圆锥曲线面积问题试题精选.docx

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圆锥曲线面积问题试题精选

圆锥曲线面积问题试题精选

圆锥曲线面积问题试题精选1

I、如图，已知抛物线二与圆相交于」、

J、「、二四个点。

（I）求F得取值范围；

（II）当四边形丄匚丄二的面积最大时，求对角线、丄L的交点丄坐标

2、在平面直角坐标系二：

中，过定点「•二作直线与抛物线厂V:

■「相交于A、B两点.

（I）若点N是点C关于坐标原点0的对称点，求△ANB面积的最小值；

（H）是否存在垂直于y轴的直线.，使得.被以AC为直径的圆

（此题不要求在答题卡上画图）

截得的弦长恒为定值？

若存在，求出.的方程；若不存在，说明理由•

3、（本小题满分14分）（注意：

在试题卷上作答无效）

过抛物线的对称轴上一点丄二小L的直线与抛物线相交于MN两点，自MN向直线’作垂线，垂足分别为-；、匕。

a=P

（I）当一时，求证：

二;丄二一；

（U）记二士；1、、“出」的面积分别为、，是否存在］,使得对任意的.；■.,

都有J一11丄成立。

若存在，求出丨的值；若不存在，说明理由。

4、如图所示，椭圆C:

一的一个焦点为F（1,0），

且过点（2,0）.

（1）求椭圆C的方程；⑵已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于：

轴，直线「:

=4与」轴交于点N,直线AF与BN交于点M

（i）求证：

点M恒在椭圆C上;

（ii）求厶AMNS积的最大值.

5、圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。

若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。

已知点丄匚‘是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于一轴的一条垂轴弦，直线丄'一•一二分别殳1轴于点-r…|和点「匚」。

（1）试用■'i-'：

'■■■的代数式分别表示t和；；；

（2）若C的方程为丿；「'■'"（如图），求证：

匚］是与；和点厂位置无关的定值；

（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C,试探究匕和匚经过某种四则运算（加、减、乘、除），

其结果是否是与二T和点「位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。

（说明：

对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次,

6、已知椭圆丁'的离心率为［，且过点—为其右焦点.

（I）求椭圆「的方程；

（U）设过点&产"的直线.与椭圆相交于二、「两点（点二在,从两点之间），若m与

的面积相等，试求直线.的方程.

7、已知抛物线；J-加.-匕/＜和直线'!

-；■•3没有公共点（其中：

、：

」为常数），动点:

是直线.上的任意一点，过J点引抛物线「的两条切线，切点分别为：

._r，且直线亠T恒过点

（1）求抛物线「的方程;

（2）已知一■点为原点，连结「一'交抛物线」于」、J两点,

证明:

（I）求双曲线的方程;

（U）若斜率为》：

；「•」；的直线「与该双曲线相交于不同的两点二、T，且线段二I的垂直平分

81

线与两坐标轴围成的三角形面积为1，求实数的取值范围.

9、如图，已知曲线〔一―与曲线二匸交于点」•直线:

■■-■'-1

与曲线分别相交于点

（I）写出四边形丄丄的面积J与一的函数关系-f■-';

19题图

（U）讨论/W的单调性，并求/W的最大值.

11、设点「是椭圆：

气广“n山上一点,厂,分别是椭圆的左、右焦点，｛为的内心，若'T..^1-—宀，贝U该椭圆的离心率是（）

]2^1

（A）-（B）-（C）一（D）■

12、下列四个命题中不正确的

是

（）

4

（A）若动点「与定点H连线-1、」丄；的斜率之积为定值'，则动点「的轨迹为双曲线的一部分

（B）设：

•八代，常数;■■■I，定义运算“H”：

—“山-「，若「二|，则动点,■.I的轨迹是抛物线的一部分

（C）已知两圆丨、圆J匚丁；邛?

?

，动圆二与圆」外切、与圆J内切，则动圆的圆心二的轨迹是椭圆

（D）已知一丄•二-T：

----1，椭圆过上二两点且以「为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点

的轨迹为双曲线

参考答案

一、综合题

1、分析：

（I）这一问学生易下手。

将抛物线二与圆'-■■||1的方程联立,

消去」，整理得=1.1

抛物线■■:

二与圆「―用；-111相交于」、］、」、：

四个点的充要条件是：

方程

（*）有两个不相等的正根即可

re

易得

.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理

也可以.

（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。

因此利用设而不求、整体代入的方

法处理本小题是一个较好的切入点.

设四个交点的坐标分别为乂"：

二一；J二、「

则由（I）根据韦达定理有

则-：

-:

:

'i1

:

*S*二［（阳+町『_4歼叨（兀1+阳+2病石）二（7+2J16-））（4宀15）

令-'_■,则下面求.「的最大值。

方法一：

利用三次均值求解。

三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。

它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

炉二（7+2以（7_N）二丄（7+N）（7+）（14_4f）

2

2

1『7+2（+7++14—4（、立1-2C

_7

当且仅当，即—。

时取最大值。

经检验此时

满足题意

方法二：

利用求导处理，这是命题人的意图。

具体解法略

下面来处理点「的坐标。

设点「的坐标为：

以下略。

2、本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.

解法1:

（I）依题意，点-的坐标为—•川，可设—M丨一，

\^=2py,

直线血的方程为y=^+p，与F=2砂联立得b=fe+p-消去》

氓血^=敢細+饵=

由韦达定理得:

-一「-「：

：

于是

二讨坷―心|二珂山i+?

j—心比=匈4才卩+8才=2才炉^

当-U，:

一*J

（U）假设满足条件的直线.存在，其方程为丨-M,

设一丄的中点为,与「为直径的圆相交于点，「二的中点为1,

0中卜扣牛+丽而詁丽？

，

\PHf=|0艸-|朋f#掰+才）冷（2-”_莎

p）

2）

y}+a（p-a）

A|F2f=（2^|r4

盘__二0—IIy—_

令一，得一，此时「为定值，故满足条件的直线.存在，其方程为一，

即抛物线的通径所在的直线.

解法2:

（1）前同解法1，再由弦长公式得

\AB|=/TP"矿西二Jl+/+畫j：

Ax血-J1+F*（4#讣+”/

又由点到直线的距离公式得丨・

敢畑=匕护|也|二=2护&2+2从而■-、—：

「.当「7」时，；m二二：

（U）假设满足条件的直线「存在，其方程为丨-』，则以丄'■为直径的圆的方程为

将直线方程「•：

代入得'-「mJ--H

△二彳-4（—0）@-”）=4

--”+。

@_巧

27

_P

2J

yx+a（p-a）

设直线.与以一丄为直径的圆的交点为21；1..'-Li']'■，

\PQ\=\x3-^\=ka-^yl+a（p-a）=2则有J-

PPP

令’一，得’一，此时=「一「为定值，故满足条件的直线.存在，其方程为'一，

即抛物线的通径所在的直线.

3、解：

依题意，可设直线MN的方程为■---1，则有

x=mv+a_”

由｛-消去k可得y-2mpv-2qp=0

'y工

从而有£

V'i十旳=2怦>!

>']=一2停

又由//=2px1f

=2px.可得牡=®巴）

（-如F

4p;

（I）如图

于是兀]+花二税©+V；）=2（m~p+a）

1,当：

一时，点I"即为抛物线的焦点,

pp

此时

22

证法1:

■且一I二「m」i:

AM.-AN^p2+旳旳二p2-p2二0,即曲f］丄/现

图2图I

'-：

1；-山」鼻。

于是有

'忍町心二警"与二-1，即如％丄阿.'1pp

（n）存在：

-」，使得对任意的…II，都有

■'■'■.!

■成立，证明如下：

证法1：

记直线.与X轴的交点为山,则

易詁网|一|側|=対+讪I

鸟二才网瑪I|心卜讣厂乃|

辩冷•阿刚冷3+盘）忸|

-'-S；=4£站o（°”］-形『=（珂+。

）闻（帀+氏）临|

o/⑹+乃尸-4yM"［砂2+住（码+花）+屮］Am|

将①、②、③代入上式化简可得

a3（4map2+如）二如（如?

p+4t?

）o4db（«'p+勿）

上式恒成立，即对任意■'■11■■'-成立

证法2:

如图2,连接二〔「：

-〔，则由r——，,「—.•r可得

萨_儿_2戸-2珈—2外_比

氏血7K圖mr

-,所以直线亠「经过原点0,

同理可证直线也经过原点0

又G--1：

.勺设d-m：

二-一则

$=+瓯场=#.2«%+拓）=劭桶），耳n”也.

U厶U

二、计算题

4、方法一：

⑴解：

由题设「二从而j；.■一

x2y2

所以椭圆C的方程为+_二1.

⑵（i）证明：

由题意得F（1,0）、N（4,0）.

设二C则汀」•’山，「三一"•①

AF与BN的方程分别为：

<■--?

.■■

—1）-脚一1）旳=0,

设1，则有I/'■--'t-1/II

_5酬_8_3n

（知-8）（弘）

由上得'_■■<：

''?

阳yi_5丁丿+w一_（5拠一召『+12*由于->.'_

（5r»-研+36-9嵌

=4（亦一*=1.

所以点M恒在椭圆C上.

L+乙=1

（ii）解：

设AM的方程为II,代入-_-：

得I-ks5u

_-6i

设丄一人匚二：

，则有「一一匚「，「?

.

1厶

令'：

「_•■■'■1，则

122

12

3^+-

因为函数':

在」•「门为增函数,

所以当】■即「-时，函数、:

有最小值4.

11分

即「一时，工―'1J有最大值3,此时AM过点F.

△AMN勺面积SaAMN=_

1^.-.1有最大值1.

12分

5、解.

（1）因为；是垂直于丄轴的一条垂轴弦，所以

（X-朋）

.2分［来源：

学科

_瓏儿一柏0

■%一令则_

同理可得:

（2）由⑴可知;

呂分

片一同

2222

■:

M}P在椭圆C；$+■二1上，"二护（1一工2『二沪（1-与,

护（1-毎）「沪（1一

a

（3）第一层次:

1点「是圆C:

」一L丁上不与坐标轴重合的任意一点，二】是垂直于..轴的垂轴弦，直线

"分别交「轴于点和点」「，则］］，?

：

0…………….16分

2222

也心二忍耳一"恥

证明如下：

由

（1）知：

.'

■■■''■'在圆C:

■-：

J上，「二―芮.1；广―J

/（护_汩）_（用_/）恋二0（觀—rf）二护则、■■「‘；'-.1

■-乃"切是与咖和点F位置无关的定值

V1

n飞一―工血＞0上＞0in.

2点「是双曲线C:

・J上不与顶点重合的任意一点，丄二.是垂直于-轴的垂轴

弦，直线2.-7'?

'J分别交1轴于点--1和点2L■/11，贝卜二T-广。

16分

证明如下：

由

（1）知：

扁&=也％;-号堀

2222MrP在双曲线G斗_许二1上…“二沪（终（智-I），abaa'

■-帀切是与MM和点P位置无关的定值第二层次:

2

点「是抛物线c：

:

'■/■■■./■'■■'"上不与顶点重合的任意一点，；二是垂直于二轴的垂轴弦，直线

MRMP分别交x轴于点月亦°）和点旳少，则心+仓二0。

18分

证明如下：

由

（1）知:

■■■"■'在抛物线C:

山上，

”丄*_2（妙/—*观）_2（瞎2戸坷-2戸他）十兀卩-22一22一U

则斤-"!

「一"

上是与；r和点丄位置无关的定值

C_1

6、解：

（1）因为_：

•.，所以〕，：

一仁.1分

/『“”次13,

H—二1P（\一）11

设椭圆方程为=L，又点1在椭圆上，所以二■■,

解得二1，3分

22

*+卩_]

所以椭圆方程为■-'；二.4分

（U）易知直线.的斜率存在,

设.的方程为「"「…_|，5分

》=肌“4）,

J22

由〔43'消去『整理，得

（3+4尸）『一32Px+64P—12=0,6分

由题意知二；注『7匸也"网」氐7

324J

设」、「「「［,则「“门

_64£-12

①，■…?

「匸.…②-

因为二厂莎与二匕」的面积相等，

10分

所以-1二n，所以-丄七亠•.③

.4+16F

由①③消去〔得'jI.④

将■■.-■<'1代入②得

珂（2码-4）=

64?

-12

3+4?

将④代入⑤:

■■■■

整理化简得6.-：

，解得

经检验成立.

12分

所以直线.的方程为

13分

7、解：

（1）如图，设-1，丄「

同理得

设丄…1代入上式得

即满足方程；,

故二T的方程为

尸西f互―（尿-稱）

mm

上式可化为

•••二」过交点」」，m，-.1

二「的方程为J」—6分

（2）要证.!

■''■''V'■'■；,即证_「|<.：

:

；:

I

设二

|PA\||_x3-x0k-^_2巧无一（上+岛）（码+可）+2空

贝丨i•:

—■-.'1■……

（1）

•---直线方程为

£_片一1工十必1西_0

】丁联立化简-

10分

把①②代入（I）式中，则分子

2z3z4_娥+州）（令+x4）+2brc二

_後+州）纽¥

得:

4?

衣_2（丹_1）（疋+心）+2虹（_2疋州_4曲

州—疋

（2）

又厂点在直线r二；「丨上，爲一一1代入u中

|PA||QA|2&；-2上-2b；+2阳-2州+2片+朋光-°/.--一「.-

故得

证

&解:

14分

（1）如图，设二u丄「

同理得

设丄…1代入上式得

即满足方程；,

故二T的方程为

尸西f互―（尿-稱）

mm

上式可化为

•••二」过交点」」，m，-.1

二「的方程为J」—6分

I刊I」创I

（2）要证.!

■''■''V'■'■；,即证|<.：

:

；:

I

设二

|PA\|0A|_咼-心斤一西_2x3x4一伙+岛）（码+曲）+2空贝「一|'；-IL，■二一“：

'■■■；-

•---直线方程为

£_片一1工十必上「仓_0

与'】丁联立化简'

—「…①

10分

得:

故得

证

把①②代入（I）式中，则分子

2呼4_娥+州）（亏+畫4）+2七®=""春—•_（上+鬲）_+2fecc

阳一疋&_技

_4儿上-2仇-l）（i+xo）+2jbro-2上％-4為

又厂点在直线r二；「丨上，爲一一1代入u中

|PA||QA|-2上-2b；+2阳-2州+2片+朋光-°

/•--一「

14分

9、解:

（I）因为双曲线的方程为*■'"）•由题设得

严=4?

，解得I丄5,所以双曲线方程为?

__5

（U）设直线.的方程为点二匚的坐标满足方程组

y=kx+?

n

f、x（fcr+ws）

145将直线/的方程代入双曲线方程得45，

整理得（-r--..

此方程有两个不等实根，于是「y且二.

整理得*•_->-.11.由根与系数的关系可知线段；的中点坐标；」」满足

X］+冏4加,5m

5w_1.4km

从而线段二］的垂直平分线方程为:

■":

:

■?

'.

此直线与」.轴，轴的交点坐标分别为「…；,1■?

.

］如丄_二辿仁巴空由题设可得25-4*2'5-4?

2.整理得阴,H0.

（5-4以『+5_4疋"

将上式代入气d•认、「得J，整理得

—H,：

」.

该不等式等价于（4卩「5）<0或4^-|^|-5>0解得亍或内辽.

所以的取值范围是

g£）U管』）u（o申町呦

10、解：

（I）由题意得交点OA的坐标分别是（0，0），

（1,1）.

（2分）（一个坐标给1分）

]]1

f（t）=Saabd+Saob=2|BD|•|1-0|=2|BD|=2（-3t3+3t），

3

即f（t）=<（

（H）f/（t）:

令f/（t）=0

当0

当匚

所以当t=匚时,

三、选择题

11、A

3-t）,（0

93

<12<.（8分）

解得t=匚（10分）

/（t）>0,从而f（t）在区间（0,_•）上是增函数；

/（t）<0,从而f（t）在区间（匚,1）上是减函数.（

12分）

f（t）有最大值为f（匚）=二（14分）

12、D