（1）当2-="t"时，
①若二次函数图象经过点（1，－4），（－1，0），求a，b的值；
②若12=-ba，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y=kx+p（k≠0），始终与二次函数图象交于不同的两点?
若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；
（2）若点A（－1，t），B（m，nt-）（m0，n0）是函数图象上的两点，且S△AOB=tn22
1
-,当－1≤x≤m时，点A是该函数图象的最高点，求a的取值范围．
参考答案
说明：
解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应
评分.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
11.m（m－2）.12.12.13.2.14.900x＋30
＝600
x.
15.4001.16.100°＜∠BAC＜180°.三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17.（本题满分8分）
解：
2x－2＋1＝x.…………………………4分2x－x＝2－1.…………………………6分x＝1.…………………………8分
18.（本题满分8分）
解法一:
如图1∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠EAB＝72°.…………………………3分
EA
B
∵CB平分∠ACD，
∴∠BCD＝1
2∠ACD＝36°.…………………………5分∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝36°.…………………………8分解法二:
如图1∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD.…………………………3分∵CB平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠BCD.…………………………5分∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABC＋∠ACB＝∠EAB，
∴∠ABC＝1
2∠EAB＝36°.…………………………8分
19.（本题满分8分）
（1）（本小题满分3分）如图2；…………………………3分
（2）（本小题满分5分）
解：
设直线l的表达式为y＝kx＋b（k≠0），…………………………4分由m＝2得点A（0，2），把（0，2），（－3，4）分别代入表达式，得?
?
?
b＝2，－3k＋b＝4.
可得?
?
?
?
?
b＝2，
k＝－23．…………………………7分
所以直线l的表达式为y＝－2
3x＋2．…………………………8分
20.（本题满分8分）
证明：
如图3∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC．…………………………2分∵DE＝AB，∴DE＝DC．
∴∠DCE＝∠DEC．…………………………4分∵AB∥DC，
∴∠ABC＝∠DCE．…………………………5分
∴∠ABC＝∠DEC．…………………………6分又∵AB＝DE，BE＝EB，
∴△ABE≌△DEB．…………………………7分∴AE＝BD．…………………………8分
21.（本题满分8分）
（1）（本小题满分3分）
解：
p＝1－（22%＋13%＋5%＋26%）…………………………2分
＝34%．…………………………3分
（2）（本小题满分5分）
l图2
.A
图3
AB
C
D
解：
由题意得
22%×
1.5%＋13%×m%＋5%×2%＋34%×0.5%＋26%×1%
22%＋13%＋5%＋34%＋26%
＝1.25%．…………………7分
解得m＝3．…………………………8分
22.（本题满分10分）
（1）（本小题满分4分）
解：
如图4∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝2AO＝25．………………………2分∵在Rt△ACB中，
∴BC＝AC2－AB2………………………3分
＝4．………………………4分
（2）（本小题满分6分）
解：
如图4∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，BD＝2OD，AC＝2OC，AC＝BD．
∴OD＝OC＝1
2BD．∵∠DBC＝30°，
∴在Rt△BCD中，∠BDC＝90°－30°＝60°，
CD＝1
2BD．∵CE＝CD，
∴CE＝1
2BD．………………………6分
∵OE＝2
2BD，
∴在△OCE中，OE2＝1
2BD2．
又∵OC2＋CE2＝14BD2＋14BD2＝1
2BD2，∴OC2＋CE2＝OE2．
∴∠OCE＝90°．…………………8分∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°．…………………9分
∴∠DCE＝∠OCE－∠OCD＝30°．…………………10分
23.（本题满分11分）
（1）（本小题满分4分）
解：
因为当m＝6时，y＝6
6＝1,…………………2分又因为n＝1，所以C（1，1）．…………………4分
（2）（本小题满分7分）
解：
如图5，因为点A，B的横坐标分别为m，n，
图4
O
A
B
C
D
E
所以A（m，6m），B（n，6
n）（m＞0，n＞0），
所以D（m，0），E（0，6n），C（n，6m）．………………………6分
设直线DE的表达式为y＝kx＋b，（k≠0），
把D（m，0），E（0，6n）分别代入表达式，可得y＝－6mnx＋6
n．………………………7分因为点C在直线DE上，
所以把C（n，6m）代入y＝－6mnx＋6
n，化简得m＝2n．把m＝2n代入m（n－2）＝3，得2n（n－2）＝3．，………………………9分
解得n＝2±10
2．………………………10分因为n＞0，
所以n＝2＋10
2．………………………11分
24.（本题满分11分）
（1）（本小题满分5分）
解法一：
如图6，∵PC⊥AB，
∴∠ACP＝90°．
∴AP是直径．…………………2分
∴∠ADP＝90°．…………………3分
即AD⊥PB．
又∵D为PB的中点，
∴AP＝AB＝8．…………………5分
解法二：
如图7，设圆心为O，PC与AD交于点N，连接OC，OD．
∵︵CD＝︵
CD，
∴∠CAD＝12∠COD，∠CPD＝1
2∠COD．∴∠CAD＝∠CPD．…………………1分
∵∠ANC＝∠PND，又∵在△ANC和△PND中，
∠NCA＝180°－∠CAN－∠ANC，
∠NDP＝180°－∠CPN－∠PND，
∴∠NCA＝∠NDP．…………………2分∵PC⊥AB，
∴∠NCA＝90°．
∴∠NDP＝90°．…………………3分即AD⊥PB．
又∵D为PB的中点，
∴AP＝AB＝8．…………………5分
（2）（本小题满分6分）
解法一：
当ME的长度最大时，直线PB与该圆相切．
图6
AlC
BD
PO·图7AlCB
D
PN
理由如下：
如图8，设圆心为O，连接OC，OD．
∵︵CD＝︵CD，
∴∠CAD＝12∠COD，∠CPD＝1
2∠COD．∴∠CAD＝∠CPD．又∵PC⊥AB，OE⊥AB，∴∠PCB＝∠MEA＝90°．
∴△MEA∽△BCP．…………………7分
∴MEBC＝AEPC．∵OE⊥AB，又∵OA＝OC，∴AE＝EC．
设AE＝x，则BC＝8－2x．由MEBC＝AEPC，可得ME＝－1
2（x－2）2＋2．…………………8分∵x＞0，8－2x＞0，∴0＜x＜4．
又∵－1
2＜0，
∴当x＝2时，ME的长度最大为2．…………………9分连接AP，
∵∠PCA＝90°，∴AP为直径．
∵AO＝OP，AE＝EC，∴OE为△ACP的中位线．
∴OE＝1
2PC．
∵l∥AB，PC⊥AB，∴PC＝4．∴OE＝2．
∴当ME＝2时，点M与圆心O重合．…………………10分即AD为直径．
也即点D与点P重合．
也即此时圆与直线PB有唯一交点．
所以此时直线PB与该圆相切．…………………11分
解法二：
当ME的长度最大时，直线PB与该圆相切．理由如下：
如图8，设圆心为O，连接OC，OD．∵OE⊥AB，又∵OA＝OC，∴AE＝EC．
设AE＝x，则CB＝8－2x．
∵︵CD＝︵CD，
图8
lA
M
E
CB
DP
O·图8
lA
M
E
CB
DP
O·
∴∠CAD＝12∠COD，∠CPD＝1
2∠COD．
∴∠CAD＝∠CPD．
又∵PC⊥AB，OE⊥AB，∴∠PCB＝∠MEA＝90°．
∴△MEA∽△BCP．…………………7分
∴MEBC＝AEPC．
可得ME＝－1
2（x－2）2＋2．…………………8分∵x＞0，8－2x＞0，∴0＜x＜4．
又∵－1
2＜0，
∴当x＝2时，ME的长度最大为2．…………………9分连接AP，
∵AE＝x＝2，
∴AC＝BC＝PC＝4．∵PC⊥AB，
∴∠PCA＝90°，
∴在Rt△ACP中，∠PAC＝∠APC＝45°．同理可得∠CPB＝45°．∴∠APB＝90°．
即AP⊥PB．…………………10分又∵∠PCA＝90°，∴AP为直径．
∴直线PB与该圆相切．…………………11分25.（本题满分14分）
（1）（本小题满分7分）①（本小题满分3分）
解：
当t＝－2时，二次函数为y＝ax2＋bx－3．把（1，－4），（－1，0）分别代入y＝ax2＋bx－3，得?
?
?
a＋b－3＝－4，a－b－3＝0．
…………………………1分解得?
?
?
a＝1，b＝－2．
所以a＝1，b＝－2．…………………………3分②（本小题满分4分）
解法一：
因为2a－b＝1，
所以二次函数为y＝ax2＋（2a－1）x－3．
所以，当x＝－2时，y＝－1；当x＝0时，y＝－3．所以二次函数图象一定经过（－2，－1），（0，－3）．…………………………6分设经过这两点的直线的表达式为y＝kx＋p（k≠0），把（－2，－1），（0，－3）分别代入，可求得该直线表达式为y＝－x－3．…………7分即直线y＝－x－3始终与二次函数图象交于（－2，－1），（0，－3）两点．
解法二：
当直线与二次函数图象相交时，有kx＋p＝ax2＋（2a－1）x－3．整理可得ax2＋（2a－k－1）x－3－p＝0．可得△＝（2a－k－1）2＋4a（3＋p）．…………4分
若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则△＞0．化简可得4a2－4a（k－p－2）＋（1＋k）2＞0．因为无论a取任意不为零的实数，总有4a2＞0，（1＋k）2≥0所以当k－p－2＝0时，总有△＞0．………………………6分可取p＝1，k＝3．
对于任意不为零的实数a，存在直线y＝3x＋1始终与函数图象交于不同的两点．…………7分
（2）（本小题满分7分）
解：
把A（－1，t）代入y＝ax2＋bx＋t－1，可得b＝a－1．………………………8分因为A（－1，t），B（m，t－n）（m＞0，n＞0），
又因为S△AOB＝1
2n－2t，
所以12[（－t）＋（n－t）]（m＋1）－12×1×（－t）－12×（n－t）m＝1
2n－2t．解得m＝3．………………………10分所以A（－1，t），B（3，t－n）．因为n＞0，所以t＞t－n．当a＞0时，【二次函数图象的顶点为最低点，当－1≤x≤3时，若点A为该函数图象最高点，则yA≥yB】，分别把A（－1，t），B（3，t－n）代入y＝ax2＋bx＋t－1，得
t＝a－b＋t－1，t－n＝9a＋3b＋t－1．因为t＞t－n，
所以a－b＋t－1＞9a＋3b＋t－1．可得2a＋b＜0．即2a＋（a－1）＜0．
解得a＜1
3．
所以0＜a＜1
3．当a＜0时，
由t＞t－n，可知：
【若A，B在对称轴的异侧，当－1≤x≤3时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是点A；
若A，B在对称轴的左侧，因为当x≤－b
2a时，y随x的增大而增大，所以当－1≤x≤3时，点A为该函数图象最低点；
若A，B在对称轴的右侧，因为当x≥－b
2a时，y随x的增大而减小，所以当－1≤x≤3时，若点A为该函数图象最高点，则】
－b
2a≤－1．
即－a－1
2a≤－1．解得a≥－1．
所以－1≤a＜0．………………………13分
综上，0＜a＜1
3或－1≤a＜0．………………………14分
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