中考数学必会压轴题汇总.docx

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中考数学必会压轴题汇总

2

1．如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？

若存在，试求出

点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．

2．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式；

（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N

为顶点的三角形与△BOC相似？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP

是平行四边形时，试求动点P的坐标．

3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9．

（1）求证：

无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；

（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（0，﹣5），求此抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M

作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，

且满足MP=MC，连结

CD，PD，作

PE⊥PD

交

x轴于点

E，问是否存在这样的点

E，使得

PE=PD？

若存

在，求出点

E的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线

y=4﹣x于C、D两点．抛物线

2

y=ax+bx+c

经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点

N，问是否存在这样的点

M，使得

以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求此时点

M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

5．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是

A（4，3），O（0，0），B（6，0）．点

M是OB边上异于O，B的一动点，过点

M作MN∥AB，点P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，

BN．设点M（x，0），△PMN的面积为S．

（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点

M的坐标为（1，0）时，点N的坐标；

（2）求出S关于x的函数关系式，写出

x的取值范围，并求出

S的最大值；

（3）若S：

S△ANB=2：

3时，求出此时

N点的坐标．

6．已知：

如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？

（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：

S菱形ABCD=17：

40？

若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

7．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C（O，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E2-1-c-n-j-y

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点

F是直线

BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点

F使四边形

ABFC的面积为

17，若存在，求出点

F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点

若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

Q，

8．如图，在平面直角坐标系中，

Rt△ABC

的顶点

A，C

分别在

y轴，x

轴上，∠

ACB=90°，OA=

，抛

物线

y=ax2﹣ax﹣a经过点

B（2，

），与

y轴交于点

D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？

请说明理由；

（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

2

9．二次函数y=ax+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点

在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

（3）在

（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？

并求出所有满足条件的N点的坐标．

10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C

三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有符合条件的点P的坐

标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接

当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

EF，

11．如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP交AC于点Q．

（1）求证：

△APQ∽△CDQ；

（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间

为t秒．

①当t为何值时，DP⊥AC？

②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．

12.如图1，抛物线y3x2平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，

16

对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；

（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，

PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OMt，试探求：

①t为何值时MAN为等腰三角形；

②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

y

Ｂ

ＣA

O

Ｄ

第28题

y

P

B

N

ｘ

A

OMC

x

第28题

13．如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使∠APB=30°的点P有无数个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？

若有，求点P的坐标，并说明此时∠

由；若没有，也请说明理由．

APB

最大的理

14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x

2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，

连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点

D重合）．

（1）求∠OBC的度数；

（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；

（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．

15.

16.如图,抛物线yx24x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上

平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.

（1）求点A的坐标;

（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、

直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;

（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横

坐标为x,当462S682时,求x的取值范围.

y

l

5

4

3

2

1

-4-3-2-10

1

2

3

x

-1

-2

-3

-4

（第28题）

2

17.如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a（x-2）-1图象的顶

点为P，与x轴交点为A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点

D.

（1）写出点P的坐标；

（2）连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；

（3）在

（2）的条件下，连结BC、AC、AD，点E（0，b）在线段CD（端点C、D

除外）上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示

S．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何

值时,重叠部分的面积最大?

写出最大值．

18.如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB，△COD处，直角边OB，OD在x轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让

纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至△PEF处时，设PE，PF

与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H．y

（1）求直线AC所对应的函数关系式；

（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：

①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？

请说明理由；

②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？

若

A

存在，求出这个最大值及

S取最大值时点

P的坐标；若不存在，请说明理

P

C

由．

I

M

N

II

OG

B

HD

x

E

F

（第24题图）

18.解：

（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为

1和2，

知A，C两点的坐标分别为（1，2），（21），．

设直线AC所对应的函数关系式为ykxb．··························2分

有k

b

，

，

2解得k

1

2k

b

．

b

．

1

3

所以，直线

AC所对应的函数关系式为

y

x3．····················4分

（2）①点M到x轴距离h与线段BH的长总相等．

y

因为点C的坐标为（2，1），

所以，直线OC所对应的函数关系式为

y

1x．

A

又因为点P在直线AC上，

2

P

C

I

所以可设点P的坐标为（a，3

a）．

M

N

II

过点M作x轴的垂线，设垂足为点

K，则有MK

h．

O

GKB

H

x

E

F

因为点M在直线OC上，所以有M（2h，h）．·······6分

（第

24题答图）

因为纸板为平行移动，故有

EF∥OB，即EF∥GH．

又EF

PF，所以PHGH．

法一：

故Rt△MKG∽Rt△PHG∽Rt△PFE，

从而有GK

GH

EF

1

．

MK

PH

PF

2

得GK

1MK

1h，GH

1PH

1（3

a）．

2

2

2

2

所以OG

OK

GK

2h

1h

3h．

2

2

又有OG

OH

GH

a

1

a）

3

（a

1）．························8分

（3

2

所以3h

3（a

2

1），得h

a

1，而BH

OHOB

a1，

2

2

从而总有h

BH．

········································10分

法二：

故Rt△PHG∽Rt△PFE，可得GH

EF

1

．

PH

PF

2

故GH

1PH

1（3

a）．

2

2

1（3

3（a

所以OG

OH

GH

a

a）

1）．

2

2

故G点坐标为

3

，．

（a

1）0

2

设直线PG所对应的函数关系式为

y

cx

d，

3

aca

d，

c

2

则有

3c（a

解得

d

3

3a

0

1）d．

2

所以，直线PG所对的函数关系式为

y

2x（33a）．···············8分

将点M的坐标代入，可得

h

4h

（3

3a）．解得ha1．

而BH

OHOBa

1，从而总有

h

BH．·························10分

1

②由①知，点M的坐标为（2a2，a1），点N的坐标为a，a．

2

S

S△ONH

S△ONG

1NH

OH

1OG

h

1

1aa

1

3a3（a1）

2

2

2

2

2

2

1a2

3a

3

1a

3

2

3．

·························12分

2

2

4

2

2

8

当a

3

时，S有最大值，最大值为

3．

2

8

S取最大值时点

P的坐标为

3

3

．·····························14分

2

，

2

19.我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是

以线段AB为直径的圆．

（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

AA

80100

BCBC

（第25题图1）

（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？

请写出你所得到的结论（不要求证明）；

（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转

站应建在何处？

请说明理由．

G

49.8

H32.453.8

50.044.0

47.1F

47.835.1

E（第25题图2）

19.解：

（1）如图所示：

··········································4分

A

A

80

100

BCBC

（第

25题答图

1）

（注：

正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）

（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；··············6分

若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．·······················································8分

（3）此中转站应建在

△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交

点处）．·····························10分

理由如下：

由HEF

HEG

GEF

47.8

35.1

82.9，

M

G

EHF

50.0，

EFH

47.1，

49.8

H

32.4

53.8

故△EFH是锐角三角形，

50.0

44.0

所以其最小覆盖圆为

△EFH的外接圆，

47.1

F

设此外接圆为

O，直线EG与O交于点E，M，

47.835.1

则EMF

EHF

50.0

53.8

EGF．

故点G在

O内，从而

O也是四边形EFGH的最小覆盖圆．

E

所以中转站建在

△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．（第25

题答图2）

···································12分

20.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为

x（h），两

．

车之间的距离为y（km），图中的折线表示

y与

x

之间的函数关系．

．．．．．．

y/km

根据图象进行以下探究：

900A

D

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