量子思考题与解答1.docx
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量子思考题与解答1
第一章第一章黑体辐射，光的波粒二象性
1.什么是黑体？
（1）黑颜色的物体。
（2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。
（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。
（4）吸收比为1的物体。
（5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
2•康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相互作用过程中
是可分的？
3•可以观察到可见光的康普顿效应吗？
光电效应对入射光有截止频率的限制，康普顿效应对
入射光有没有类似限制？
4•光电效应中，对入射光有截止频率（红限）的限制是否必需？
因为当一个电子同时吸收两
个或几个频率低于截止频率的光子或电子可积累多次吸收光子的能量，则在任何频率光入射
时都能形成光电流。
5•康普顿效应中作为散射体的电子是否一定是自由电子？
光子被束缚电子散射时结果如何？
6•光电效应的爱因斯坦方程，在什么温度下才准确成立？
第二章微观粒子的波粒二象性
1•德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？
2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？
二者之间是否有必然联系？
3•关于粒子的波动性，某种看法认为：
粒子运行轨迹是波动曲线，或其速度呈波动式变化，这种看法对不对？
4.在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？
5.有人认为德布罗意波是粒子的疏密波，如同声波一样？
这种看法对不对？
6•波动性与粒子性是如何统一于同一客体之中的？
物资在运动过程中是如何表现波粒二象性的？
7.电子是粒子，又是波”，
电子不是粒子，又是波”，
电子是粒子，不是波”，
电子是波，不是粒子”，
以上哪一种说法是正确的？
8.以下说法是否正确？
（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。
（2）量子力学适用于h不能忽视的体系，而经典力学适用于h可以忽略的体系。
第三章波函数态叠加原理波动方程
1.判断下列说法是否确切、完整。
（1）波函数是德布罗意波的数学表示。
（2）波函数是体系波方程的解。
（3）波函数是单粒子态的数学表示。
（4）波函数是量子态的数学表示。
2•波函数的物理意义一一微观粒子的状态完全由其波函数描述，这里的完全”的含义是什
么？
3.缝干涉实验中，电子必定通过两缝之一而打到屏上，因此落到屏上的总电子数必定等于分别通过两缝的电子数之和”，这种说法对吗？
Cn*n
4.态的叠加原理，通常以对叠加态取和的形式表出如n，是否有积分形式的态
叠加原理？
举例说明。
5.怎样从测量的角度理解态叠加原理的物理意义？
如体系处于叠加态'二C<1'C2「2，
6.薛定谔方程能否适用于相对论性粒子？
7.有的书中说，为了满足叠加原理，波动方程必须是线性的，也有的书上说：
因为波动方程是线性的，所以存在叠加原理。
到底哪个说法对？
8.量子体系是否遵从因果律？
波方程如何反映这种因果律？
9•量子力学规律的统计性与经典统计力学的规律有什么不同？
为什么概率会进入量子力学？
量子力学统计的客观基础是什么？
第四章第四章力学量与算符
1.什么是可观察量？
它与力学量有何区别？
什么是可观察算符？
它与厄米算符有何区别？
2.什么是算符的本征值和本征函数？
他们有什么物理意义？
3.厄米算符有那些特性？
4.为什么作为力学量必须要求算符是线性的、厄米的？
5•力学量之间的对易关系是否具有什么物理意义？
6.所有量子态都可分为本征态和非本征态，这句话是否确切？
7.如果波函数？
不是力学量F?
的本征态，那么在态？
中测量F会发生什么情况？
8.是否可把力学量分为两类：
一类本征值为连续谱，而另一类本征值为离散谱？
9•力的概念在量子力学与经典物理中的地位有什么不同？
第五章第五章定态解
1.什么是定态？
它有何特性？
2.什么是束缚态？
它有何特性？
束缚态是否必为定态？
定态是否为束缚态？
举例说明。
3.—维定态解包括几个量子数？
量子数数目取决于什么？
4.量子力学定态解在什么条件下过渡到经典解？
5.在一维势阱中，假n=3,于是波函数在阱中有两处为零，因而在这两点发现离子的概率也为零，那么粒子怎么通过这两点而运动呢？
6.上题中，如果在两节点处设置刚性壁，将势阱分为三部分，那么概率分布有何变化？
7.为什么概率流在势不连续点会发生分裂，而对应的粒子却不会发生分裂？
8.是否当入射粒子有低势能区射向高势能区时会在交界面发生反射，而由高势能区射向低势能区时不会发生反射？
9.是否当入射粒子能量小于势能时会发生反射？
当入射粒子能量大于势能时是否也会发生反射？
10.入射波是否仅在势不连续点发生反射？
在势场连续变化区域是否会发生反射？
11.有人认为入射粒子的寿命是有限的，因此能量并不完全确定，能量E只有平均植，而某
一瞬时的能量完全可能大于势垒高度，从而越过势垒，这种看法对不对？
第六章第六章不确定关系
1..过去一直沿用的测不准关系”，为什么现在改译为不确定（度）关系”？
2..经典物理中是否存在不确定现象？
它与量子力学的不确定关系有什么差异？
3..不确定关系如何体现物质的普遍本质——波粒二象性？
4..在威尔逊云室中，当有粒子通过时，其轨迹便可显现出来，这是否表明微观粒子的运动有轨迹？
5..量子力学中，是否可将波包中心的运动轨迹看作是粒子的运动轨迹？
6..双缝衍射实验中，否不破坏粒子本身状态（它决定了衍射模式）而确定粒子从哪个缝通过？
第七章第七章绘景和表象
1.量子力学绘景中表象和绘景的含义有何不同？
2.坐标和动量作为算符，在能量表象中有确定的表示式吗？
3.力学量的巨阵对角化含义是什么？
4.有人认为：
粒子数确定，能量也就确定。
因此，能量表象与粒子数表象是一回事？
对不对？
第八章角动量自旋
1•量子力学中，角动量是如何定义的？
2.能量本征态有可能是角动量L2的本征态吗？
有可能是L2的本征态吗？
3.在s态中，L=0，因为轨道角动量的本征函数可以是非球形对称的？
概率密度呢？
4•试述电子具有自旋的实验证据与理论依据。
5.斯特恩-盖拉赫实验中，只有使用处于s态的中性原子，而不能使用电子，为什么？
6.
（1）自旋可以在坐标表象中表示吗？
它是否与外部空间毫无关系呢？
（2）自旋角动量与轨道角动量，性质上有那些差异？
7.泡利矩阵中，二x与二z为实矩阵，y为纯虚矩阵。
问：
是否可经表象变换，使
（1）三个泡利矩阵都是实的；或
（2）两个是虚的，另一个是实矩阵。
8.试比较经典角动量的相加与量子角动量的耦合，二者有什么区别？
第九章全同粒子
1、全同粒子是：
（1）所有性质均相同的粒子。
（2）质量、速度、动量、能量、角动量均相同的粒子。
（3）自旋相同的粒子（有时被称为同类粒子）。
（4）所有固有物理性质如质量、电荷、自旋、磁矩、……均相同的粒子。
（5）所有固有物理性质相同，且彼此间无相互作用的粒子。
你认为哪个更确切？
2微观的全同粒子可区分时，粒子可以被标记编号，这是否意味着这些微观粒子服从经典力
学规律，粒子按轨道运动？
3、微观粒子的全同性原理如表述为：
全同粒子体系中，体系的物理状态不因交换任意两个粒子而改变。
”
问：
（1）物理状态”是指宏观态？
还是微观态？
（2）交换任意两个粒子”的确切含义是什么？
（3）它与全同粒子的不可区分性有什么联系？
4、经典的全同粒子系是否存在全同性原理？
5、是否可能由于外场的作用，使全同粒子系从一种对称态跃迁到具有不对称性的态？
6、态叠加原理对全同粒子系是否仍适用？
全同粒子系的波动方程解的任意线性叠加，是否仍描述该体系的可能态？
7、氦原子是玻色子，而计算氦原子的量子能级时，氦原子的定态波函数由反对称波函数描述，是否矛盾？
8、量子力学中以什么为依据，把全同粒子系划分为定域系与非定域系？
9、为什么把玻色-爱因斯坦统计与费米-狄拉克统计统称为量子统计，把玻尔兹曼统计称为经典统计？
量子统计与经典统计是统计原理上的不同，还是其他方面的不同？
第十章第十章定态微扰与量子跃迁
1、非简并态微扰为什么不适用于所谓近简并情况？
2、能级简并没有解除的解是否必定是近似解？
反之，近似解是否必定是能级简并的？
3、如果微扰知H?
',那么，我们便可将H?
'在Ro的表象中对角化，从而求得H?
'的本征解。
这样，近似计算还有什么意义呢？
4、什么是等能跃迁？
5、辐射的谱线位置与谱线强度各取决于什么因素？
第十一章散射原理
1、研究微观粒子间的碰撞现象有什么意义？
2、什么是势散射？
3、微分散射截面的定义在入射粒子正前方向（0=0是否还有效？
在0=（方向测得的粒子
属于散射波还是属于入射波？
如何确定0=0方向的微分散射截面?
4、一维势垒贯穿中，是否存在散射截面的概念？
第十二章原子与分子
1•玻尔氢原子线度与量子中氢原子线度有什么关系？
2.为什么原子辐射时，辐射的光子能量总是小于电子跃迁的能级差？
3•描述氢原子状态需要几个量子数？
量子数目取决于什么？
4.氢原子中能量量子化与角动量量子化是如何发生的？
其物理实质是什么？
量子力学中电子轨道还是量子化的吗？
5.如果有心力场不是库仑场（V（r）不与1/r成比例），角分布函数将取什么形式？
6•正常塞曼效应中，每条谱线分裂为三条，能级是否也是一分为三？
7•原子结构理论中，有心力场模型的基本假定是什么？
8•说明泡利不相容原理在原子结构中的意义。
9•多电子原子中，有些主量子数n较小的态，其能量有时反而比n较大的态大，为什么?
解答
第一章
1、（4）,（5）正确。
吸收比a（人T）=1蕴含了任何温度下，对入射的任何波长的辐射a（入，T）均为1。
（2）是常见的黑体定义，显然，应加上在任何温度下”才完整。
2、光电效应中，一个电子同时吸收两个光电子的概率非常小，一个电子只吸收一个光子。
另外，实测中光电发射没有可分辨出的时间延迟，这说明，电子没有能量的积累过程，即电
子吸收一个光子后再吸收一个光子的概率也是非常小的。
因而，截止频率的限制是必需的。
第二章
1.1.德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而与物质具体结构无关。
因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复杂体系。
h
2.2.由基本假设’=P，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。
3.3.一个典型的看法如下谈论物质的二重性质，完全和谈论汽车的二重性质一样，汽车
一方面是个体，而另一方面，当它在丘陵地带行驶时，又采取波浪式的路线。
4.4.为了验证是否大量粒子集合才呈现波动性，1949年比尔曼（苏）等曾做了，极微弱
电子束射向金属箔发生的射的实验，实验中两个电子相继穿过衍射系统的时间约为一个电子
穿过仪器所需时间的三万倍！
尽管这样，产生的衍射图样和用强大的107倍的电子束所得到
的图样完全一样。
可见每个粒子都是不受其它粒子影响而发生衍射的。
单个粒子在被探测
时与探测器发生作用，当打到荧光屏时是整个粒子起作用。
单个粒子的落点虽是无规的，但
却受概率波的支配而形成图样。
5.5.声波是空气分子一个带动一个此起彼伏而形成波动的。
只有大量相互作用着的粒子集合才能产生疏密波，而上题中的实验以否定了这种看法。
6.6.经典粒子与经典波是无法统一与同一客体之中的。
微观粒子的是概率波，只说明概
率波有作为波动本质特性的相干叠加性，因此可产生干涉衍射。
波函数的模仿'■■■'F才代表
概率，'根本不是经典波中出现的那一类的力学量。
微观粒子的粒子性表现有集中的能量、电荷、质量，但与经典粒子不同，它没有轨道概念，我们认为粒子性的统一不是经典粒子与经典波的同一。
具体说来，当我们以任何实验手段观察微观粒子时，也就是说在与物质相互
作用过程中呈现粒子性，而在其传播过程中，以概率形式表现波动性，这就是通常说的波粒二象性的统一。
7.7.我们必须分出经典粒子与微观粒子；经典波与概率波。
这样，给出的几种说法应为：
（1）电子是微观粒子，又有概率波。
（2）电子不是经典粒子也不是经典波。
（3）电子是微观粒子，不是经典波。
（4）电子波动性是概率波，电子不是经典粒子。
这样就不致导致误解。
8.
（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或一可忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过度到经典力学，二者相吻合拉。
第三章
1.
（1）按照德布罗意假设，平面波是描述自由粒子的波，这只是波函数一个具体例子。
一般情况下，微观粒子必须用更复杂的波函数来描述。
有时也把描述微观粒子一切形式的波（一般不是平面波）笼统的称为德布罗意波。
在这种理解下，才可以说，波函数是德布罗意波的数学表示。
（2）体系波动方程的通解有无穷多个。
但并非所有的这些解都可以描述体系的量子态。
物理上真实态的波函数是指那些满足特定的初始条件与边界条件的体系波动方程的解。
对同粒
子系，能实现的体系其波函数是体系是既满足波方程又同时满足交换时对称性要求的解
（3）（4）波函数是体系量子态的数学表示，而单粒子波函数才是单粒子态的表达形式。
2•按照波函数的统计解释，波函数统计的描述了体系的量子态。
已知单粒子（不考虑自旋）波函数为*r，则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动量等粒子其他力学量的概率分布也均可通过''而完全确定。
由于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果。
而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个物理意义上说，有关体系的全部信息显
然已都包含在波函数中。
所以我们说，微观粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称
为态函数。
3•由于波性，根据传统解释每个电子都是同时通过双缝而落到屏上，而不是电子束中的一部分电子由A缝通过，另一部分电子由B缝通过，不然屏上显示的只是两个单缝衍射条纹的叠加。
因此电子必定通过单缝是错误的。
4•有，而且很普遍，事实上，任何力学量本征值连续变化的本征态的叠加，其结果必然有求和形式过度到积分形式。
例如，平面波叠加形成的波包，电子在晶体表面的衍射等都属于这
类情形。
5•许多著作如朗道的《量子力学》及曾谨言著《量子力学》中都强调态叠加原理是与测量紧密联系的基本原理，按照这种观点，态叠加原理被表述为：
设体系处于1态时，测其力学量A可得准确值ai，体系处于一2态时测该力学量A，可得另一准确值a2,则在叩-cr;1-c?
'2态中（C1与C2为常数）测量力学量a,结果只可能
是a1或为吐，而且其相对概率是完全确定的，我门就称J态是'"1态与J2态的线性叠加态。
”
可见/1态与’一；2态的线性叠加，=C＜；1C?
2中对诸如力学量A的测量结果具有不确定
性•在态中测量力学量A时测量值可能为91或为a2，二者必居其一，并且测量值为a1与测量值92的相对概率是完全正确的•这个物理结果通常被表述为：
在’‘1态与‘2态的线
W屮屮屮
性叠加态'中,粒子既处于1态,又处于2态或者说，部分地区处于1态，部分地区处于■'2态.
6•因为薛定谔方程中对空间坐标是二次微商，而对时间则是一次微商，显然不满足相对论要求
2
P
的协变性•其次方程中动能以E=2m表出的，这只对相对论情形适用，所以薛定谔方程是非相
对论量子力学的波方程•
7•认为,量子力学理论体系中，态叠加原理或波方程都可以单独作为独立的基本假设•不同教材
中他们出现先后可能不同，单不存在主从之分•这时题中给出的两种说法只是说明这两个基本假设之间是相容的.
也有人不把态叠加原理作为基本假设而作为由波方程得出的一个推论这正是题中的第二个
提法，而狄克拉再他的书中开宗明义第一章就是态叠加原理，也有的名著如席夫所著的＜量子
力学〉中只是为了使方程解能被叠加加以产生干涉……•方程必须是线性的.没有明确作为态
叠加原理”而提出的
不同的处理方式反映了不同作者对态叠加原理在量子力学中的地位和重要性的见解很不相
同.
8.8.量子体系遵从因果律，但由于微观粒子的波粒二象性使描述状态的方式与经典力学
有本质的不同，因果律的含义及表现也有所不同.
由于波方程只含时间一次导数，因此只要给出体系在初始时刻（t=0）的状态'■r，0，原则上由
波方程就可唯一确定以后任何时刻的状态（r，t）。
这就是因果律在量子力学中的体现.
把这个结果与经典力学作一比较是必要的.经典力学中牛顿运动方程是粒子的力学量坐标运
动量满足的方程.给定初始条件就是给出初始时刻粒子的坐标，动量，借助于牛顿方程，可以给
出这些力学量在各种情况下随时间变化的规律，这就是经典力学中的因果性.
可见，尽管经典力学与量子力学对量子状态的描述，运动方程
都有着质的差异，但因果律起着作用，只是实际意义有所不同.
9.9.经典统计力学的基础是牛顿力学，例如一定量的气体中每个气体分子在每个瞬间都
有确定的位置和动量，每个分子都按牛顿运动定律而运动定律而运动，而大量分子组成的体
系存在着统计规律.例如，对个别不存在温度这个概念.处于平衡态的理想气体的温度是分子
平均运动能的量度.
与经典力学不同量子力学不是象经典统计那样建立起来的宏观理论.波函数的统计解释是量
子力学理论结构中的基本假设.
在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性，是观测仪器对微观粒子的
不可控制的作用的结果
如类似对经典粒子那样，进一步问：
统计性的微观实质是什么？
理论依据是什么？
则被认为是超出了基本假设限度，因尔是没有什么意义的，也是没有必要的.
第四章
1.“•…本征态组成完全系的力学量叫可观察量”这是狄拉克引入的概念。
由于力学量以厄米
算符表出：
并非所有厄米算符都具有一个完备.正交归一本征函数系。
然而，能表示物理量的厄米算符就有这样的系。
为此，我们给这种算符一个名字：
观察算符。
要证明一个特殊的
厄米算符是观察算符往往是一个非常困难的数学问题。
实际上只对简单的情况（例如位置坐
标和动量坐标.一维量子体系的哈密顿量.角动量等等。
）作过证明。
下面我们总是认为所有与物理量相联系的算符都具有一样完备正交本正函数系”一一a梅西亚，《量子力学》第一卷，
科学出版社，1986p.193
2.含有算符F?
的方程"n-Fn*n
称为f的本征值函数，而Fn则称为F?
的属于本征值F?
的本征函数。
如果算符F?
代表一个力学量，上述概念的物理意义如下：
当体系处于F?
的本征态时，测量的数值是确定的，横等于Fn，并且根据本章开头列出的假设，当体系处于任意态时，单次测量F的值必等于它的诸本征值之一
3.厄米算符有如下性质：
“
（1）厄米算符的本征值是实数；
（2）厄米算符在任何态的平均值也为实数；
（3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交；
（）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。
4•力学量必须是线性算符。
这是由量子态叠加原理所要求的真实力学量的任何测量值当然必须是实数，这就决定了力学量必须由厄米算符来表达。
5•力学量之间的对易关系，是量子力学中极为重要的关系，它相当于旧量子论中的量子化条件，具有深刻的物理意义。
'对易关系表明，经典因果性不是普遍成立的，并指出各类力。
够同时确立的条件，体现了量子力学的基本特点。
与不确定原理一样，力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二相性。
从纯理论的角度说，它也可以作为量子力学的基本出发点，此外，对于有的力学量，对易关系反映了它的基本特征如Li一；..|，就可以作为角
动量的定义。
6•此话不确切，所谓本征态是针对一定的力学量而言的，某一特定的量子态可能是某个力学量的本征态，但对于其他力学量而言，就未必是本征态了。
7•这时测量F?
便不能得到确定值，而可能是它的任一本征值。
如果展开为本征态的叠加，
2
=3Cn「n即测得：
n本征值的概率为Cn，这正是量子力学基本假设之一。
8•力学量根据其本征值谱的特性，可以分为三类：
第一类，其本征值谱总是连续的
第二类，其本征值谱总是离散的，如角动量，宇称等；
第三类，其本征值谱可以是连续的，也可以是离散的，或是部分连续，部分离散的，要由
体系和外场特性而定，如自由离子哈密顿量是连续的，谐振子哈密顿量是离散的，氢原子哈
密顿量则是部分连续的，部分离散的。
9.力在经典力学中占有统治地位，是用来描述体系与外界相互作用的一个基本概念，而且
质量的概念，无论是惯性质量还是引力质量，都是借助与力概念来定义的。
而在量子力学中，
一般是用势场，而不是力来描述体系与外界的相互作用，另外质量也无须借助质量来定义。
虽然从对应原理可形式地把力定义为动量的平均变化率，但并没有什么实际用处。
体现波粒
齐d-p
..p=一——（x）=—
二象性的E二「与•，使量子力学中能量、动量成为基本概念，由于dtm，
动量可看成是物质运动的直接原因。
力的概念失去了它在经典中的地位。
第五章
1.定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。
若势场恒定
于定态。
定态具有以下特征：
（1）定态波函数时空变量可以分离？
r,t■?
re4kt/
其中？
r是哈密顿「的本征函数，而上为对应的本征值
（2）不显含t的任何力学量，对于定态的期待值，不随时间变化，各种可能观察值出现的几率分布亦不随时间变化。
注意通用宇r表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写离子状态的波函数都是含时的。
2.当粒子被外力（势场）约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的叫束缚
^态。
束缚态的能级是离散的。
例如，一维谐振子就属于束缚态，具有量子化的能级。
但束缚态不一定是定态，例如，限制在一维箱子中的粒子，最一般的可能态是以一系列分立的定态叠加
而成的波包，上题已讨论过，这种叠加态是没有确定能量植的非定态。
虽然一般情况下定态多属束缚态。
例如，弹性散射中，入射粒子受散射势作用而向各方向散
射，粒子不局限在有限区域，但粒子处于能量的本征态。
这时粒子处于一个非束缚态，或者说处于散射定态（常简称为散射态）。
3、一维定态解只是有一个能量量子数
一般说来，量子态的量子数数目等于体系的自由度数目，也即等于描述体系状态的力学量完
全集中所包含的力学数目。
4、量子力学的定态解在量子数门一；心时，即过渡到经典解，此即玻尔对应原理。
5•我们不能将粒子在势箱中的运动看成是经典粒子在箱中来回移动。
微观粒子在箱中的运
动呈现一种波动，正是波动在箱壁上的往复反射，干涉形成了驻波，产生了波腹与波节，波
节处波函数为零，发现粒子的概率为零。
因此波节是粒子运动的产物，而不是阻碍粒子在箱中的运动。
一旦我们真的试图在波节处探测粒子时，波动状态也就破坏了，因此并不会发生
实验观测上的矛盾（实验上不可能恰好只是探测波节一点，而只能是一个小区域，在此区域
中发现粒子概率不为零，因此不可避免要发生粒子与仪器的相互作用）
6•由于物质波是概率波，与经典波不同，若在波节处插入壁垒，
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