中考数学路径问题解决方法.docx

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中考数学路径问题解决方法

路径问题解决方法

收录于话题

涉及的知识和方法：

知识：

①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值。

方法：

第一步：

找主动点的轨迹；第二步：

找从动点与主动点的关系；第三步：

找主动点的起点和终点；第四步：

通过相似确定从动点的轨迹，第五步：

根据轨迹确定点线、点圆最值

在此类题目中，题目或许先描述的是主动点P，但最终问题问的可以是另一点Q（从动点），根据P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值。

瓜豆原理的内容有两个：

1、线段的一个端点在某个图形上运动的时候，线段中点的运动轨迹和这个图形位似。

位似比是1：

2。

当然，其他比也可。

如上图，点C在线段AB上运动，CD的中点的轨迹也是一条线段，并且长度与AB之比等于1：

2

如上图，点A在圆O上面运动时，AB的中点轨迹也是一个圆，并且半径之比等于1：

2

从上面的图上可以看出，线段HI上的任意一点的轨迹都和AB相似，相似等于点在分成的线段和整体的比，如下图：

位似比等于HK：

HI。

在圆上可以得到同样的结论。

2、形状确定（大小可变可不变）的三角形的一个顶点绕另一个顶点在一个图形运动时，第三顶点的轨迹和这个图形位似。

如上图，△DFE的一个顶点F不动，顶点D在△ABC上运动的时候，另一个顶点E的运动轨迹也是三角形。

  动点的运动路径通常有两种：

一是线段型，二是弧型.下面我们就从这两个方面来具体说一说。

一、动点路径为线段

   例1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

【分析】先看动图结果：

当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．

可以这样理解：

分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N：

在运动过程中，因为AP=2AQ，所以AM=2QN，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

例2如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

【分析】动图先看结果：

当AP与AQ夹角固定且AP:

AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．

当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置Q1和终点位置Q2，连接即得Q点轨迹线段．

模型总结

【必要条件】

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:

AQ是定值）．

【结论】

P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）

P、Q两点轨迹长度之比等于AP:

AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:

AQ=BC:

MN）

二、动点路径为弧

  例1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】观察动图：

点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:

PO=AQ:

AP=1:

2．

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P共线可得：

A、M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：

AM=1/2AO．

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．

   例2 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】动图先看结果：

Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

  例3 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

【分析】动图先看结果：

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP:

AQ=2:

1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:

AM=2:

1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

模型总结

  为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．

【条件】两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:

AQ是定值）．

【结论】

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

∠PAQ=∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:

AQ=AO:

AM，也等于两圆半径之比．

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．