九年级数学图形与证明综合测试题4.docx

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九年级数学图形与证明综合测试题4

第一章《图形与证明

（二）》综合水平测试题（B卷）

一、选择题（每题3分，共30分）

1、下列三角形：

①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）

A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④

2、如图1，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）

A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形

C．直角三角形D．不等边三角形

3、如图2所示，AB=AC，AD=AE，AF⊥BC，则图中全等的三角形有

A.2对　　　　B.3对C.4对D.5对

图1图2图3图4

4、如图3，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（）

A．bc－ab+ac+c2B．ab－bc－ac+c2C．a2+ab+bc－acD．b2－bc+a2－ab

5、同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图4是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（）

A．顺时针旋转60°得到；B．顺时针旋转120°得到

C．逆时针旋转60°得到；D．逆时针旋转120°得到

6、如图5所示，正方形ABCD的边长为1，点E在AC上，AE=1，EF⊥AC交BC于F，则下列成立的是（）

A．BF=

B．BF=

－1C．BF=

D．BF=

（2

－1）

图5图6图7图8

7、能够找到一点，使该点到各边距离都相等的图形为（）

①平行四边形②菱形③矩形④正方形

A．①与②B．②与③C．②与④D．③与④

8、如图6所示，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为（）

A．20B．24C．25D．26

9、下列四个命题中，正确的命题共有（）

（1）有两底角相等的梯形是等腰梯形；

（2）有两边相等的梯形是等腰梯形；

（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形；

（4）等腰梯形上、下两底边中点的连线垂直于底边．

A．1个B．2个C．3个D．4个

10、梯形上底长为L，中位线长为m，则连结两条对角线中点的线段长为（）

A．m－2LB．

－LC．2m－LD．m－L

二、填空题（每题3分，共30分）

1、已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．

2、△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．

3、如图7所示，AB⊥BC，DC⊥BC，若BE=CD，再增加条件________，则△ABE≌△ECD.

4、如图8所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要添加的一个条件是_________．

5、如图9所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．

（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是_______，根据的数学道理是_____________．

（3）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是_________，根据的数学道理是___________．

图9

6、如图10所示，以正方形ABCD的对角线AC为边作等边三角形ACE，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，则∠DEF=______．

7、如图11所示，一个在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积是_______．

图13

图12

图11

图10

8、等腰梯形的周长为66，腰长为8，对角线长为24，则连结两腰中点与一底中点的线段组成的三角形的周长为________．

9、如图12所示，要测量A、B两点间的距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4m，则AB=__________m．

10、如图13所示，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，则图中阴影部分的面积等于_________．

三、解答题（共60分）

1、小刚设计了一个玩具模型，如图所示，其中AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE相交于点O，为了使图形美观，小刚希望AO恰好平分∠BAC，他的这个愿望能实现吗？

请你帮他说明理由.

2、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：

△BCE≌△ACD；②求证：

CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．

3、如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：

连接CE）

4、已知：

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB、CD相交于点E、F，又知G、H分别为OA、OC的中点．

求证：

四边形EHFG是平行四边形．

5、如图所示，点E、F分别为正方形ABCD边AB、BC的中点，DF、CE交于点M，CE的延长线交DA的延长线于G，试探索：

（1）DF与CE的位置关系；

（2）MA与DG的大小关系．

6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是BC上的一个动点，PE⊥AB，PF⊥CD，CM⊥AB，垂足分别为E、F、M，则PE、PF、CM三者间存在怎样的数量关系？

证明你的结论．

7、已知：

如图①所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=

（AB+BC+AC）．若

（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图②）；

（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．

8、已知：

△ABC中，AB=10．

（1）如图①，若点D，E分别是AC，BC边的中点，求DE的长；

（2）如图②，若点A1，A2把AC边三等分，过A1，A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，求A1B1+A2B2的值；

（3）如图③，若点A1，A2，…，A10把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果．

参考答案

一、选择题

1、D；2、A；3、C；4、B；5、D；6、B；7、C；8、B；9、B；10、D

二、填空题

1、60°；2、1cm；3、AE=DE（或∠AEB=∠D或∠A=∠DEC）；4、BE=DF或BF=ED或∠BAE=∠DCF等．5、

（2）平行四边形：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

（3）矩形：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．6、45°7、143；

8、49；9、62．8；10、

ab

三、解答题

1、能实现.

△ABE≌△ACD（HL）

Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）

∠DAO=∠EAO（全等三角形的对应角相等）.

2、①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．

又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；

②证明△BCF≌△ACH；

③△CFH是等边三角形．

3、连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，

再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°

4、证明：

如图所示．

∵点O为

ABCD对角线AC、BD的交点，

∴OA=OC，OB=OD．

∴G、H分别为OA、OC的中点，

∴OG=

OA，OH=

OC．

∴OG=OH．

又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．

在△OEB和△OFD中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．

∴四边形EHFG为平行四边形．

5、解：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD，∠B=∠DCF=90°．

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EB=FC．

∴△EBC≌△FCD（SAS）．

∴∠ECB=∠FDC（全等三角形的对应角相等）．

∵∠FDC+∠DFC=90°，

∴∠ECB+∠DFC=90°．

∴∠CMF=90°（三角形内角和定理）．

∴DF⊥CE（垂直定义）．

（2）在△AEG和△BEC中，

∵∠GAE=∠B=90°，AE=BE，∠GEA=∠CEB，

∴△GAE≌△CBE（ASA）．

∴GA=CB（全等三角形的对应边相等）．

∵正方形ABCD中，CB=AD，

∴GA=AD．

∵DF⊥CG，∴MA=

DG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

6、证明：

如图所示，作PN⊥CM，因为PE⊥AB，CM⊥AB，所以四边形EPNM为矩形，

所以PE=MN，PN∥AB，

故∠NPC=∠ABC．

由等腰梯形ABCD得∠ABC=∠BCD．

所以∠CPN=∠PCF．

在Rt△CPN和Rt△PCF中，∠PNC=∠CFP=90°，∠CPN=∠PCF，PC=PC，

所以△CPN和△PCF翻转对称，

所以CN=PF，即PE+PF=MN+CN=CM．

7、解：

猜想结果：

图②中，FG=

（AB+AC－BC）；

图③中，FG=

（BC+AC－AB）．

证明图②的结果如下：

如图所示，分别延长AG、AF交BC于H、K．

在△ABF和△KBF中，

∵∠ABF=∠KBF，BF=BF，∠BFA=∠BFK=90°，

∴△ABF≌△KBF（ASA）．

∴AF=FK，AB=BK（全等三角形的对应边相等）．

同理△ACG≌△HCG．

∴AG=GH，AC=HC．

∴

FG=HK（三角形中位数定理）．

又∵HK=BK－BH=AB－（BC－CH）=AB－（BC－AC）=AB+AC－BC，

∴FG=

（AB+AC－BC）．

8、解：

这是一道探索规律型考题，题中多次涉及利用三角形，梯形中位线定理解题的思路．

（1）依据三角形中位线定理，有DE=

AB=5．

（2）设A1B1=x，则A2B2=2x．

∵A1，A2是AC的三等分点，且A1B1∥A2B2∥AB．

∴由梯形中位线定理，有x+10=4x，解之得x=

．

这时A1B1+A2B2=10．

（3）同理，可求出A1B1+A2B2+A3B3=15，A1B1+A2B2+A3B3+A4B4=20，…，

从而A1B1+A2B2+…+A10B10=50．