初中数学竞赛因式分解.docx
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初中数学竞赛因式分解
初中数学竞赛专题辅导因式分解
（一）
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；
（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；
（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．
下面再补充几个常用的公式：
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
（6）a+b+c-3abc=（a+b+c）（a+b+c-ab-bc-ca）；
（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+aT3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；
（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；
（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-•--abn-2+bn-1），其中n为奇数.
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1分解因式：
5n-1n3n-1n+2n-1n+4
（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
（2）x3-8y3-z3-6xyz；
222
（3）a+b+c-2bc+2ca-2ab；
（4）a7-a5b2+a2b5-b7．
解⑴原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）
=-2xn-1yn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]=-2xn-1yn（x2n-y2）2
=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2．
⑵原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）
=（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．
⑶原式=（a2-2ab+b2）+（-2bc+2ca）+c2
=（a-b）2+2c（a-b）+c2
=（a-b+c）2．
本小题可以稍加变形，直接使用公式（5），解法如下：
原式=a2+（-b）2+c2+2（-b）c+2ca+2a（-b）
=（a-b+c）2
⑷原式=（a7-a5b2）+（a2b5-b7）
=a5（a2-b2）+b5（a2-b2）
=（a2-b2）（a5+b5）
=（a+b）（a-b）（a+b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）
=（a+b）2（a-b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）
例2分解因式：
a3+b3+c3-3abc.
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式
分析我们已经知道公式
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性，现将此公式变形为
333
a+b=（a+b）-3ab（a+b）.
这个宀式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.
解原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc
=[（a+b）3+c3]-3ab（a+b+c）
22
=（a+b+c）[（a+b）-c（a+b）+c]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）.
有用的结论,
说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多例如：
我们将公式（6）变形为
a3+b3+c3-3abc
Ca+b+c）
（2a2+2b2-2ab-2bc-2ca）
显然，当a+b+c=O时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c>0时，则a3+b3+c3-3abc>0,即a3+b3+c3>3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.
如果令x=a3>0，y=b3>0，z=c3>0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.
例3分解因式：
x15+x14+x13+…+x2+x+1.
分析这个多项式的特点是：
有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.
解因为
161514132
x-1=（x-1）（x+x+x+…x+x+1），
所以
-+/+1）（/+[）（盟+一9
K-1
=（x3+l）（?
+1）（碎41）&曲
说明在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.
2.拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，
前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例4分解因式：
x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=（x3-1）-9x+9
=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）
=（x-1）（x2+x-8）．
解法2将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=（x3-x）+（-8x+8）
=x（x+1）（x-1）-8（x-1）
=（x-1）（x2+x-8）．
解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=（9x3-9x）+（-8x3+8）
=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）
=（x-1）（x2+x-8）．
解法4添加两项-x+x．
原式=x3-9x+8
322
=x-x+x-9x+8
=x2（x-1）+（x-8）（x-1）
要拆哪些项，灵活变换，因
=（x-1）（x2+x-8）．
说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例5分解因式：
（1）x9+x6+x3-3；
（2）（m2-1）（n2-1）+4mn；
（3）（x+1）4+（x2-1）2+（x-1）4；
（4）a3b-ab3+a2+b2+1．
解
（1）将-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=（x9-1）+（x6-1）+（x3-1）
=（x3-1）（x6+x3+1）+（x3-1）（x3+1）+（x3-1）
=（x3-1）（x6+2x3+3）
=（x-1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）．
（2）将4mn拆成2mn+2mn
原式=（m2-1）（n2-1）+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）=（mn+1）2-（m-n）2=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）．
⑶将（X2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2.
原式=（x+1）4+2（x2-1）2-（x2-1）2+（x-1）4=[（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+（x-1）4]-（x2-1）2=[（x+1）2+（x-1）2]2-（x2-1）2=（2x2+2）2-（x2-1）2=（3x2+1）（x2+3）.
（4）添加两项+ab-ab.
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=（a3b-ab3）+（a2-ab）+（ab+b2+1）=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b2+1）=a（a-b）[b（a+b）+1]+（ab+b2+1）
=[a（a-b）+1]（ab+b2+1）
22
=（a2-ab+1）（b2+ab+1）.
说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验.
3.换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用
一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.
例6分解因式：
（x2+x+1）（x2+x+2）-12．
分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
解设x2+x=y，则
原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10
=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）
=（x-1）（x+2）（x2+x+5）．
说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，—样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．
例7分解因式：
（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90．
分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90
=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90
=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）-90．
令y=2x2+5x+2，则
原式=y（y+1）-90=y2+y-90
=（y+10）（y-9）
=（2x2+5x+12）（2x2+5x-7）
=（2x2+5x+12）（2x+7）（x-1）．
说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础．
例8分解因式：
（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2．
解设x2+4x+8=y,则
原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）
22
=（x2+6x+8）（x2+5x+8）
=（x+2）（x+4）（x2+5x+8）．
说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式．
例9分解因式：
6x4+7x3-36x2-7x+6．
解法1原式=6（x4+1）+7x（x2-1）-36x2
=6[（x4-2x2+1）+2x2]+7x（x2-1）-36x2
=6[（x2-1）2+2x2]+7x（x2-1）-36x2
=6（x2-1）2+7x（x2-1）-24x2
=[2（x2-1）-3x][3（x2-1）+8x]
22
=（2x2-3x-2）（3x2+8x-3）
=（2x+1）（x-2）（3x-1）（x+3）．
说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体．
解法2
原式=宴'〔6亀卫+沟丄+$）
xx
2ii
+7
T
令-R则宀占r+占于是
原式=x2[6（t2+2）+7t-36]
=x2（6t2+7t-24）=x2（2t-3）（3t+8）
=x2[2（x-1/x）-3][3（x-1/x）+8]
22
=（2x-3x-2）（3x+8x-3）
=（2x+1）（x-2）（3x-1）（x+3）.
例10分解因式：
（x2+xy+y2）-4xy（x2+y2）.
分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式.
解原式=[（x+y）Ly]〔4xy[（x+y）2-2xy].令x+y=u，xy=v，则
原式=（u2-v）2-4v（u2-2v）
=u4-6u2v+9v2
=（u2-3v）2
=（x2+2xy+y2-3xy）2
=（x2-xy+y2）2.
练习一
1•分解因式:
（2）x10+x5-2;
C3D才+4^y（4x2+扌护）;
⑷（x5+x4+x3+x2+x+1）2-x5.
2•分解因式：
（1）x3+3x2-4;
4222
（2）x-11xy+y;
（3）x3+9x2+26x+24;
（4）x4-12x+323.
3.分解因式：
（1）（2x2-3x+1）2-22x2+33x-1;
（2）x4+7x3+14x2+7x+1;
（3）（x+y）3+2xy（1-x-y）-1;
2
（4）（x+3）（x-1）（x+5）-20.
第一讲因式分解
（一）
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且
对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；
（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；
（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．
下面再补充几个常用的公式：
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；
（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；
（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；
（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-•--abn-2+bn-1），其中n为奇数.
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.
例1分解因式：
5n-1n3n-1n+2n-1n+4
（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
（2）x3-8y3-z3-6xyz；
（3）a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
解⑴原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）
=-2xn-1yn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]=-2xn-1yn（x2n-y2）2
=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2．
⑵原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）
=（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．
⑶原式=（a2-2ab+6）+（-2bc+2ca）+c2
=（a-b）2+2c（a-b）+c2
=（a-b+c）2．
本小题可以稍加变形，直接使用公式（5），解法如下：
原式=a2+（-b）2+c2+2（-b）c+2ca+2a（-b）
=（a-b+c）2
⑷原式=（a7-a5b2）+（a2b5-b7）
=a5（a2-b2）+b5（a2-b2）
=（a2-b2）（a5+b5）
=（a+b）（a-b）（a+b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）
=（a+b）2（a-b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）
例2分解因式：
a+b+c-3abc．
（6）．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式
分析我们已经知道公式
（a+b）3=a3+3a2b+3aS+b3
的正确性，现将此公式变形为
333
a+b=（a+b）-3ab（a+b）.
这个「•式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.
解原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc
=[（a+b）3+c3]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）[（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）.
说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，
例如：
我们将公式（6）变形为
a3+b3+c3-3abc
=：
（a+b+c）（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca）
pCa+b+c）[（a-b）2+（b-c）3+（c-a）2].H
•La
显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c>0时，则a3+b3+c3-3abc>0，即a3+b3+c3>3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.
如果令x=a3>0，y=b3>0，z=c3>0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.
分析这个多项式的特点是：
有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.
解因为
x16-1=（x-1）（x15+x14+x13+…x2+x+1）,
所以
—（耳-1）（蓋巧+5?
"+菲匕+■-•七2+葢+D-1
原式=匸i'TT
十+1）（｝?
十1）（2?
+1）（X斗1）（盂-0
K'1
=++磴41）（»色
说明在本题的分解过程中，用到先乘以（X-1），再除以（X-1）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.
2.拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在
对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项
式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.
例4分解因式：
x3-9x+8.
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.
解法1将常数项8拆成-1+9.
原式=x3-9x-1+9
=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）
=（x-1）（x2+x-8）．
解法2将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
3
=（x3-x）+（-8x+8）
=x（x+1）（x-1）-8（x-1）
=（x-1）（x2+x-8）．
解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=（9x3-9x）+（-8x3+8）
=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）
=（x-1）（x2+x-8）．
解法4添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2（x-1）+（x-8）（x-1）
要拆哪些项，灵活变换，因
=（x-1）（x2+x-8）．
说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例5分解因式：
（1）x9+x6+x3-3；
（2）（m2-1）（n2-1）+4mn；
（3）（x+1）4+（x2-1）2+（x-1）4；
（4）a3b-ab3+a2+b2+1．
解
（1）将-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=（x9-1）+（x6-1）+（x3-1）
=（x3-1）（x6+x3+1）+（x3-1）（x3+1）+（x3-1）
=（x3-1）（x6+2x3+3）
=（x-1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）．
⑵将4mn拆成2mn+2mn
原式=（m-1）（n-1）+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）
=（mn+1）2-（m-n）2
=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）．
⑶将（x2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2.
原式=（x+1）4+2（x2-1）2-（x2-1）2+（x-1）4
=（2x2+2）2-（x2-1）2=（3x2+1）（x2+3）．
（4）添加两项+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=（a3b-ab3）+（a2-ab）+（ab+b2+1）
2
=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b2+1）
=a（a-b）[b（a+b）+1]+（ab+b2+1）
=[a（a-b）+1]（ab+b2+1）
22
=（a2-ab+1）（b2+ab+1）．
说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．
3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例6分解因式：
（x2+x+1）（x2+x+2）-12．
分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
解设x2+x=y，则
原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10
说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，—样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．
例7分解因式：
（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90．
分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90
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