圆锥曲线面积问题试题精选.docx

1、圆锥曲线面积问题试题精选圆锥曲线面积问题试题精选圆锥曲线面积问题试题精选1I、 如图，已知抛物线二与圆相交于、J、 、二四个点。(I )求F得取值范围；(II )当四边形丄匚丄二的面积最大时，求对角线 、丄L的交点丄坐标2、在平面直角坐标系二：中，过定点二作直线与抛物线厂 V : 相交于A、B两点.(I)若点N是点C关于坐标原点0的对称点，求 ANB面积的最小值；(H)是否存在垂直于y轴的直线.，使得.被以AC为直径的圆(此题不要求在答题卡上画图)截得的弦长恒为定值？若存在，求出.的方程；若不存在，说明理由3、(本小题满分14分)(注意：在试题卷上作答无效)过抛物线的对称轴上一点丄二小L的直线

2、与抛物线相交于 M N两点，自M N向直线作垂线，垂足分别为-；、匕。a=P(I)当 一时，求证：二;丄二一；(U)记 二士；1、 、“出的面积分别为、，是否存在,使得对任意的.；.,都有J 一 1 1丄成立。若存在，求出丨的值；若不存在，说明理由。4、如图所示，椭圆C: 一 的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0).(1)求椭圆C的方程； 已知A、B为椭圆上的点，且直线 AB垂直于：轴，直线:=4与轴交于点N,直线AF与BN交于点M(i )求证：点M恒在椭圆C上;(ii)求厶AMNS积的最大值.5、圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该 弦称之为曲

3、线的垂轴弦。已知点丄匚是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点， 是垂直于一轴的一条垂轴弦，直线丄一 一二分别殳1轴于点- r|和点 匚。（1） 试用i -： 的代数式分别表示t和；（2） 若C的方程为丿 ； （如图），求证：匚是与；和点厂位置无关的定 值；（3） 请选定一条除椭圆外的圆锥曲线 C,试探究匕和匚经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与二T和点位置无关的定值，写出你的研究 结论并证明。（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次,6、已知椭圆 丁 的离心率为，且过点 为其右焦点.(I)求椭圆的方程；(U)设过点&产的直线.与椭圆相交于二、两点(点二在,从两点之间)，若

4、 m 与的面积相等，试求直线.的方程.7、已知抛物线；J-加.-匕/和直线! - ； 3没有公共点(其中：、：为常数)，动点:是直线.上的任意一点，过J点引抛物线的两条切线，切点分别为：._r，且直线亠T恒过点(1)求抛物线的方程;(2)已知一点为原点，连结一交抛物线于、J两点,证明:（I）求双曲线的方程;（U）若斜率为：；的直线与该双曲线相交于不同的两点 二、T，且线段二I的垂直平分81线与两坐标轴围成的三角形面积为 1，求实数的取值范围.9、如图，已知曲线一与曲线二匸交于点直线:- -1与曲线 分别相交于点（I）写出四边形 丄丄 的面积J与一的函数关系 -f -;19题图（U）讨论 /W

5、的单调性，并求 /W 的最大值.11、设点是椭圆：气广“n 山上一点,厂,分别是椭圆的左、右焦点，为的 内心，若T. 1 -宀，贝U该椭圆的离心率是 （ ） 2 1（A） - （B） - （C） 一 （D） 12、下列四个命题中不正确的是（ ）4（A） 若动点与定点H连线-1、丄；的斜率之积为定值 ，则动点的轨迹为双 曲线的一部分（B） 设：八 代，常数; I，定义运算“H”：“ 山-，若二|，则动点,. I 的轨迹是抛物线的一部分（C） 已知两圆丨、圆J匚 丁；邛 ?，动圆二与圆外切、与圆J内切，则 动圆的圆心二的轨迹是椭圆（D） 已知一丄二 -T：- -1，椭圆过上二两点且以为其一个焦点，

6、则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线参考答案一、综合题1、分析：(I)这一问学生易下手。将抛物线二与圆 - |1的方程联立,消去，整理得= 1.1 抛物线: 二与圆用； -111相交于、：四个点的充要条件是：方程(*)有两个不相等的正根即可re易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以.(II )考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。 因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点.设四个交点的坐标分别为 乂 ：二一 ；J二、则由(I )根据韦达定理有则- ： - : : , i 1:* S* 二(阳 + 町_4歼叨(兀1 +阳 +2病石)二(7+2J16-)(4

7、宀 15)令-_,则下面求.的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方 便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。炉二(7 + 2以(7 _ N)二丄(7 + N) (7 + ) (14 _ 4f)2217 + 2( + 7 + +14 4(、立 1 -2C_7当且仅当，即。时取最大值。经检验此时满足题意方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略下面来处理点的坐标。设点的坐标为： 以下略。2、本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行 推理运算的能力和解决问题的能力

8、.解法1:( I)依题意，点-的坐标为川，可设M 丨一， = 2py,直线血的方程为y=+p，与F = 2砂联立得b=fe+p-消去氓血=敢細+饵=由韦达定理得:-一 - ：于是二讨坷心|二珂山i+?j心比 =匈4才卩+8才=2才炉当- U，:一 * J(U)假设满足条件的直线.存在，其方程为丨- M ,设一丄的中点为,与为直径的圆相交于点，二的中点为1 ,0中卜扣牛+丽而詁丽？，PH f = |0 艸 - |朋 f # 掰 +才)冷(2- ” _ 莎p)2)y+a(p-a)A|F2f=(2|r4盘 _ _ 二 0 II y _令 一，得 一，此时为定值，故满足条件的直线.存在，其方程为 一，

9、即抛物线的通径所在的直线.解法2:(1)前同解法1，再由弦长公式得AB| = /TP矿 西 二 Jl +/+ 畫 j ： Ax血 -J1+F*(4#讣 +”/又由点到直线的距离公式得 丨敢畑=匕护 |也| 二= 2护&2 + 2 从而- 、：.当7时，；m二二：(U)假设满足条件的直线存在，其方程为丨-，则以丄为直径的圆的方程为将直线方程：代入得-mJ- H二彳-4(0)-”) = 4-”+。_巧27_P2 Jyx + a(p-a)设直线.与以一丄为直径的圆的交点为2 1 ；1. -Li ，PQ = x3-= k a- yl+a(p-a)=2 则有 J -P P P令一，得一，此时=一为定值，

10、故满足条件的直线.存在，其方程为一，即抛物线的通径所在的直线.3、解：依题意，可设直线 MN的方程为- - - 1 ，则有x= mv + a _ ”由- 消去k可得y -2mpv- 2qp = 0y 工从而有Vi十旳=2怦 ! = 一2停又由 / = 2px1 f=2px.可得牡=巴)(-如F4p;(I)如图于是兀+花二税 +V；) = 2(mp + a)1,当：一时，点I即为抛物线的焦点,p p此时2 2证法 1: 且一I 二mi :AM.-ANp2 +旳旳二p2-p2 二0,即曲f丄/现图2 图I-：1；- 山鼻。于是有忍町心二警与二-1，即如丄阿. 1 p p(n)存在：-，使得对任意的

11、II，都有.! 成立，证明如下：证法1 ：记直线.与X轴的交点为山,则易詁网|一|側|=対+讪I鸟二才网瑪I |心卜讣厂乃|辩冷阿刚冷3+盘）忸|-S； = 4站o （ ”-形=（珂+。）闻（帀+氏）临|o /+乃尸-4yM 砂2 +住（码+花）+屮Am |将、代入上式化简可得a3 （4map2 + 如）二如（如?p+4t?）o4db（p+勿）上式恒成立，即对任意 11 -成立证法2:如图2,连接二：-，则由r，, . r可得萨_儿_2戸-2珈2外_比氏血 7 K圖 mr- ,所以直线亠经过原点0,同理可证直线也经过原点0又 G-1：.勺设d-m：二-一则$ = +瓯场=#.2%+拓）=劭桶）

12、，耳n”也.U 厶 U二、计算题4、方法一：解：由题设二从而j； . 一x2 y2所以椭圆C的方程为 + _二1.（i）证明：由题意得F（1,0）、N（4,0）.设二C则汀山，三一 AF与BN的方程分别为： - - ?. 1）-脚一 1）旳=0,设1，则有 I/ - -t - 1/ II_5酬_8 _ 3n（知-8） （弘）由上得_._（5r-研 +36-9嵌= 4（亦一* = 1.所以点M恒在椭圆C上.L +乙=1(ii)解：设AM的方程为I I ,代入-_-：得 I - ks5u_ -6i设丄一人匚二：，则有一一匚， ?., 1 厶令 ：_ 1，则122123+-因为函数:在门为增函数,所

13、以当】即-时，函数、 :有最小值4.11分即 一时，工1 J有最大值3,此时AM过点F. AMN勺面积Sa AMN= _1 .-.1有最大值1 .12分5、解.（1）因为；是垂直于丄轴的一条垂轴弦，所以（X-朋）.2分来源：学科_瓏儿一柏0 % 一 令则_同理可得:（2）由可知; 呂分片一同2 2 2 2: M P在椭圆C； $ +二1上，二护（1一工2二沪（1-与,护（1-毎）沪（1 一a（3）第一层次:1点是圆C:一L 丁上不与坐标轴重合的任意一点，二】是垂直于.轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则，?：0 .16分2 2 2 2也心二忍耳一恥证明如下：由（1）知： . 在圆 C: -：

14、J 上，二芮.1；广J/（护_ 汩）_（用_/）恋 二 0（觀rf）二护 则、 ； - . 1-乃切是与咖和点F位置无关的定值V1n 飞一工血0上0 in.2点是双曲线C: J 上不与顶点重合的任意一点，丄二.是垂直于-轴的垂轴弦，直线2.-7 ?J分别交1轴于点- 1和点2 L/ 11，贝卜二T-广。 16分证明如下：由（1）知：扁& =也;-号堀2 2 2 2 Mr P在双曲线G 斗_许二1上“二沪（终（智-I）， a b a a-帀切是与MM和点P位置无关的定值 第二层次:2点是抛物线c： :, /./ 上不与顶点重合的任意一点，；二是垂直于二轴的垂轴弦，直线MR MP分别交x轴于点月亦

15、）和点旳少，则心+仓二0。 18分证明如下：由（1）知: 在抛物线 C: 山上，”丄* _ 2（妙/ *观）_ 2（瞎2戸坷-2戸他） 十兀卩- 2 2 一 2 2 一 U则 斤- !一上是与；r和点丄位置无关的定值C _ 16、解：（1）因为_：.，所以，： 一仁. 1分/ “ ”次 1 3 , H 二 1 P（ 一） 1 1设椭圆方程为= L ，又点 1在椭圆上，所以二 ,解得二 1， 3分2 2* + 卩 _ 所以椭圆方程为-；二. 4分（U）易知直线.的斜率存在,设.的方程为 _|， 5分=肌“4）,J 2 2由4 3 消去整理，得（3+4尸）一 32Px+64P12 = 0, 6 分

16、由题意知二；注7匸也网氐7324J设、,则“门_ 64-12，?匸.-因为二厂莎与二匕的面积相等，10分所以-1二n，所以-丄七亠. .4+16F由消去得j I . 将. - 1代入得珂（2码-4）=64?-123+4?将代入: 整理化简得6.-：，解得经检验成立.12分所以直线.的方程为13分7、解：（1）如图，设- 1，丄同理得设丄1代入上式得即满足方程；,故二T的方程为尸西f互（尿-稱）m m上式可化为二过交点， m，-. 1二的方程为J 6分（2）要证.! V ；,即证 _ | .：:；: I设二| PA | _ x3 - x0 k- _ 2巧无一（上+岛）（码 +可）+2空贝丨i :

17、 -. 1 （1）-直线方程为 _片一1工十必1西_0】丁联立化简-10分把代入（I）式中，则分子2z3z4 _娥+州）（令 +x4）+2brc 二_後+州）纽得:4?衣_ 2（丹_ 1）（疋+心）+ 2虹（_ 2疋州_4曲州疋 （2）又厂点在直线r二；丨上，爲一一 1代入u中| PA | | QA | 2&； - 2上-2b； + 2阳-2州 + 2片 + 朋光- /. - - 一 .-故得证&解: 14分（1）如图，设二u丄同理得设丄1代入上式得即满足方程；,故二T的方程为尸西f互（尿-稱）m m上式可化为二过交点， m，-. 1二的方程为J 6分I刊I创I（2）要证.! V ；,即证 |

18、 -.11. 由根与系数的关系可知线段；的中点坐标；满足X + 冏 4 加 , 5m5w _ 1 . 4km从而线段二的垂直平分线方程为 : : ?.此直线与.轴，轴的交点坐标分别为； ,1 ?.如丄_二辿 仁巴空 由题设可得2 5-4*2 5-4? 2 .整理得 阴 ,H0 .（5-4以+5_4疋 将上式代入气d 认、得 J ，整理得 H,：.该不等式等价于（4卩5）0解得亍或内辽.所以的取值范围是g）U管）u（o申町呦10、解：（I）由 题意得交点O A的坐标分别是（0，0），(1,1). （2分）（一个坐标给1分） 1f (t ) =Saabd+Saob= 2 |BD| |1-0|= 2 |BD|= 2 (-3t 3+3t )，3即 f (t)= (H) f /(t):令 f /(t ) =0当 0t 二时，f当匚t1时，f所以当t=匚时,三、选择题11、A3-t ),( 0t1 ). ( 6分)(不写自变量的范围扣1 分)9 3 120,从而f (t)在区间(0, _)上是增函数；/(t) 0,从而f (t)在区间(匚,1)上是减函数. (12 分）f (t)有最大值为f (匚)=二 (14分)12、D