些实在这积累算法基础上进行改进的，都有很大的实用性.
本文首先介绍矩阵特征值的概念，接着引出求特征值的普通使用的常规方法，在此基础上进行改进的新方法，对各种方法进行适用性及复杂性的比较，最后在不同的分类矩阵问题上探索矩阵特征值的最佳方法，运用于实际的求解问题当中.
2课题的目的和意义
本文通过对矩阵特征值的概念的引入，给出一些特征值的方法.根据不同的矩阵，探讨不同种类的矩阵，探讨能够运用最合适的方法进行特征值的求解，使得在以后的学习中，对矩阵的计算方法的问题上能够灵活的运用各种方法.矩阵特征值的问题在许多领域的研究有重要的地位，是高等代数学习的一个重要内容，也是一个基础性的知识，所以熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论和计算方法是非常必要的
矩阵特征值问题不仅可直接解决数学中诸如非线性规划、优化、常微分方程，以及各种数学计算问题，而且在结构力学、工程设计、计算物理和量子力学中具有重要作用，目前矩阵特征值问题的应用大多来自解数学物理方程、差分方程等.正因为它具有重要意义和广泛的应用，所以矩阵特征值问题是当前国内外高性能计算机的主要任务之一.
第1章矩阵特征值的定义以及性质
1.1矩阵特征值与特征向量的定义
设是阶方阵，如果存在数和非零维列向量，使得成立，则称是的一个特征值或本征值.非零维列向量x称为矩阵的属于（对应于）特征值的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或的本征向量.
1.2矩阵特征值的性质
设为的特征值,且，则有
⑴为的特征值（c≠0为常数）；
⑵为的特征值，即；
⑶为的特征值，即；
⑷设为非奇异矩阵，那么,且为的特征值，即.
第2章普通矩阵特征值的求法
2.1传统方法
求解矩阵特征值的传统方法，即求解，等价于求，使得，其中是单位矩阵，0为零矩阵.，求得的值即为的特征值.是一个次多项式，它的全部根就是阶方阵的全部特征值.
例：
求矩阵的特征值
解
所以由知道的特征根，
2.2初等变换求矩阵的特征值
下面是矩阵的三种变换
（1）互换两列，同时互换两行；
（2）第列乘以非零数,同时第行乘；
（3）第列倍数加到第列，同时第行倍加到第行.
推论1：
对任一个阶复矩阵,则一定存在一系列初等矩阵,使得为一个上三角矩阵.
定理：
相似矩阵有相同的特征多项式.
证明:
设,为两个阶矩阵,若,
则存在可逆矩阵,使得,
因而有
推论2:
相似矩阵有相同的特征值.
例：
求的特征值
解：
所以特征值，
第3章求解矩阵特征值的其他优化方法
传统方法对于很小时是可以的.但当稍大时，计算工作量将以惊人的速度增大且由于计算带有误差，特征方程的求解就很困难了.这时我们就需要一些其他方法求解矩阵特征值.
3.1幂法
幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）以及对应特征向量的迭代法，
设矩阵有一个完备的特征向量组，其特征值为，，，…，，相应的特征向量为，，…，.已知A的主特征值都是实根，且满足条件
…
幂方法的基本思想是任意取一个非零的初始值向量，由矩阵A构造一向量序列
称为迭代向量.由假设，可表示为（设）于是
其中=，由假设，故，从而
这说明序列越来越接近A的相对应的特征向量，或者说当k充分大时，及，即迭代向量为的特征向量的相似向量（除了一个因子外）.
下面再考虑主特征值的计算，再用表示的第个分量，则
，
故
也就说明两相邻迭代向量的比值收敛到主特征值.这种由一直非零向量以及矩阵A的幂乘构造向量序列以计算A的主特征值以及相应特征向量的方法称为幂法
在上述同等条件下，幂法可以这样进行：
取一初始向量，构造向量序列：
其中中表示向量的绝对值最大的分量.
由上面的式子可以得到：
所以求解矩阵的主特征值就只需要求解就行了.
例：
用幂法求解的主特征值
解，取初值向量
K
5
（0.7651,0.6674,1）
2.5887918
10
（0.7494,0.6508,1）
2.5380029
15
（0.7483,0.6497,1）
2.5366256
20
（0.7482,0.6497,1）
2.5365323
矩阵A的主特征值
幂法的加速方法：
原点平移法
应用幂法计算A的主特征值的收敛速度主要由比值来决定，但当接近于1时，收敛可能很慢.这时，一个补救办法是采用加速收敛的方法.引进矩阵
其中为参数，设的特征值为，则对矩阵B的特征值为，而且,的特征向量相同
如果要计算的主特征值,只要选择合适的数，使为矩阵的主特征值，且
那么，对矩阵应用幂法求其主特征值收敛速度将会加快.这种通过求的主特征值和特征向量，而得到的主特征值和特征向量的方法叫原点平移法.对于的特征值的某种分布，它是十分有效的.
例：
设有特征值，比值.做变换,则的特征值为.
应用幂法计算的主特征值的收敛速度的比值为
虽然常常能够选择有利的值,使幂法得到加速,但设计一个自动选择适当参数的过程是困难的.
下面考虑当的特征值是实数时，怎样选择使采用幂法计算得到加速
设的特征值都是实数，且满足则不管如何，的主特征值为或.当希望计算及时，首先应选择使
且使收敛速度的比值
显然，当时，即时ω为最小值，这时收敛速度的比值为
当A
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