八年级数学上册113《多边形及其内角和》三角形思维点拨素材.docx

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八年级数学上册113《多边形及其内角和》三角形思维点拨素材

思维点拨：

三角形

如图，三角形ABO的边AO、BO分别是三角形DOC的边CO、DO的延长线，则∠A+∠B=∠C+∠D.

   解：

在三角形ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在三角形COD中，∠C+∠D＋∠DOC=180°，所以∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D＋∠DOC.又因为∠AOB＝∠DOC，所以∠A+∠B=∠C+∠D.

由此我们得到以下结论：

如果两个三角形有一个角是对顶角，那么这两个三角形的另外两个角的和相等.

   【例1】如图，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.

   【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

   解：

连结DE，由以上结论可知：

∠A+∠C=∠CED+∠EDA，

   又因为在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°，

   所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°.

   即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.

   【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.

   【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF所构成的图形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，这样就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同时放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.

   解：

连结CD，则∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，

   又因为在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°，

   所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°.

   【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法.

【例3】如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（    ）.

   【思考与解】因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，

   所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－

   在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3），

   所以∠1＝90°－

［180°－（∠2＋∠3）］=

（∠3+∠2）.

   又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G.

   所以∠G＝∠1－∠2＝

（∠3+∠2）－∠2＝

（∠3－∠2）.

   所以应选C.

   【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A＝35°.你能求出∠BDC的度数吗？

   【思考与解】延长BD，与AC交于E点，

   因为∠DEC是三角形ABE的外角，

   所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°.

   又因为∠BDC是三角形CDE的外角，

   所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°.

   【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题.

【例5】如图，已知∠B＝10°，∠C＝20°，∠BOC＝110°，你能求出∠A的度数吗？

   【思考与分析】要求∠A的度数，我们可以设法让∠A成为某个与已知角相关的三角形的内角.我们可延长BO交AC于D，则∠A、∠B即为三角形ABD的两个内角.根据三角形外角的性质，欲求∠A的度数，可先求∠ODC的度数，由∠BOC＝110°，∠C＝20°即可求出∠ODC的度数.

   解：

延长BO交AC于D.

   因为∠BOC是三角形ODC的外角，

   所以∠BOC＝∠ODC+∠C.

   因为∠BOC=110°，∠C＝20°，

   所以∠ODC＝110°－20°＝90°.

   因为∠ODC是三角形ABD的外角，

   所以∠ODC＝∠A+∠B.

   因为∠B＝10°，

   所以∠A＝90°－10°＝80°.

   【例6】如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、CD，试说明∠BDC>∠BAC.

   【思考与分析】∠BDC和∠BAC在两个不同的三角形内，而且不能直接比较它们的大小，必须做辅助线把这两个角联系起来.我们延长BD交AC于P，或连结AD并延长交BC于Q，都可以利用三角形外角的性质解题.

   解：

延长BD交AC于P，则∠BDC>∠DPC，∠DPC>∠BAC，所以∠BDC>∠BAC.

   【反思】我们还可以连结AD并延长交BC于Q，如图，请大家试一试，看能不能得到相同的结论.

【例7】已知三角形ABC的一个内角度数为40°，且∠A=∠B，你能求出∠C的外角的度数吗？

   【思考与分析】在三角形ABC中，∠A=∠B，因此三角形ABC是一个等腰三角形，我们必须要讨论40°的角是三角形ABC的顶角还是底角，应分两种情况解答.

   解：

（1）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的顶角时，则∠α的外角等于180°－40°＝140°，而∠C＝∠α，所以∠C的外角的度数为140°.

（2）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的底角时，∠A=∠B＝∠α＝40°，此时∠C的外角＝∠A＋∠B＝80°.

【例8】已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直线交于H，你能求出∠BHC的度数吗？

   【思考与分析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，因此我们应该分两种情况进行讨论.

   解：

当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示.

   因为BD、CE是三角形ABC的高，∠A=45°，

   所以∠ADB=∠BEH=90°，∠ABD=90°－45°＝45°.

   所以∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.

（2）当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示.

   因为H是三角形的两条高所在直线的交点，∠A=45°，

   所以∠ABD＝90°－45°＝45°.

   所以在直角三角形EBH中，∠BHC=90°－∠ABD＝90°－45°＝45°.

   由

（1）、

（2）可知，∠BHC的度数为135°或45°.

   【小结】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清，此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整

【例9】如图，已知三角形ABC中，∠B=∠C＝2∠A，你能求出∠A的度数吗？

   【思考与分析】我们由三角形内角和可知，∠A+∠B+∠C=180°，又因为∠B=∠C＝2∠A，可得∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即可求出∠A的度数.

我们还可以用方程来解这道题，根据三角形内角和定理与∠B=∠C＝2∠A这两个已知条件求未知量∠A的度数.用方程解决问题，我们必须在弄清题中已知数量和未知数量的关系的基础上，要抓住题中的不变量，建立等量关系.题中的不变量是三角形内角和等于180°，其等量关系是∠A+∠B+∠C=180°，然后我们用数学语言把这个等量关系式转化为方程.

   设∠A的度数为x，则可以用2x分别表示∠B、∠C的度数，将这个等式转化为方程x＋2x＋2x＝180°，即可求出∠A的度数.

   解法一：

因为∠B=∠C＝2∠A，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即∠A＝36°.

   解法二：

设∠A的度数为x，则∠B、∠C的度数都为2x，列方程得x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.

【例10】判断适合下列条件的三角形ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.

（1）∠A=80°，∠B=25°；

（2）∠A－∠B=30°，∠B－∠C=36°；

   【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可以了，本题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度数即可.

（1）题通过直接计算就可以求出∠C的度数，

（2）（3）题不便于直接计算，可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进行求解.

   解：

（1）因为∠A＝80°，∠B=25°，所以∠C=180°-80°-25°=75°，所以三角形ABC是锐角三角形.

（2）设∠B＝x°，则∠A＝（30+x）°，∠C＝（x-36）°，所以x°＋（30+x）°+（x-36）°＝180°，解得x＝62，所以最大角∠A＝92°，所以三角形ABC是钝角三角形.

   （3）设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝6x°，则x°＋2x°＋6x°＝180°，解得x＝20，所以∠C＝120°，所以三角形ABC是钝角三角形.

   【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一.在三角形中，给出的条件不能直接求出结果，且各角之间有相互关系，我们可以设其中一个角为未知数，再把其它角用此未知数表示，然后列方程即可求解.

利用高线与边垂直的性质求度数

　　【例11】已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．

　　【思考与分析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论．

　　解：

（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.

（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．

　　所以∠BAC为90°或50°．

　　【小结】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.

　　2.利用三角形面积公式求线段的长度

　　【例12】如图，△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？

　　【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设△ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha，hb，hc，那么三角形的面积S=

aha=

bhb=

chc.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积S△ABC=

BC·AD=

AB·CE，解决十分方便.

　　解：

S△ABC=

BC·AD=

AB·CE

×5×3=

AB·4，解得AB=

（cm）．

　　【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用．

【例13】如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为             ，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为        .

　　【思考与解】

（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差＝（AB+BD+AD）－（AD+CD+AC）=AB+BD-CD-AC.而BD=CD，所以上式＝AB-AC=5-3=2（cm）.

（2）因为S三角形ABD＝

BD×AE，S三角形ACD＝

CD×AE，而BD=CD，所以S三角形ABD＝S三角形ACD.

　　【例14】如图，在三角形ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上的一点，CF⊥AD于H.下列判断正确的有（      ）.

（1）AD是三角形ABE的角平分线.

（2）BE是三角形ABD边AD上的中线.

　　（3）CH为三角形ACD边AD上的高.

　　A.1个 B.2个 C.3个  D.0个

　　【思考与解】由∠1＝∠2，知AD平分∠BAE，但AD不是三角形ABE内的线段，所以

（1）不正确；同理，BE虽然经过三角形ABD边AD的中点G，但BE不是三角形ABD内的线段，故

（2）不正确；由于CH⊥AD于H，故CH是三角形ACD边AD上的高，（3）正确.应选A.

　　【例15】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13cm，BC=12cm，AC=5cm.

（1）求三角形ABC的面积.

（2）求CD的长.

　　【思考与分析】求直角三角形的面积，有两种方法：

①S△=

ab（a、b为两条直角边的长）；②S△=

ch（c为直角三角形斜边的长，h为斜边上的高）.由此可知ab＝ch，在a、b、c、h四个量中，已知其中三个量，就可以求出第四个量.

　　解：

（1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC=12cm，AC=5cm，

　　所以S△ABC＝

AC×BC＝30（cm2）.

（2）因为CD是AB边上的高，所以S△ABC＝

AB×CD，即

×13×CD＝30.解得CD＝

cm.

【例16】如图1所示，你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数吗？

　　【思考与解】我们可以连结EF，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数转化为求四边形BCEF的内角和.如图2所示.

　　因为∠A+∠D+∠AOD=∠OFE+∠EOF+∠OEF=180°，

　　所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠OFE+∠OEF＋∠C+∠B+∠E+∠F＝360°.

　　【例17】如图3，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？

　　【思考与分析】要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长.由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形.同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形.分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形.所以∠P=∠G=∠H=60°.所以三角形GHP也是等边三角形.于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形.于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题.利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长.

　　解：

如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P.

　　因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，

　　所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.

　　所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形.

　　所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm.

　　所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm.

　　所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm.

　　【反思】本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题.

方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一.用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决.

　　方程思想应用非常广泛.我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题.

　　【例18】已知三角形的第一个内角是第二个内角的1.5倍，第三个内角比这两个内角的和大30°，求这三个内角的度数.

　　【思考与分析】题中的已知量是“第一个内角是第二个内角的1.5倍，第三个内角比这两个内角的和大30°”，未知量是这三个角的度数.题中没有给出三角形内角的度数.但第一个内角和第三个内角与第二个内角的度数相关联，所以解这道题的关键是求出第二个内角的度数.要想解决这个问题，不妨设第二个内角的度数为x，利用方程思想来解.

　　根据三角形的内角和为180°，由此我们可以得到这样的等式关系：

第一个内角＋第二个内角＋第三个内角＝180°.当我们用数学语言表示第二个内角为x，第一个内角为1.5x，第三个内角为x+1.5x+30°，利用代换法，将上述的等量关系转化为方程：

x+1.5x＋（x+1.5x+30°）＝180°.通过解这个方程就能使问题得到解决.

　　解：

设这个三角形的第二个内角的度数为x，则第一个内角的度数为1.5x，第三个内角的度数为（x＋1.5x＋30°），列方程可得x+1.5x＋（x+1.5x+30°）＝180°，解得x＝30°.

　　所以三角形的三个内角分别为45°，30°，105°.

　　【例19】如图，已知在三角形ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.

　　【思考与分析】我们欲求∠DBC的度数，因为∠DBC是直角三角形DBC的一个内角，因此问题转化为求∠C的度数，由已知条件知三角形ABC的三个内角关系为∠C=∠ABC=2∠A，又根据三角形内角和定理有等量关系：

∠A+∠ABC+∠C＝180°，从而我们用一个角的度数来表示另外两个角，代入这个等量关系求三个内角的度数，即用方程的方法解决问题.可设∠A＝x，则∠C=∠ABC=2x，代入上述等量关系得方程x＋2x＋2x＝180°，可解得x的值，从而可求得∠DBC的度数.

　　解：

设∠A=x，∠C=∠ABC＝2x，

　　在三角形ABC中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，则∠C＝72°.

　　因为BD是AC边上的高，

　　所以∠BDC＝90°.

　　在直角三角形BDC中，

　　∠DBC＝90°－72°＝18°.