D.g-l
1过M点有且只有一条直线与直线AB、
2过M点有且只有一条直线与直线AB、
3过M点有且只有一个平面与直线AB、
4过M点有且只有一个平面与直线AB、
BC都相交；
4G都垂直；
4G都相交；
4G都平行.其中真命题是（）
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
8.过点F（4,2）作圆/+y2=4的两条切线，切点分别为A,B,。
为坐标原点，则的外接圆方程是（）
A.（x—2）2+0—1尸=5B.3—4）2+3—2）2=20
C.（x+2）2+3+1）2=5D.3+4）2+3+2）2=20
9.已知二次函数f（x）=ax1+bx+l的导函数为/"'（x）,且/（0）>0,f（x）的图象与x
轴恰有一个交点，则四^的最小值为（）
/（0）
35
A.3B.2C.2D.2
22
10.设鸟，凡分别为双曲线C：
二―%=10>0，>0）的左、右焦点，A为双曲线
ab~
的左顶点，以再§为直径的圆交双曲线某条渐近线于肱、N两点，且满足:
AMAN=120°,则该双曲线的离心率为（
7
C.—
3
D.罗
二、
11.
12.
选做题：
请在下列两题中任选一题作答。
若两题都做，则按第一题评阅计分。
本题共5分.
（1）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：
q=2右cos。
，直线的极坐标方程为:
2QCOS0=.则它们相交所得弦长等于.
（2）（不等式选做题）已知函^f（x）=\x-2\-\x~5\，则不等式/（x）^x2-8x+15的
解集为.
填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
1-i
复数z=厂（i为复数的虚数单位）的模等于
——+—Z
22
13.掷均匀硬币5次，则总共掷出3次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小
于正面次数的概率是・
14.语句：
S=0
i=l
Do
S=S+i
i=i+2
LoopwhileSW200
n=i-2
Outputn则正整数n=.
15.在平面直角坐标系中，设点P（x,y）,定义［OF］Wx|+|y|,其中0为坐标原点，对于以下结论:
1符合［0P］二1的点P的轨迹围成的图形的面眠为2；
2设P为直线—2=0上任意一点，则［0P］的最小值为1；
3设P为直线y=kx+b（k,beR）上的任意一点，则“使［0P］最小的点P有无数个”
的必要不充分条件是“#=±1”.
其中正确的结.论有（填上你认为正确的所有结论的序号）.
三、解答题-：
本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）已知AABC的面积S满足且A3•BC=6,AB与的夹角为。
.
1-a/2cos（26»-^）
（1）求e的范围.；⑵求函数f（o）=的最大值.
sin。
17.（本小题满分12分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为!
，中奖后商场返还顾客现金1000元.顾客甲购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为g（元）.
（1）求g的分布列；
（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算.
18.（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,当E、F分别在线段AD、BC±,且EFLBC,AD=4,CB=6,AE=2.现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直.
（1）,判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；
（2）当直线AC与面EFCD所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E的大小是60°?
19.（本小题满分12分）已知数列｛%｝的前n项和S,满足：
S,,=a（S〃一％+1）（正常数a尹1）,c产二一二'«»+1a.a-1
（1）求｛%｝的通项公式；
（2）设bn=a^+Sn-an,若数列｛bn｝为等比数列，求a的值;
（3）在满足条件
（2）的情形下，c"=,数列｛c"｝的前n项和为
。
〃+1一1
求证：
Tn>2n-~
2
20.（本小题满分13分）已知抛物线C1：
y2=4x的焦点与椭圆G:
已+匕=1的右焦点住
9b2
重合，Fi是椭圆的左焦点.
（1）在△ABC中，若A（-4,0）,B（0,-3），点C在抛物线y’=4x上运动，求AABC重心G的轨迹方程；
（2）若P是抛物线G与椭圆G的一个公共点，且/PFR=a,ZPF『=们求cosa-cosjB的值及APF,F2的面积.
21.（本小题满分14分）已知函数/（%）=2a2In%-%2数a>0）.
（1）当0=1时，求曲线y=/（X）在X=1处的切线方程；
（2）讨论函数y（x）在区间（Le?
）上零点的个数（e为自然对数的底数）.
答案
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合M={0,l,2,3,4,5},N={0,2,3},则疆N=（D）
A.{0,2,3}B.（0,1,4）C.{1,2,3}D.（1,4,5）
2.若函数/（x）=>则该函数在（-co,+co）上是（A）
A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值
3.已知函数/（x）=cosffi!
r（xeR,«>0）的最小正周期为兀,为了得到函数g（x）=
sin（«x+j）的图象，只要将y=y（x）的图象（B）
jrjr
A.向左平移一个单位长度B.向右平移一个单位长度
88
TTTT
C.向左平移一个单位长度D.向右平移一个单位长度
44
4.设OvqvDvI,则下列不等式成立的是（D）
A.匚B.—V—C.q">1D.IgfZ?
—ci\ab
5.“数列%=阿为递增数列”的一个充分不必要条件是（D）
11
A.ivO,qvlB.a>O,q>—C.a>0,q>0D.a6.已知函数y=tans:
在（一号,；）内是减函数，则（B）
A.0<6yWlB.—1<刃<0C.D.（oW—1
7.M是正方体ABCD-\BXCXD{的棱的中点，给出下列命题:
1过M点有且只有一条直线与直线AB、都相交;
2过M点有且只有一条直线与直线A3、句。
］都垂直；
3过M点有且只有一个平面与直线AB、3|G都相交；
4过M点有且只有一个平面与直线AB、Be都平行.其中真命题是（C）
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
8.过点P（4,2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A,B,。
为坐标原点，则△048的外接圆方程是（A）
A.（了一2）2+3—1尸=5B.（%-4）2+（y-2）2=20
C.（x+2）2+（y+1）2=5D.（x+4）2+（y+2）2=20
9.已知二次函.数/"（x）=欲2+弘+1的导函数为f（x）,且y'（0）>0,f（x）的图象与X
轴恰有一个交点，则四^的最小值为（C）
/（0）
35
A.3B.2C.2D.2
22
10.设R,E分别为双曲线C：
~-~r=l（a>Q,b>0）的左、右焦点，A为双曲线ab
的左顶点，以F&为直径的圆交双曲线某条渐近线于肱、N两点，且满足:
AMAN=120°,则该双曲线的离心率为（A）
A.巨
3
B.匝
3
7C.—
3
二、选做题：
请在下列两题中任选一题作答。
若两题都做，则按第一题评阅计分。
本题共5分.
11.
（1）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：
q=2右cos。
，直线的极坐标方程为:
2qcos9=J^.则它们相交所得弦长等于.
（2）（不等式选做题）已知函^/（r）=|r-2|-|r-5|,则不等式/（x）>r2-8r+15的
解集为｛x|5—南.
［一3,E2,
4力=|x-2|-|x-5|=」2r-7,2〔3,r>5.
㈤当xW2时，Xx）>x2-8x+15的解翼为空集；
当2VY5时，式x）云W-8x+15俄混集为｛x|5—媚长Y5｝；
当了五5时，Xr）>r2-8r+15的解集为（郴买K好.
综上，不等式f（x）—8jH~15的解集为tx|5—
三、本大题归，J'S,每4是沪共2研.
12.复数z=土-？
（1为复数的虚数单位）的模等于72.
~~一
——+—I
22
13.掷均匀硬币5次，则总共掷出3次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小
于正面次数的概率是-.5_
14.语句：
S=0i=lDo
S=S+i
i=i+2
LoopwhileSW200
n=i—2
Outputn则正整数n=29.
15.在平面直角坐标系中，设点P（x,y）,定义［OP］-U|+|y|,其中0为坐标原点，对于以下结论:
1符合［OP］=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
2设P为直线y/5x+2y-2=0上任意一点，贝U1OP］的最小值为1；
3设P为直线y=kx+b（k,beR）±.的任意一点，则"使［0P］最小的点P有无数个"的必要不充分条件是“#=±1”.
其中正确的结.论有①③（填上你认为正确的所有结论的序号）.
三、解答题:
本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）已知AABC的面积S满足J^WSW3,且A3•BC=6,AB与3C的夹角为。
.
1—J^cos（2。
一生）
⑴求。
的范围；⑵求函，数了（。
）=的最大值.
sin。
ABBC=\aB^Bc\cos3=6
解：
（1）]
•.•妇5十。
S=小3.叫sinS_0）
.•.S=3tan6»又右3
（2）了伊）=2扼疝0—十在号,十上递增，.•.f（Q）inax=f（W）=0.
17.（本小题满分12分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为!
，中奖后商场返还顾客现金1000元.顾客甲购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为g（元）.
（1）求g的分布列；
（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算.
解：
（1）g的所有可能取值为2450,1450,450,—550,
P（g=2450）=
P（g=1450）=
P（&=450）=C；（!
）2
P（S=-550）=
g分布列为
（2）=2450x—+1450x—+450x—+（-550）x—
、125125125125
•••（9分）
=1850（元））
设小李不出资50元增加1张奖券，消费的实际支出为&（元）
则P（&=2400）=（£）2=兴,=1400）=Rx?
x£=亲
P（§=400）=C；（；）2=]
E&=2400x—+1400x—+400x—=2000（元）252525
...E检E&,故小王出资50元增加1张奖券划算.-（12分）
18.（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,当E、F分别在线段AD、BC上，且EFLBC,AD=4,CB=6,AE=2.现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直.
（1）,判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；
（2）当直线AC与面EFCD所成角的正切值为多少时，二面角A-DC-E的大小是60°?
解：
（1）AD,是异面直线，
（反证法）假设A。
、共面为a.
EF_LBC,ZABC=90°,EFAB,EF
EFa,又,EFCDa—CD:
.EF\CD,:
.CDAB.
这与ABCQ为梯形矛盾.故假设不成立.即AD.BC是异面直线.分
（2）延长CD,FE相交于也由已知..ED=2,CF=4,设=则中，NE=x,
AELEF,平面ABFEA.平面EFCQ,
AE±平面EFCQ.过E作EHLDN于H,连结骚，则AHLDN.:
.ZAHE是二面角A-DC-E的平面角,
则ZAHE=60°.
NE=x,DE=2,:
.HE=
2,
.•.tanZAHE=^=^±i=A・*=2,1=也,
此时在中，EF=0FC=4,:
.EC=3&又平面EFCQ,
..ZACE是直线AC与平面EFCD所成的角,
•■•tanZAC£=H=^=f
即当直线AC与平面EFCD所成角的正切值为—时，二面角A-DE-E的
3
大小为60。
。
（本小题满分12分）已知数列｛%｝的前n项和&满足:
S“=a（S“一％+1）（正常数a尹1）,乌=七
4+1fl„+i'
（1）
求｛弓｝的通项公式;
（2）
设bn=a；t+Sn-an,若数列｛如｝为等比数列，求。
的值;
（3）
在满足条件
（2）的情形下，c„=
刃+1a„+\
1一，数列｛c,J的前n项和为—1
求证：
T>2n--
"2
解：
（1）Si=Q（S]—。
1+1）,.•.%=O,
当心2时，=ct{Sn—an+1）
=a（S"_]—%+1）
两式相减得：
4=0，艮叽％｝是等比数列.
an=a-a!
'~x=a":
.“4分
x,j,孔、2a（an-1）nj（2a-l）a2n-aan
（2）由
（1）知，bn=（an）2+—an,bn=-
ci—1ci—1
若也｝为等比数列，则有妒=姑3，
而b、=2a2,b2=a3（2a+1）,Z?
3=a4（2a2+tz+1）6分
故口3（2。
+1）『=2a2-a\2a+V）,
解得a=~,
2再将。
：
代入得如=G）"成立,
（3）证明：
由
（2）知如=
所以a=—
2
所以G=—"（-r+i
2n
〃+i_]
2"+1*
2〃+i
C11八
.=2110分
2〃+i_i2〃+12〃+1-1
所以>2—土+A
Tn=cr+c2++cn
Zo11、-11、-11、
>（2——+—）+（2H—）+,,,+（21）
22222232n2"i
c11-1八
=2n1>2n12分
22*2
22
19.（本小题满分13分）已知抛物线C1：
y2=4x的一焦点与椭圆G:
—+^=1的右焦点&
9b2
重合，Fi是椭圆的左焦点.
（1）在AABC中，若A（-4,0）,B（0,-3）,点C在抛物线y2=4x±运动，求AABC重心G的轨迹方程；
（2）若P是抛物线G与椭圆C2的一个公共点，且ZPFiF2=a,ZPF2Fi=/3,求cosa-cosjB
的值及APFiF2的面积.
'4+0
x=
<,尤'=3工+4
解：
（1）设重心G（x,y）,贝J>=7+0-3整理得、，=3y+3（*）将（*）式代入
4444
j=4x中,得（y+i）2=a（》+a）.•.即c重心g的轨迹方程为（y+i）2=a（x+a）.・“6分
（2）...椭圆与抛物线有共同的焦点，由y2=4x得F2（l,0）,22
.••护=8,椭圆方程为.亏+百-1.设P（xw）[22
如+%=123
由<98得2对+9邑-18=0,.侦=5,xi=-6（舍）.是y'=4x的准线，即抛物线的准线过
7i2=4也
椭圆的另一个焦点R.
设点P到抛物线y=4x的准线的距离为PN,则|PF?
|=|PN|.3,5
又IPN|=xi+l=2+1-2'57
.•』兽|=§,网|=2a-1所2I".
5_j_1
过点P作PP1±X轴，垂足为Pl,在RtAPPiFi中，cosa=7在RtZ\PPR中，cos（Ji）=；,cosB=一；，.'.cosacosB=7。
•.•xi",/.IPPi1*,
:
.SaP#2=-\FlF2\-\PlP2\=^6...］3分
20.（本小题满分14分）己知函数/（%）=2a2In%-%2数a>0）.
（1）当0=1时，求曲线y=/（X）在X=1处的切线方程；
（2）讨论函数/Xx）在区间（l,e2）±零点的个数（e为自然对数的底数）.
2
解：
（1）当0=1时，/（x）-21nx-x2,.-./,（x）=——2x.f'⑴=0.-3分
又/*
（1）=—1,.・・曲线y=y*3）在点工=1处的切线方程为y+l=0.・・・4分
⑶/（%）=2a2lnx-x2,所以，⑴=垃-2x=?
疽一2户=-火-。
）（》+。
）.
XXX
因为x〉0,。
>0,于是当0vxv"时，f\x）>0,当x>a时，f'（x）v0.
所以在（。
。
］上是增函数，在［。
心）上是减函数.・・・7分
所以/⑴max=f（a）=a2（2］na-Y）.,・・8分
讨论函数/（%）的零点情况如下.
1疽（2111。
—1）<0,即02当a2（21na-l）=0,即a=插时，函数f（x）在（0,+co）内有唯一零点a,而1<。
=&<决，.，.f（x）在Ge?
）内有一个零点；……10分
3当a2（21na-l）>0,即a>4e时，
由于/■⑴=-1<0,/（a）-a2（21na-l）>0/（e2）-4a2-e4-（2a-e2）（2a+e2）,
—2
当—凌v0时，即v。
v—时，
2
l<4e）内有唯一零点西、在（。
凌）内有唯一零点易满足，在。
决）内有两个零点；・・・11分
当2a-e2>0时，即a>^->4e时，f（e2）>0,而^f（4e）=2a^--e=a2-e>Q,f（l）=-l<0
由单调性可知，无论">决还是"<决，y⑴在（1,有）内有唯一的一个零点，在［有,决）内没有零点,从而/'⑴在。
活）内只有一个零点；…皿分
（注：
这一类的讨论中，若没有类似"f（JZ）>0来说明唯一零点在（1,JZ）内”的这一步，则扣去这2
2
分）综上所述，有：
当07.M是正方体ABCD-\BXCXDX的棱的中点，给出下列命题:
lel2
点；当4e:
）有两个零点.
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