七年级下册初一数学《生活中轴对称》教案.docx

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七年级下册初一数学《生活中轴对称》教案

生活中的轴对称

§5.1轴对称现象§5.2轴对称的性质

【知识梳理】

1．如果一个平面图形沿一条直线_________，直线两旁的部分能够__________，那么这个图形叫做_________________，这条直线叫做它的________，这时，我们也就说这个图形关于这条直线（或轴）________．

2．如果两个平面图形沿一条直线对折后能够___，那么称这两个图形__________，这条直线叫做这两个图形的___________．

轴对称与轴对称图形的区别

轴对称是指两个图形之间的形状和位置关系。

而轴对称图形是对一个图形而言的，轴对称图形是一个具有特殊形状的图形。

它们都有沿某条直线对折使直线两旁的图形能重合的特征。

轴对称

轴对称图形

图形

3、轴对称的性质

●如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

●如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。

●轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

●轴对称图形的对应线段、对应角相等。

注意：

轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形

【基础练习】

1．在图1－1中，是轴对称图形的是（）

图1－1

2．下列图形中，是轴对称图形的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．在下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

4．如图，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为（）

A．30°B．50°

C．90°D．100°

5．将一个正方形纸片依次按图1－4a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图1－5中的（）

图1－4

图1－5

【综合运用】

1．请分别画出下列各图的对称轴．

（1）正方形

（2）正三角形（3）相交的两个圆

2．如图，ΔABC中，AB＝BC，ΔABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A'处，若点D为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BDA'的度数．

§5.3简单的轴对称图形

【等腰三角形】

等腰三角形是轴对称图形。

1、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

注意：

等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。

2、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。

3、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：

（1）两条边相等的三角形是等腰三角形；

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。

【等边三角形】

1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。

2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。

3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。

4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是60o。

【基础练习】

1．等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____．

2．等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其他两边长分别为_____________．

3．等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是_____________．

4．等腰直角三角形的底边长为5cm，则它的面积是（）

A．25cm2B．12.5cm2C．10cm2D．6.25cm2

5．等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，则它的周长是（）

A．63cmB．51cmC．63cm和51cmD．以上都不正确

6．△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于（）

A．45°B．36°C．90°D．135°

【综合运用】

1．如图1，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______．

图1图2图3

2．如图2，ΔABC中，AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，则∠BAC＝______．

3．如图3，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．

4．如右图，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交

BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝________cm.

5．已知：

如图，ΔABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，且AD＝AE．

求证：

BD＝CE．

6．已知：

如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．

7．已知：

如图5－4，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

8．已知：

如图，RtΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．

求证：

（1）DE＝DF；

（2）ΔDEF为等腰直角三角形．

【线段】

●线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。

●垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

●性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

【用尺规作线段的垂直平分线】

已知：

线段AB．求作：

线段AB的垂直平分线MN．

作法：

【基础练习】

1．如图，若P是线段AB的垂直平分线上的任意一点，则

（1）ΔPAC≌__________；

（2）PA＝__________；

（3）∠APC＝_________；（4）∠A＝__________．

2．ΔABC中，若AB－AC＝2cm，BC的垂直平分线交AB于D点，且ΔACD的周长为14cm，则

AB＝__________，AC__________.

3．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．

（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_________；

（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，则ΔPBC的周长＝_________．

【综合运用】

1．已知：

如图2－4，∠ABC及两点M、N．

求作：

点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．

图2－4

2．已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．

【角】

●角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。

●性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

【用尺规作角平分线】

已知：

∠AOB．求作：

∠AOB的平分线OC．

作法：

【基础练习】

1．如图1，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（）

A．PC＝PDB．OC＝ODC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝PC

图1图2图3

2．如图2，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（）

A．

B．

C．mnD．2mn

3．已知：

如图3，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．

4．已知：

如图，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE

交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、

OM、ON的大小关系为_____________．

5．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于

5cm，则BC的长为________cm．

6．已知：

如图，直线AB及其上一点P．

求作：

直线MN，使得MN⊥AB于P．

7．已知：

如图，△ABC．

求作：

点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等．

【综合运用】

1．已知：

如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求证：

DE＝DF．

2．已知：

如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．

求证：

OB＝OC.

3．已知：

如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）

4．已知：

如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：

（1）可选择的地点有几处?

（2）你能画出塔台的位置吗?

5．已知：

如图，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD．试问：

是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点?

若存在，请找出此点，这样的点有几个?

若不存在，请说明理由．

【轴对称变换及应用】

【例1】一次晚会上，主持人出了一道题目：

“如何把2+3=8变成一个真正的等式?

”过了很长时间，也没有人答出，小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题目。

你知道她是怎样做的吗?

（现实与镜中的像关于镜面成轴对称）

【例2】已知：

点A、B分别在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最短。

【例3】已知点A、B，在x轴和y轴上各找一点C、D，使四边形ACDB的周长最短。

例2图例3图

【基础练习】

1．从镜子中看到钟的时间是8点25分，正确的时间应是几点?

（）

A.3点25分B.3点30分C.3点35分D.3点45分

2．小明衣服上的号码在镜子中如图，则小明衣服上的实际号码为.

3．一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是，则这辆汽车的牌照号码应为.

4．试分别作出已知图形关于给定直线l的对称图形．

5．如图所示，已知平行四边形ABCD及对角线BD，求作ΔBCD关于直线BD的对称图形．（不要求写作法）

6．如图所示，已知长方形纸片ABCD中，沿着直线EF折叠，求作四边形EFCD关于直线EF的对称图形．（不要求写作法）

7．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植不同的花草，现将这块空地按下列要求分成四块：

（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；

（2）四块图形形状相同；

（3）四块图形面积相等，现已有两种不同的分法：

①分别作两条对角线（图①），②过一条边的四等分点作该边的垂线段（图②），（图②中的两个图形的分割看作同一种方法）．请你按照上述三个要求，分别在图③的三个正方形中，给出另外三种不同的分割方法．（只画图，不写作法）

【综合运用】

1．已知：

如图，A、B两点在直线l的同侧，点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l于P点，若A'B＝a.

（1）求AP＋PB；

（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：

AM＋MB＞AP＋PB．

2．已知：

A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．

（1）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；

（2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大；

（3）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．

3．

（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；

（2）如图，已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．

4．

（1）已知：

如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；

（2）已知：

如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．

5．如下图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在图中添一个小正方形，使它成为轴对称图形.