电大高等数学基础考试小抄2.docx
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电大高等数学基础考试小抄2
高等数学基础归类复习
一、单项选择题
1-1下列各函数对中,（C）中的两个函数相等.A.,B.,C.,D.,
1-⒉设函数的定义域为,则函数的图形关于（C）对称.
A.坐标原点B.轴C.轴D设函数的定义域为,则函数的图形关于（D）对称.
AB.轴C.轴D.坐标原点
.函数的图形关于（A）对称.
A坐标原点B轴C轴D
1-⒊下列函数中为奇函数是（B）.
ABCD下列函数中为奇函数是（A）.
ABCD下列函数中为偶函数的是（D）.
ABCD
2-1下列极限存计算不正确的是（D）.ABCD2-2当时,变量（C）是无穷小量.
ABCD当时,变量（C）是无穷小量.ABCD当时,变量（D）是无穷小量.ABCD下列变量中,是无穷小量的为（B）ABCD.
3-1设在点x1处可导,则（D）.
ABCD设在可导,则（D）.
ABCD设在可导,则（D）.
ABCD设,则（A）ABCD3-2.下列等式不成立的是（D）.
A.BCD.
下列等式中正确的是（B）.ABCD.
4-1函数的单调增加区间是（D）.ABCD函数在区间内满足（A）.A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升
.函数在区间（-5,5）内满足（A）
A先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降D单调上升函数在区间内满足（D）.
A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升
5-1若的一个原函数是,则（D）.ABCD.若是的一个原函数,则下列等式成立的是（A）。
AB
CD
5-2若,则（B）.
ABCD下列等式成立的是（D）.ABCD（B）.ABCD（D）ABCD
⒌-3若,则（B）.ABCD补充:
无穷积分收敛的是函数的图形关于y轴对称。
二、填空题
⒈函数的定义域是（3,+∞）.
函数的定义域是（2,3）∪（3,4
函数的定义域是（-5,2）
若函数,则1.
2若函数,在处连续,则e.
.函数在处连续,则2
函数的间断点是x0.
函数的间断点是x3。
函数的间断点是x0
3-⒈曲线在处的切线斜率是1/2.
曲线在处的切线斜率是1/4.
曲线在（0,2）处的切线斜率是1.
.曲线在处的切线斜率是3.
3-2曲线在处的切线方程是y1.切线斜率是0曲线ysinx在点0,0处的切线方程为yx切线斜率是14.函数的单调减少区间是（-∞,0）.
函数的单调增加区间是（0,+∞）.
.函数的单调减少区间是（-∞,-1）.
.函数的单调增加区间是（0,+∞）.
函数的单调减少区间是（0,+∞）.
5-1..
tanx+C.
若,则-9sin3x.
5-23.0.0
下列积分计算正确的是（B）.
ABCD
三、计算题
（一）、计算极限（1小题,11分）
（1）利用极限的四则运算法则,主要是因式分解,消去零因子。
（2）利用连续函数性质:
有定义,则极限
类型1:
利用重要极限,,计算
1-1求.解:
1-2求解:
1-3求解:
类型2:
因式分解并利用重要极限,化简计算。
2-1求.解:
2-2解:
2-3解:
类型3:
因式分解并消去零因子,再计算极限
3-1解:
3-2
3-3解
其他:
（0807考题）计算.解:
（0801考题.）计算.解
（0707考题.）
（二）求函数的导数和微分（1小题,11分）
（1）利用导数的四则运算法则
（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式
类型1:
加减法与乘法混合运算的求导,先加减求导,后乘法求导;括号求导最后计算。
1-1解:
=
1-2解:
1-3设,求.
解:
类型2:
加减法与复合函数混合运算的求导,先加减求导,后复合求导
2-1,求解:
2-2,求解:
2-3,求,解:
类型3:
乘积与复合函数混合运算的求导,先乘积求导,后复合求导
求。
解:
其他:
求。
解:
0807.设,求解:
0801.设,求解:
0707.设,求解:
0701.设,求解:
（三）积分计算:
（2小题,共22分）
凑微分类型1:
计算解:
0707.计算.解:
0701计算.解:
凑微分类型2:
.计算.解:
0807.计算.解:
0801.计算解:
凑微分类型3:
计算解:
.计算解:
定积分计算题,分部积分法
类型1:
计算解:
计算解:
计算解:
08070707类型2（0801考题）
类型3:
四、应用题（1题,16分）
类型1:
圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?
解:
如图所示,圆柱体高与底半径满足
圆柱体的体积公式为求导并令
得,并由此解出.
即当底半径,高时,圆柱体的体积最大.
类型2:
已知体积或容积,求表面积最小时的尺寸。
2-1（0801考题）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器,问容器的底半径与高各为多少时用料最省?
解:
设容器的底半径为,高为,则其容积
表面积为
由得,此时。
由实际问题可知,当底半径与高时可使用料最省。
一体积为V的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小?
解:
本题的解法和结果与2-1完全相同。
生产一种体积为V的无盖圆柱形容器,问容器的底半径与高各为多少时用料最省?
解:
设容器的底半径为,高为,则无盖圆柱形容器表面积为,令,得,
由实际问题可知,当底半径与高时可使用料最省。
2-2欲做一个底为正方形,容积为32立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?
（0707考题）
解:
设底边的边长为,高为,用材料为,由已知,,
表面积,
令,得,此时2
由实际问题可知,是函数的极小值点,所以当,时用料最省。
欲做一个底为正方形,容积为62.5立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?
解:
本题的解法与2-2同,只需把V62.5代入即可。
类型3求求曲线上的点,使其到点的距离最短.
曲线上的点到点的距离平方为
3-1在抛物线上求一点,使其与轴上的点的距离最短.
解:
设所求点P（x,y）,则满足,点P到点A的距离之平方为
令,解得是唯一驻点,易知是函数的极小值点,
当时,或,所以满足条件的有两个点（1,2）和（1,-2）
3-2求曲线上的点,使其到点的距离最短.
解:
曲线上的点到点A（2,0）的距离之平方为
令,得,由此,
即曲线上的点（1,）和（1,）到点A（2,0）的距离最短。
08074求曲线上的点,使其到点A（0,2）的距离最短。
解:
曲线上的点到点A（0,2）的距离公式为与在同一点取到最大值,为计算方便求的最大值点,
令得,并由此解出,
即曲线上的点（）和点（）到点A（0,2）的距离最短
高等数学
（1）学习辅导一
第一章函数
⒈理解函数的概念;掌握函数中符号f的含义;了解函数的两要素;会求函数的定义域及函数值;会判断两个函数是否相等。
两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。
⒉了解函数的主要性质,即单调性、奇偶性、有界性和周期性。
若对任意,有,则称为偶函数,偶函数的图形关于轴对称。
若对任意,有,则称为奇函数,奇函数的图形关于原点对称。
掌握奇偶函数的判别方法。
掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。
⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。
基本初等函数是指以下几种类型:
常数函数:
幂函数:
指数函数:
对数函数:
三角函数:
反三角函数:
⒋了解复合函数、初等函数的概念,会把一个复合函数分解成较简单的函数。
如函数
可以分解,,,。
分解后的函数前三个都是基本初等函数,而第四个函数是常数函数和幂函数的和。
⒌会列简单的应用问题的函数关系式。
例题选解
一、填空题
⒈设,则。
解:
设,则,得
故。
⒉函数的定义域是。
解:
对函数的第一项,要求且,即且;对函数的第二项,要求,即。
取公共部分,得函数定义域为。
⒊函数的定义域为,则的定义域是。
解:
要使有意义,必须使,由此得定义域为。
⒋函数的定义域为。
解:
要使有意义,必须满足且,即成立,解不等式方程组,得出,故得出函数的定义域为。
⒌设,则函数的图形关于对称。
解:
的定义域为,且有
即是偶函数,故图形关于轴对称。
二、单项选择题
⒈下列各对函数中,（）是相同的。
A.;B.;
C.;D.
解:
A中两函数的对应关系不同,,B,D三个选项中的每对函数的定义域都不同,所以AB,D都不是正确的选项;而选项C中的函数定义域相等,且对应关系相同,故选项C正确。
⒉设函数的定义域为,则函数的图形关于（）对称。
A.y=x;B.x轴;C.y轴;D.坐标原点
解:
设,则对任意有
即是奇函数,故图形关于原点对称。
选项D正确。
3.设函数的定义域是全体实数,则函数是（）.
A.单调减函数;B.有界函数;
C.偶函数;D.周期函数
解:
A,B,D三个选项都不一定满足。
设,则对任意有
即是偶函数,故选项C正确。
⒋函数（）A.是奇函数;B.是偶函数;
C.既奇函数又是偶函数;D.是非奇非偶函数。
解:
利用奇偶函数的定义进行验证。
所以B正确。
⒌若函数,则（）A.;B.;
C.;D.。
解:
因为
所以
则,故选项B正确。
第二章极限与连续
⒈知道数列极限的“”定义;了解函数极限的描述性定义。
⒉理解无穷小量的概念;了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系;知道无穷小量的比较。
无穷小量的运算性质主要有:
有限个无穷小量的代数和是无穷小量;
有限个无穷小量的乘积是无穷小量;
无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。
⒊熟练掌握极限的计算方法:
包括极限的四则运算法则,消去极限式中的不定因子,利用无穷小量的运算性质,有理化根式,两个重要极限,函数的连续性等方法。
求极限有几种典型的类型
（1）
（2）
（3）
⒋熟练掌握两个重要极限:
（或）
重要极限的一般形式:
（或）
利用两个重要极限求极限,往往需要作适当的变换,将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式,再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则,如
⒌理解函数连续性的定义;会判断函数在一点的连续性;会求函数的连续区间;了解函数间断点的概念;会对函数的间断点进行分类。
间断点的分类:
已知点是的间断点,
若在点的左、右极限都存在,则称为的第一类间断点;
若在点的左、右极限有一个不存在,则称为的第二类间断点。
⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数,初等函数在其定义域内连续的结论,知道闭区间上连续函数的几个结论。
典型例题解析
一、填空题⒈极限。
解:
注意:
（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）
其中1是第一个重要极限。
⒉函数的间断点是。
解:
由是分段函数,是的分段点,考虑函数在处的连续性。
因为
所以函数在处是间断的,
又在和都是连续的,故函数的间断点是。
⒊⒋⒌⒍设,则。
解:
故
⒎函数的单调增加区间是。
二、单项选择题
⒈函数在点处（）.
A.有定义且有极限;B.无定义但有极限;
C.有定义但无极限;D.无定义且无极限
解:
在点处没有定义,但
（无穷小量有界变量无穷小量）
故选项B正确。
⒉下列函数在指定的变化过程中,（）是无穷小量。
A.;B.;
C.;D.
解:
无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量,所以
而A,C,D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。
三、计算应用题
⒈计算下列极限:
⑴⑵（4）解:
⑴
⑵
⑶题目所给极限式分子的最高次项为
分母的最高次项为,由此得（4）当时,分子、分母的极限均为0,所以不能用极限的除法法则。
求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。
2.设函数
问
（1）为何值时,在处有极限存在?
（2）为何值时,在处连续?
解:
（1）要在处有极限存在,即要成立。
因为
所以,当时,有成立,即时,函数在处有极限存在,又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关,所以此时可以取任意值。
（2）依函数连续的定义知,函数在某点处连续的充要条件是于是有,即时函数在处连续。
第三章导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点:
⒈理解导数的概念;了解导数的几何意义;会求曲线的切线和法线;会用定义计算简单函数的导数;知道可导与连续的关系。
在点处可导是指极限
存在,且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限函数在点处的导数的几何意义是曲线上点处切线的斜率。
曲线在点处的切线方程为
函数在点可导,则在点连续。
反之则不然,函数在点连续,在点不一定可导。
⒉了解微分的概念;知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式,熟练掌握下列求导方法
（1）导数的四则运算法则
（2）复合函数求导法则
（3）隐函数求导方法
（4）对数求导方法
（5）参数表示的函数的求导法
正确的采用求导方法有助于我们的导数计算,如
一般当函数表达式中有乘除关系或根式时,求导时采用取对数求导法,
例如函数,求。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的,但是计算时会麻烦一些,而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形,即
再用导数的加法法则计算其导数,于是有这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数,求。
显然直接求导比较麻烦,可采用取对数求导法,将上式两端取对数得
两端求导得
整理后便可得
若函数由参数方程
的形式给出,则有导数公式
能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数,能够利用隐函数求导法,取对数求导法,参数表示的函数的求函数的导数。
⒋熟练掌握微分运算法则
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
一阶微分形式的不变性
微分的计算可以归结为导数的计算,但要注意它们之间的不同之处,即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。
⒍了解高阶导数的概念;会求显函数的二阶导数。
函数的高阶高数即为函数的导数的导数。
由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。
要求函数的阶导数就要先求函数的阶导数。
第三章导数与微分典型例题选解
一、填空题
⒈设函数在邻近有定义,且,则。
解:
故应填1。
⒉曲线在点（1,1）处切线的斜率是。
解:
由导数的几何意义知,曲线在处切线的斜率是,即为函数在该点处的导数,于是
故应填。
⒊设,则。
解:
故
故应填
二、单项选择题
⒈设函数,则（）。
A.;B.2;C.4;D不存在
解:
因为,且,
所以,即C正确。
⒉设,则（）。
A.;B.;C.;D解:
先要求出,再求。
因为,由此得,所以
即选项D正确。
3.设函数,则（）.
A.0;B.1;
C.2;D解:
因为,其中的三项当时为0,所以
故选项C正确。
4.曲线在点（）处的切线斜率等于0。
A.;B.;C.;D.
解:
令得。
而,故选项C正确。
5.,则（）。
A.;B.;C.;D.
解:
故选项C正确。
三、计算应用题
⒈设,求
解:
⑴由导数四则运算法则和复合函数求导法则
由此得
⒉设,其中为可微函数,求。
解
求复合函数的导数时,要先搞清函数的复合构成,即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的,特别要分清复合函数的复合层次,然后由外层开始,逐层使用复合函数求导公式,一层一层求导,关键是不要遗漏,最后化简。
3.设函数由方程确定,求。
解:
方法一:
等式两端对求导得
整理得
方法二:
由一阶微分形式不变性和微分法则,原式两端求微分得
左端
右端
由此得
整理得
4.设函数由参数方程
确定,求。
解:
由参数求导法
5.设,求。
解
第四章导数的应用典型例题
一、填空题
1.函数的单调增加区间是.
解:
当时.故函数的单调增加区间是.
2.极限.
解:
由洛必达法则
3.函数的极小值点为。
解:
令,解得驻点,又时,;时,,所以是函数的极小值点。
二、单选题
1.函数在区间上是（）
A）单调增加B）单调减少
C）先单调增加再单调减少D）先单调减少再单调增加
解:
选择D
当时,;当时,;所以在区间上函数先单调减少再单调增加。
2.若函数满足条件（）,则在内至少存在一点,使得
成立。
A）在内连续;B）在内可导;C）在内连续,在内可导;D）在内连续,在内可导。
解:
选择D。
由拉格朗日定理条件,函数在内连续,在内可导,所以选择D正确。
3.满足方程的点是函数的（）。
A）极值点B）拐点
C）驻点D）间断点
解:
选择C。
依驻点定义,函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。
4.设函数在内连续,,且,则函数在处（）。
A）取得极大值B）取得极小值
C）一定有拐点D）可能有极值,也可能有拐点
解:
选择D
函数的一阶导数为零,说明可能是函数的极值点;函数的二阶导数为零,说明可能是函数的拐点,所以选择D。
三、解答题1.计算题
求函数的单调区间。
解:
函数的定义区间为,由于
令,解得,这样可以将定义区间分成和两个区间来讨论。
当时,;当是,。
由此得出,函数在内单调递减,在内单调增加。
2.应用题
欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体开口容器,怎样做法所用材料最省?
解:
设底边边长为,高为,所用材料为
且
令得,
且因为,所以为最小值.此时。
于是以6米为底边长,3米为高做长方体容器用料最省。
3.证明题:
当时,证明不等式
证设函数,因为在上连续可导,所以在上满足拉格朗日中值定理条件,有公式可得
其中,即
又由于,有
故有
两边同时取以为底的指数,有
即所以当时,有不等式成立.
第5章学习辅导
（2）
典型例题解析
一、填空题
⒈曲线在任意一点处的切线斜率为,且曲线过点,则曲线方程为。
解:
即曲线方程为。
将点代入得,所求曲线方程为
⒉已知函数的一个原函数是,则。
解:
⒊已知是的一个原函数,那么。
解:
用凑微分法
二、单项选择题
⒈设,则（）。
A.;B.;
C.;D解:
因
故选项A正确.
⒉设是的一个原函数,则等式（）成立。
A.;B.;
C.;D.
解:
正确的等式关系是
故选项D正确.⒊设是的一个原函数,则（）。
A.;B.;
C.;D解:
由复合函数求导法则得
故选项C正确.
三、计算题
⒈计算下列积分:
⑴⑵
解:
⑴利用第一换元法
⑵利用第二换元法,设,
⒉计算下列积分:
⑴⑵
解:
⑴利用分部积分法⑵利用分部积分法
高等数学
（1）第六章学习辅导综合练习题
（一）单项选择题
（1）.下列式子中,正确的是（）。
AB
CD2下列式子中,正确的是（）AB
CD
3下列广义积分收敛的是（）。
ABCD若是上的连续偶函数,则。
AB.0
C.D.
若与是上的两条光滑曲线,则由这两条曲线及直线所围图形的面积.
ABCD答案:
（1）A;
（2）D;（3）D;（4）C;（5）A。
解:
（1）根据定积分定义及性质可知A正确。
而B不正确。
在（0,1）区间内C不正确。
根据定积分定义可知,定积分值与函数及定积分的上、下限有关,而与积分变量的选取无关。
故D不正确。
2由变上限的定积分的概念知∴A、C不正确。
由定积分定义知B不正确。
D正确。
3∴A不正确。
∴B。
不正确。
∴C。
不正确。
D
D正确
（4）由课本344页（6?
4?
2）和345页（6?
4?
3）知C。
正确。
（5）所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数∴A正确。
（二）填空题
1
23在区间上,曲线和轴所围图形的面积为______________。
45a>0p>0
答案:
解:
（1）
（2）
所围图形的面积S
由定积分的几何意义知:
定积分的值等于
y所围图形的面积∴
p≤1时无穷积分发散。
（三）计算下列定积分
1）
2）
（3）
（4）（5）
答案:
1）
2）
（3）（4）
5
（四）定积分应用
求由曲线,及直线所围平面图形的面积
解:
画草图求交点由yx,xy1得x1.y12y2yx0xy1
第七章综合练习题
（一）单项选择题
1、若（）成立,则级数发散,其中表示此级数的部分和。
A、;B、单调上升;
C、D、不存在
2、当条件（）成立时,级数一定发散。
A、发散且收敛;B、发散;
C、发散;D、和都发散。
3、若正项级数收敛,则（）收敛。
A、B、
C、D、
4、若两个正项级数、满足,则结论（）,是正确的。
A、发散则发散;B、收敛则收敛;
C、发散则收敛;D、收敛则发散。
5、若fx,则。
A、B、CD、
答案:
1、D2、A3、B4、A5、C
（二）填空题
当_________时,几何级数收敛。
级数是___________级数。
若级数收敛,则级数_____________。
指数函数fx展成x的幂级数为__________________。
若幂级数的收敛区间为（?
9,9）,则幂级数的收敛区间为
___________。
答案:
1、12、发散3、收敛4、5、C0,6
（三）计算题
判断下列级数的收敛性
⑴⑵⑶
解:
⑴此正项级数的通项满足n2,3,…由于收敛,则由比较判别法可知收敛。
⑵1则由比值判别法可知发散。
⑶由于是交错级数,且
及,由莱布尼兹判别法知级数收敛。
求下列幂级数的收敛半径
⑴⑵解:
⑴因此收敛半径R1,⑵令得幂级数
可知的收敛半径为4,所以原幂级数的收敛半径
第八章综合练习题及参考答案
（一）单项选择题
1、下列阶数最高的微分方程是（）。
A、;B、;
C、D、
2、下列一阶微分方程中为可分离变量的微分方程是（）。
A、;B、
C、D、
3、微分方程的通解为（）。
A、B、
C、D、
4、微分方程的通解为（）。
A、;B、
C、;D、
5、微分方程的特解应设为（）。
A、B、CD、
答案:
1、A2、C3、C4、B5、D
（二）填空题
一阶线性微分方程的通解公式为_________。
二阶线性微分方程的特征根为_________。
二阶线性微分方程的通解中含有____________独立的
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