版二面角求法与经典题型归纳.docx

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版二面角求法与经典题型归纳

立体几何二面角求法

一：

知识准备

1、二面角的概念：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面•

2、二面角的平面角的概念：

平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：

[0°，180°]

4、三垂线定理：

平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直

5、平面的法向量：

直线L垂直平面a,取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面a的法向量。

（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）

6、二面角做法：

做二面角的平面角主要有3种方法：

（1）、定义法：

在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2条射线，这2条所夹的

角；

（2）、垂面法：

做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2

条交线所成的角；

（3）、三垂线法：

过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C,连接AC,则/ACB即为该二面角的平面角。

7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？

二：

二面角的基本求法及练习

1、定义法:

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这

两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S—AM

—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）;在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF）,这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1•在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求

（1）二面角A-B1C-A的大小;

（2）平面A1DC1与平面ADDjA所成角的正切值。

例2:

如图1，设正方形ABCD-AiBiCiD!

中，E为CCi中点，求截面AiBD和

EBD所成二面角的度数。

练习：

过正方形ABCD的顶点A作PAA平面ABCD，设PA=AB=a，求二面角

B-PC-D的大小。

2、三垂线法

三垂线定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直•通常当点P在一个半平面上

则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。

如（例2）过二面

角B-FC1-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FCiC的垂线，得垂足0;再过该垂足0作棱FCi的垂线，得垂足P，连结起

点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线B0、射影0P）。

再解直角三角形求二面角的度数。

十=十=i

例i•平面ABCDa平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形且AF=—AD=a，G是2

EF的中点，

（i）求证：

平面AGCa平面BGC;

（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值;

（3）求二面角B-AC-G的大小。

例2.点P在平面ABC夕卜，VABC是等腰直角三角形，？

ABC90，VPAB是正三角

形，PAABC。

（1）求证：

平面P/Ba平面ABC;

（2）求二面角P-AC-B的大小。

P

例3.如图3，设三棱锥V-ABC中，VA丄底面ABC,AB丄BC,DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB,VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。

练习：

正方体ABCD—AiBiCiDi的棱长为1,P是AD的中点，求二面角A-BD,-P的

大小。

B1

B

3.无棱二面角的处理方法

（1）补棱法

本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面

的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决

例1.过正方形ABCD的顶点A作PAA平面ABCD，设PA=AB=a,

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。

例2•如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/BCD=60°,E是CD的中点，PA丄底面ABCD,PA=2.

（I）证明：

平面PBE丄平面PAB;

（H）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

例3.如图10,设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为a,D为CCi中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。

例4、正三角形ABC的边长为10,A€平面a,B、C在平面a的同侧，且与a的距离分别是4和2，求平面ABC与a所成的角的正弦值。

s射影

（2）射影面积法（cosq=）

S

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积

S射

的都可利用射影面积公式（cos射）求出二面角的大小。

S斜

EB1C和平面ABCD所成

例1:

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面的二面角。

例2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P是棱AA,的中点，求平面PB1C1与平面ABCD

所成二面角的大小

例3如图12，设正方体ABCD-AiBiCiDi中，M为AAi上点，AiM:

MA=3:

1,求截面BiDiM

与底面ABCD所成二面角。

例4•如图，在三棱锥PABC中，ACBC2,ACB90°,APBPAB,

PCAC•（i）求证：

PCAB；（n）求二面角BAPC的大小；

4、垂面法：

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。

例如：

过二面角内一点A作AB丄a于B，作AC丄B于C,面ABC交棱a于点O,则/BOC就是二面角的平面角。

例i•SAA平面ABC,ABABC,SA=AB=BC,

（i）求证：

SBABC；

（2）求二面角C-SA-B的大小;

（3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。

例2、如图6，设正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F分别是AB、CiDi的中点

（1）求证：

Ai、E、C、F四点共面；

（2）求二面角Ai-EC-D的大小。

且AB=PA,求平面PAB

例3、如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直,

与平面PCD所成的二面角的大小。

5、向量法

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题

都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的

坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题.对于空间向量

有cosva,b>=

•禾U用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的

|a||b|

问题.

例1.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD丄

底面ABCD.求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值.

证明：

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，依题意

又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角为锐角，所以其余弦值是

21

例2.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，/ACB=90,AC=1,CB=•、.2，侧棱AA1=1,

例3如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD,PD=DC,

E是PC的中点，作EF丄PB交PB于点F.求二面角C—PB—D的大小

得AB=（0,1,0），是面VAD的法向量,

三、几点说明：

1、定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在

另一个面内作棱的垂线。

此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选

的方法。

2、三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。

此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。

3、垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。

4、以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。

5、射影法是在不易作出平面角时用。

在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式，这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。