高中数学专题复习培优计划 含答案 第10篇 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx
《高中数学专题复习培优计划 含答案 第10篇 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学专题复习培优计划 含答案 第10篇 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中数学专题复习培优计划含答案第10篇第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理
高中数学专题复习培优计划
姓名：
***
教师：
***
授课时间:
***
课题：
培优计划
第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[最新考纲]
1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
教学反馈
教师评价
本周作业
建议
第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[最新考纲]
1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
知识梳理
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：
分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
辨析感悟
1．两个计数原理的理解
（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．（×）
（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．（√）
（3）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．（√）
（4）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．（×）
2．两个计数原理的应用
（5）（教材习题改编）三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有10种．（√）
（6）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（√）
[感悟·提升]
1．两点区别
一是分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”，如
（1）、
（2）．
二是分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这个步骤的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，分步完成”，如（3）、（4）．
2．两点提醒
一是分类时，标准要明确，应做到不重不漏；可借助几何直观，探索规律，如（5）．
二是分步时，要合理设计顺序、步骤，并注意元素是否可以重复选取，如（6）中2,3可重复但至少各出现一次.
学生用书第172页
考点一 分类加法计数原理
【例1】（星课堂·福建卷改编）满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（ ）．
A．14B．13C．12D．9
解析 由于a，b∈{－1,0,1,2}．
（1）当a＝0时，有x＝－
为实根，则b＝－1,0,1,2有4种可能；
（2）当a≠0时，则方程有实根，
∴Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.（*）
①当a＝－1时，满足（*）式的b＝－1,0,1,2有4种．
②当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能．
③当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．
∴由分类加法计数原理，有序数对（a，b）共有4＋4＋3＋2＝13（个）．
答案 B
规律方法分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．
【训练1】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）．
A．4种B．10种C．18种D．20种
解析 赠送一本画册，3本集邮册，需从4人中选取一人赠送画册，其余送邮册，有C
种方法．
赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人送画册，其余2人送邮册，有C
种方法．
由分类加法计数原理，不同的赠送方法有C
＋C
＝10（种）．
答案 B
考点二 分步乘法计数原理
【例2】将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）．
A．12种B．18种C．24种D．36种
解析 先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A
种不同排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A
·2·1＝12（种）不同的排列方法．
答案 A
规律方法
（1）利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：
完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
（2）分步必须满足两个条件：
一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
【训练2】将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有（ ）．
A．1种B．3种C．6种D．9种
解析 因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色．故有3×2×1＝6种涂色方案．
答案 C
考点三 两个计数原理的综合应用
【例3】（星课堂·济南质检）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________.
1
4
5
2
3
审题路线 由于区域1,2,3与区域4相邻，由条件宜采用分步处理，又相邻区域不同色，因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．
解析 按区域1与3是否同色分类；
（1）区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5（还有3种颜色）有A
种方法．
∴区域1与3涂同色，共有4A
＝24种方法．
（2）区域1与3不同色：
先涂区域1与3有A
种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．
∴这时共有A
×2×1×3＝72种方法，
故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.
答案 96
规律方法
（1）解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．
（2）切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色．
【训练3】如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数（如120,343,275等），那么所有凸数的个数为（ ）．
A．240B．204
C．729D．920
解析 若a2＝2，则“凸数”为120与121，共1×2＝2个．若a2＝3，则“凸数”有2×3＝6个．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12个，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72个．∴所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240（个）．
答案 A
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．
（1）分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．
（2）分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．
2．
（1）切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．
（2）分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
3．若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．
学生用书第173页
创新突破9——与计数原理有关的新定义问题
【典例】（星课堂·湖北卷）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：
11,22,33，…，99.3位回文数有90个：
101,111,121，…，191,202，…，999.（*）
则：
（1）4位回文数有________个；
（2）2n＋1（n∈N*）位回文数有________个．（**）
突破：
由（*）式，理解“特殊”背景——回文数的含义，借助计数原理计算．
结合（**），可从2位回文数，3位回文数，4位回文数探索求解方法，从特殊到一般发现规律．
解析
（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法．
共计9×10＝90（种）填法，即4位回文数有90个．
（2）根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．
由计数原理，共有9×10n种填空．
答案
（1）90
（2）9×10n
[反思感悟]
（1）一题两问，以“回文数”为新背景，考查计数原理，体现了化归思想，将确定回文数的问题转化为“填方格”问题，进而利用分步乘法计数原理解决，将新信息转化为所学的数学知识来解决．
（2）从特殊情形入手，通过分析、归纳，发现问题中隐含的一些本质特征和规律，然后再推广到一般情形，必要时可以多列举一些特殊情形，使规律方法更加明确．
【自主体验】
1．（星课堂·扬州调研）从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________种．
解析 从男生中抽取1人有4种方法．
从女生中抽取两人，有C
＝28种方法．
∴由分步乘法计数原理，共有28×4＝112种方法．
答案 112
2．（星课堂·山东卷改编）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）．
A．243B．252C．261D．648
解析 0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900（个）三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648（个），∴有重复数字的三位数有900－648＝252（个）．
答案 B
对应学生用书P357
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）．
A．180种B．360种C．720种D．960种
解析 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960（种）．
答案 D
2．（星课堂·新课标全国卷）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）．
A．12种B．10种C．9种D．8种
解析 分两步：
第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C
＝2种选派方法；
第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C
＝6种选派方法．
由分步乘法计数原理，不同选派方案共有2×6＝12（种）．
答案 A
3．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（ ）．
A．240种B．360种C．480种D．720种
解析 第一步先排甲，共有A
种不同的排法；第二步再排其他人，共有A
种不同的排法．因此不同的演讲次序共有A
·A
＝480（种）．
答案 C
4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）．
A．3B．4C．6D．8
解析 以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；
以2为首项的等比数列为2,4,8；
以4为首项的等比数列为4,6,9；
把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，
∴所求的数列共有2（2＋1＋1）＝8（个）．
答案 D
5．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对（x，y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是（ ）．
A．9B．14C．15D．21
解析 当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7（个）．
当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y.
∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法．
因此满足条件的点共有7＋7＝14（个）．
答案 B
二、填空题
6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种（用数字作答）．
解析 第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．
第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：
先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．
由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36（种）．
答案 3
7．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32个；
第二类，有两条公共边的三角形共有8个．
由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40（个）．
答案 40
8．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3,4名，大师赛共有________场比赛．
解析 小组赛共有2C
场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛；根据分类加法计数原理共有2C
＋4＝16（场）比赛．
答案 16
三、解答题
9．电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？
解
（1）幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有30×29×20＝17400种．
（2）幸运之星在乙箱中抽取，有20×19×30＝11400种．
共有不同结果17400＋11400＝28800（种）．
10．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1458），若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”．
1
2
×
×
解 渐升数由小到大排列，形如的渐升数共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）．
1
3
4
×
形如的渐升数共有5个．
1
3
5
×
形如
的渐升数共有4个．
故此时共有21＋5＋4＝30（个）．
因此从小到大的渐升数的第30个必为1359.
能力提升题组
（建议用时：
25分钟）
一、选择题
1．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，
要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）．
A．96B．84C．60D．48
解析 可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36种种法；当C与A所种花不同时，有4×3×2×2＝48种种法．
由分类加法计数原理，不同的种法种数为36＋48＝84.
答案 B
2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）．
A．10B．11C．12D．15
解析 若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C
；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C
.
由分类加法计数原理知满足条件的信息个数为1＋C
＋C
＝11.
答案 B
二、填空题
3．如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
解析 四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：
1、4都通，2和3至少有一个通时线路才通共有3种可能．故不通的情况有24－3＝13（种）可能．
答案 13
三、解答题
4．用n种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图所示），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边的）区域不用同一种颜色．
（1）若n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？
（2）若为②着色时共有120种不同的方法，求n.
解
（1）分四步：
第1步涂A有6种不同的方法，第2步涂B有5种不同的方法，第3步涂C有4种不同的方法，第4步涂D有4种不同的方法．
根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种不同的方法．
（2）由题意，得n（n－1）（n－2）（n－3）＝120，注意到n∈N*，可得n＝5.
学生用书第173页
升级会员 