沪教版七年级下册数学全册知识点考点梳理重点题型分类巩固练习提高版家教补习复习用.docx

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沪教版七年级下册数学全册知识点考点梳理重点题型分类巩固练习提高版家教补习复习用

沪教版初一数学下册

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

平方根和开平方（提高）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.平方根的定义

如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.

2.算术平方根的定义

正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.

要点诠释：

当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：

（1）定义不同；

（2）结果不同：

和

2．联系：

（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：

（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：

，，，.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

【：

389316平方根：

例1】

1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．

【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2－4＝－（3－1），解方程即可求解．

【答案与解析】

解：

依题意得2－4＝－（3－1），

解得＝1；

∴的值为1．

【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数．

举一反三：

【变式】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.

【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.

解：

①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝

②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以

2、为何值时，下列各式有意义？

（1）；

（2）；（3）；（4）．

【答案与解析】

解：

（1）因为，所以当取任何值时，都有意义．

（2）由题意可知：

，所以时，有意义．

（3）由题意可知：

解得：

．所以时有意义．

（4）由题意可知：

，解得且．

所以当且时有意义．

【总结升华】方法总结：

（1）当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．

（2）当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．

举一反三：

【变式】已知，求的算术平方根．

【答案】

解：

根据题意，得则，所以＝2，∴，

∴的算术平方根为．

类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值．

（1）；

（2）．

【思路点拨】

（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.

（2）注意运算顺序.

【答案与解析】

解：

（1）；

（2）．

【总结升华】

（1）混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．

（2）初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．

类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的.

（1）

（2）；

（3）

【答案与解析】

解：

（1）∵

∴

∴

（2）∵

∴

∴＋1＝±17

＝16或＝－18.

（3）∵

∴

∴

∴

【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.

（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.

举一反三：

【变式】（2015春•乌兰察布校级期中）求x的值：

（x﹣2）2=4．

【答案】解：

∵，

∴（x﹣2）2=36，

∴x﹣2=6或x﹣2=﹣6，

解得：

x1=8，x2=﹣4．

类型四、平方根的综合应用

5、（2014秋•沙坪坝区校级期末）若x，y为实数，且满足．求的值．

【答案与解析】

解：

∵+|y﹣|=0，

∴x=，y=，

则原式==1．

【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x，y，然后代入求值即可.

举一反三：

【：

389316平方根：

例5练习】

【变式】若，求的值．

【答案】

解：

由，得，，即，．

①当＝1，＝－1时，．

②当＝－1，＝－1时，．

【：

389316平方根：

例6】

6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【答案与解析】

解：

设长方形纸片的长为3（＞0），则宽为2，依题意得

.

.

.

∵＞0，

∴.

∴长方形纸片的长为.

∵50＞49,

∴.

∴,即长方形纸片的长大于20.

由正方形纸片的面积为400,可知其边长为20,

∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.

答:

小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.沪教版初一数学下册

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1．下列说法中正确的有（）．

①只有正数才有平方根．②是4的平方根．③的平方根是．

④的算术平方根是．⑤的平方根是．⑥．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．若＝－4，则估计的值所在的范围是（）

A．1＜＜2B.2＜＜3C.3＜＜4D.4＜＜5

3.试题下列说法中正确的是（　　）

A.4是8的算术平方根B.16的平方根是4

C.是6的平方根D.－没有平方根

4.（2015•河南模拟）若=a，则a的值为（　　）

　A.1B.﹣1C.0或1D.±1

5.有一个数值转换器，原理如下：

当输入的＝64时，输出的等于（　　）

A.2B.8C.D.

6.若，为实数，且|＋1|＋＝0，则的值是（　　）

A.0B.1C.－1D.－2011

二.填空题

7.若，则＝__________.

8.如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3和5的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为________.

9.下列各数：

81，，1.44，，的平方根分别是_______________；算术平方根分别是_______________.

10．

（1）的平方根是________；

（2）的平方根是________，算术平方根是________；

（3）的平方根是________，算术平方根是________；

（4）的平方根是________，算术平方根是________．

11．若实数满足0，则的值为.

12.（2015•前郭县二模）观察下列各式：

=2，=3，=4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来　　．

三.解答题

13．（2015春•武汉校级月考）求下列各式中x的值．

①x2﹣25=0

②4（x+1）2=16．

14.已知和互为相反数，且，求的值．

15.如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简

【答案与解析】

一．选择题

1.【答案】A；

【解析】只有②是正确的.

2.【答案】B；

【解析】，所以2＜－4＜3.

3.【答案】C；

【解析】A.∵4是16的算术平方根，故选项A错误；B.∵16的平方根是±4，故选项B错误；C.∵是6的一个平方根，故选项C正确；D.当≤0时，－也有平方根，故选项D错误．

4.【答案】C；

【解析】解：

∵=a，

∴a≥0．

当a=0时，=a；

当0＜a＜1时，＞a；

当a=1时，=a；

当a＞时，＜a；

综上可知，若=a，则a的值为0或1．

故选C．

5.【答案】D；

【解析】根据图中的步骤，把64输入，可得其算术平方根为8，8再输入得其算术平方根是，是无理数则输出．

6.【答案】C；

【解析】＋1＝0，－1＝0，解得＝－1；＝1．＝－1.

二.填空题

7.【答案】1.02；

【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位.

8.【答案】；

【解析】这个正方形的边长为.

9.【答案】±9；±；±1.2；±；±3；9；；1.2；；3.

10.【答案】

（1）±5；

（2）±5；5；3）±，||；（4）±（＋2）,|＋2|；

【解析】.

11.【答案】－1；

【解析】＝－1，＝5..

12.【答案】；

【解析】解：

=（1+1）=2，

=（2+1）=3，

=（3+1）=4，

…

，

故答案为：

．

三.解答题

13.【解析】

解：

①移项可得：

x2=25，

解得：

x=±5；

②系数化为1得：

（x+1）2=4，

∴x+1=±2，

∴x=1或x=﹣3.

14.【解析】

解：

两个非负数互为相反数则只能均为0，

于是－1＝0，1－2＝0，求得＝1,

∴＝2.

15.【解析】根据

∵

∴原式＝－＋－（－）－（＋）＝－＋－＋－－＝－－.

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知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

立方根和开立方

【学习目标】

1.了解立方根的含义；

2.会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.

【要点梳理】

【：

立方根、实数，知识要点】

要点一、立方根的定义

如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

要点诠释：

一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.

要点二、立方根的特征

立方根的特征：

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

要点诠释：

任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

要点三、立方根的性质

要点诠释：

第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.

要点四、立方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.

要点五、次方根

如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根.

求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数.

要点诠释：

实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的次方根等于零，表示为.

【典型例题】

类型一、立方根的概念

【：

立方根实数，例1】

1、下列结论正确的是（）

A．64的立方根是±4B．是的立方根

C．立方根等于本身的数只有0和1D．

【答案】D；

【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.

【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；.

举一反三：

【变式】（2015春•滑县期末）我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：

若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．

（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；

（2）若与互为相反数，求1﹣的值．

【答案】解：

（1）∵2+（﹣2）=0，

而且23=8，（﹣2）3=﹣8，有8﹣8=0，

∴结论成立；

∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．

（2）由

（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5=0，

∴x=4，

∴1﹣=1﹣2=﹣1．

类型二、立方根的计算

【：

立方根实数，例2】

2、求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）（4）

（5）

【答案与解析】

解：

（1）

（2）（3）

（4）

（5）

【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.

举一反三：

【变式】计算：

（1）______；

（2）______；

（3）______．（4）______.

【答案】

（1）－0.2；

（2）；（3）；（4）.

类型三、利用立方根解方程

3、（2015春•罗平县期末）求下列各式中x的值：

（1）3（x﹣1）3=24．

（2）（x+1）3=﹣64．

【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可．

【答案与解析】

解：

（1）3（x﹣1）3=24，

（x﹣1）3=8，

x﹣1=2，

x=3．

（2）开立方得：

x+1=﹣4，

解得：

x=﹣5．

【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便．

举一反三：

【变式】求出下列各式中的：

（1）若＝0.343，则＝______；

（2）若－3＝213，则＝______；

（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．

【答案】

（1）＝0.7；

（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．

类型四、立方根实际应用

4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？

【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.

【答案与解析】

解：

铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．

设铁块的棱长为，可列方程解得

设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.

答：

烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长4.

【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.

举一反三：

【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________。

（不计损耗）

【答案】　；

类型五、次方根的运算

5、

（1）求的5次方根；

（2）求的6次方根.

【答案与解析】

解：

（1）；

（2），

还有.

【总结升华】正数的偶次方根有两个，它们互为相反数

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知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1．下列结论正确的是（）

A．的立方根是B．没有立方根

C．有理数一定有立方根D．的立方根是－1

2．如果－是的立方根，则下列结论正确的是（）

A．－＝B．－＝C．＝D．＝

3.下列说法中正确的有（）个.

①负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是的立方根是

③如果，那么＝－2．④算术平方根等于立方根的数只有1．

A．1B．2C．3D．4

4.（2015•衡南县自主招生）﹣64的立方根与的平方根之和是（　　）

A．﹣7B．﹣1或﹣7C．﹣13或5D．5

5.下列各式中，正确的是（　　）

A.B.C.D.

6.有如下命题：

①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（　　）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

二.填空题

7．中的的取值范围是______，中的的取值范围是______．

8.（2015春•霸州市期末）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是　　．

9．若则与的关系是______．

10．若则＝______．

11.如果那么的值是______．

12.＝____________；＝___________.

三.解答题

13.若和互为相反数，求的值.

14.（2015春•桃园县校级期末）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．

15.已知实数，满足求｜－1|＋｜＋1｜的值．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C；

【解析】的立方根是；的立方根是1.一个非零数与它的立方根符号相同.

2.【答案】A；

【解析】由题意.

3.【答案】A；

【解析】只有①正确.算术平方根等于立方根的数有0和1．

4.【答案】B；

5.【答案】D；

【解析】A.结果应为4；B.结果应为5；C.无意义.

6.【答案】B；

【解析】①负数有立方根；②一个实数的立方根是正数、0、负数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0．

二.填空题

7.【答案】任意实数；＝1;

【解析】开立方时被开方数可以为任意实数，第二题需1－≥0，－1≥0，

解得＝1.

8.【答案】±1，0．

9.【答案】；

【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数.

10.【答案】－1；

【解析】2－1＝4＋1，解得＝－1.

11.【答案】－343；

【解析】＋4＝64，＝60，－67＝－7，.

12.【答案】5；；

【解析】.

三.解答题

13.【解析】

解：

∵和互为相反数

∴＋＝0，

∴＝－，

∴＝，

∴2－1＝3－1,2＝3，

∴＝.

14.【解析】

解：

∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，

∴x﹣2=22，2x+y+7=27，

解得x=6，y=8，

∴x2+y2=62+82=100，

∴x2+y2的平方根是±10．

15.【解析】

解：

∵

∴当≥0时，原式＝＋＋＝0，解得＝0,

｜－1|＋｜＋1｜＝1＋1＝2.

当＜0时，原式＝－＋＝0，解得＝0，

｜－1|＋｜＋1｜＝1＋1＝2.

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知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

实数的概念和运算（提高）

【学习目标】

1.了解无理数和实数的意义；

2.了解有理数的概念、运算在实数范围内仍适用.

【要点梳理】

要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

要点诠释：

（1）无理数的特征：

无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.

（2）常见的无理数有三种形式：

①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：

1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.

要点二、实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

要点三、实数大小的比较

正实数大于0，负实数小于0.

两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.

从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.

要点四、实数的运算

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

要点五、近似数及有效数字

1.近似数：

完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.

2.精确度：

近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.

要点诠释：

精确度有两种形式：

①精确到哪一位．②保留几个有效数字．

3.有效数字：

从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：

2，0，8．

【典型例题】

类型一、实数概念

1、把下列各数分别填入相应的集合内：

，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）

【答案与解析】

有理数有：

，，，，0，

无理数有：

，，，，，，0.3737737773……

【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

常见的无理数有三种形式：

①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：

0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，，.

举一反三：

【变式】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示，并说明理由.

（1）无理数都是开方开不尽的数.（　　）

（2）无理数都是无限小数.（　　）

　　（3）无限小数都是无理数.（　　）

　　（4）无理数包括正无理数、零、负无理数.（　　）

　　（5）不带根号的数都是有理数.（　　）

　　（6）带根号的数都是无理数.（　　）

　　（7）有理数都是有限小数.（　　）

　　（8）实数包括有限小数和无限小数.（　　）

【答案】

（1）（×）无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020020002…这类的数也是无理数.

（2）（√）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.

（3）（×）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.

（4）（×）0是有理数.

（5）（×）如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.

（6）（×）如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.

（7）（×）有理数还包括无限循环小数.

（8）（√）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示.

类型二、实数大小的比较

2、比较与的大小．

【思路点拨】根据，，则来比较两个实数的大小．

【答案与解析】

解：

因为，．

所以＜

【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.

举一反三：

【变式】（2015•自贡）若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是　　．

【答案】7．

解：

∵，

∴，

∵x＜+1＜y，

∴x=3，y=4，

∴x+y=3+4=7．

类型三、实数的运算

3、求的值．

【答案与解析】

解：

（1）当≥0时，，，

所以．

（2）当＜0时，，，

所以．

即值为0或2．

【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．

举一反三：

【变式】若的两个平方根是方程的一组解．

（1）求的值；

（2）求的算术平方根．

【答案】

解：

（1）∵的平方根是的一组解，则设的平方根为，，

则根据题意得：

解得

∴为．

（2）∵．

∴的算术平方根为4．

类型四、实数的综合运用

4、（2015•资阳）已知：

（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为　　．

【答案】12．

【解析】

解：

∵（a+6）2+=0，

∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，

解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，

可得2b2﹣4b=6，

则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，

故答案为：

12．

【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：

绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们