等差数列的前n项和性质_精品文档.ppt

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【思考思考】等差数列前等差数列前nn项和的有关计算项和的有关计算1.1.等差数列前等差数列前nn项和的应用项和的应用（11）等差数列前）等差数列前nn项和公式，共涉及到五个量项和公式，共涉及到五个量aa11、nn、dd、aann、SSnn.若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的“知知三求二三求二”，其方法一般是通过通项公式和前，其方法一般是通过通项公式和前nn项和公式联立方程项和公式联立方程（组）求解（组）求解.（22）在利用等差数列前）在利用等差数列前nn项和公式解题时，常常要联系该公式项和公式解题时，常常要联系该公式的变形形式：

的变形形式：

SSnn=或或SSnn=An=An22+Bn.+Bn.【名师指津名师指津】2.2.依据等差数列的性质得到的结论依据等差数列的性质得到的结论.（11）当）当nn为奇数时，为奇数时，SSnn=（22）=a=a11+（n-1n-1）【特别提醒特别提醒】注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.【例例11】已知等差数列已知等差数列aann.

（1）a

（1）a11=a=a1515=S=Snn=-5,=-5,求求nn和和d;

（2）ad;

（2）a11=4,S=4,S88=172,=172,求求aa88和和d.d.【审题指导审题指导】根据等差数列前根据等差数列前nn项和公式解方程项和公式解方程.【规范解答规范解答】（11）aa1515=+（15-1）d=+（15-1）d=d=d=又又SSnn=na=na11+d=-5,d=-5,解得解得n=15,n=-4n=15,n=-4（舍）（舍）.（22）由已知，得）由已知，得SS88=解得解得aa88=39,=39,又又aa88=4+（8-1）d=39,d=5.=4+（8-1）d=39,d=5.等差数列前等差数列前nn项和的性质项和的性质等差数列前等差数列前nn项和的性质项和的性质.

（1）

（1）项数（下标）的项数（下标）的“等和等和”性质：

性质：

（2）

（2）项的个数的项的个数的“奇偶奇偶”性质：

性质：

等差数列等差数列aann中，公差为中，公差为dd：

若共有若共有2n2n项，则项，则SS2n2n=n=n（aann+a+an+1n+1）；）；SS偶偶-S-S奇奇=nd=nd；SS偶偶SS奇奇=a=an+1n+1aann；若共有若共有2n+12n+1项，则项，则SS2n+12n+1=（2n+12n+1）aan+1n+1；SS偶偶-S-S奇奇=-a=-an+1n+1；SS偶偶SS奇奇=n=n（n+1n+1）；）；“片段和片段和”性质：

性质：

等差数列等差数列aann中，公差为中，公差为dd，前，前kk项的和为项的和为SSkk，则，则SSkk，SS2k2k-S-Skk，SS3k3k-S-S2k2k，SSmkmk-S-S（m-1m-1）kk,构成公差为构成公差为kk22dd的等差数列的等差数列.【例例22】SSnn是等差数列是等差数列aann的前的前nn项和，且项和，且SS1010=100=100，SS100100=10=10，求求SS110110.【规范解答规范解答】方法一方法一:

设等差数列设等差数列aann的公差为的公差为d,d,前前nn项和项和为为SSnn,则则SSnn=na=na11+由已知得由已知得10-,10-,整理得整理得d=d=代入代入,得得aa11=SS110110=110a=110a11+=-110.+=-110.故此数列的前故此数列的前110110项之和为项之和为-110.-110.方法二方法二:

数列数列SS1010,S,S2020-S-S1010,S,S3030-S-S2020,S,S100100-S-S9090,S,S110110-S-S100100成等差成等差数列数列,设其公差为设其公差为D,D,前前1010项和为项和为10S10S1010+D=SD=S100100=10=10D=-22,SD=-22,S110110-S-S100100=S=S1010+（11-1）D+（11-1）D=100+10=100+10（-22）=-120.（-22）=-120.SS110110=-120+S=-120+S100100=-110.=-110.【例例】已知等差数列已知等差数列aann的前的前44项和为项和为2525，后，后44项和为项和为6363，前前nn项和为项和为286286，求项数，求项数n.n.【审题指导审题指导】题目给出前题目给出前44项和与后项和与后44项和，可利用等差数项和，可利用等差数列项数（下标）的列项数（下标）的“等和等和”性质：

性质：

SSnn=来求得来求得.【规范解答规范解答】因为因为aa11+a+a22+a+a33+a+a44=25=25，aan-3n-3+a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+ann=63.=63.而而aa11+a+ann=a=a22+a+an-1n-1=a=a33+a+an-2n-2=a=a44+a+an-3n-3，所以，所以44（aa11+a+ann）=88=88，所以，所以aa11+a+ann=22=22，所以所以SSnn=11n=286=11n=286，所以，所以n=26.n=26.故所求的项数为故所求的项数为26.26.【典例典例】（1212分）在等差数列分）在等差数列aann中，中，aa11=25=25，SS1717=S=S99，求，求SSnn的最大值的最大值.【审题指导审题指导】题目给出首项和题目给出首项和SS1717=S=S99等条件，欲求等条件，欲求SSnn的最大的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式aann求求nn使得使得aann0,a0,an+1n+100或利用性质求出大于或等于零的项或利用性质求出大于或等于零的项.【规范解答规范解答】方法一：

设公差为方法一：

设公差为d,d,由由SS1717=S=S99得得252517+=2517+=2533分分解得解得d=-2d=-2，66分分SSnn=25n+=25n+（-2-2）=-=-（n-13n-13）22+169+169，99分分由二次函数性质得，当由二次函数性质得，当n=13n=13时，时，SSnn有最大值有最大值169.169.1212分分方法二：

先求出公差方法二：

先求出公差d=-2d=-2（同方法一），（同方法一），66分分aa11=25=250,0,故故aann为递减数列，由为递减数列，由得得解得解得99分分即即又又nNnN*当当n=13n=13时，时，SSnn有最大值有最大值SS1313=13=1325+25+（-2-2）=169.=169.1212分分方法三：

先求出公差方法三：

先求出公差d=-2d=-2（同方法一），（同方法一），66分分由由SS1717=S=S99，得，得aa1010+a+a1111+a+a1717=0=0，而而aa1010+a+a1717=a=a1111+a+a1616=a=a1212+a+a1515=a=a1313+a+a1414，故故aa1313+a+a1414=0=099分分d=-2d=-20,a0,a110,a0,a13130,a0,a14140.0.故故n=13n=13时，时，SSnn有最大值有最大值169.169.1212分分【误区警示误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：

对解答本题时易犯错误的具体分析如下：

1.1.在等差数列在等差数列aann中，已知中，已知aa11=4=4，aa66=6=6，则前，则前66项和项和SS66=（）（AA）7070（）（）3535（）（）3030（）（）1212【解析解析】选选SS6630302.2.等差数列等差数列aann的前项和为的前项和为SSnn，若，若aa33aa17171010，则，则SS1919（）（）（）5555（）（）9595（）（）100100（）不能确定（）不能确定【解析解析】选选SS191995953.3.已知数列已知数列aann的通项的通项aann-nn，则其前项和，则其前项和SSnn_【解析解析】aan+1n+1-a-ann-，aann是等差数列是等差数列aa11-，-，SSnn-（-）答案：

答案：

4.4.等差数列等差数列aann的前项和为的前项和为SSnn，若，若aa22，aa33，则，则SS44_【解析解析】aa22=1=1，aa33，aa11-，SS44答案：

答案：

55.已知已知aann是等差数列，是等差数列，aa11aa33aa55，aa66，求此数，求此数列前项的和列前项的和【解析解析】设公差为设公差为d,d,aa11aa33aa5599，aa66，3a3a33=9,a=9,a33=3=3，aa66=a=a33+（6-3）d+（6-3）d，d=2,d=2,解得解得aa11=a=a66-5d=-1.-5d=-1.SS66=6=6（-1）+30=24.（-1）+30=24.