思维升华
（1）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
（1）如图，函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A>0，ω>0，|φ|≤）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（2,0），∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为（ ）
A.B.
C．8D．16
（2）若将函数y＝tan（ωx＋）（ω>0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan（ωx＋）的图象重合，则ω的最小正值为（ ）
A.B.
C.D.
答案
（1）B
（2）D
解析
（1）由题意设Q（a,0），R（0，－a）（a>0）．
则M（，－），由两点间距离公式得，
PM＝＝2，解得a＝8，由此得，＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，
由P（2,0）得φ＝－，代入f（x）＝Asin（ωx＋φ）得，
f（x）＝Asin（x－），
从而f（0）＝Asin（－）＝－8，得A＝.
（2）y＝tan（ωx＋）的图象向右平移，得到y＝tan（ωx＋－）的图象，与y＝tan（ωx＋）重合，得－＝kπ＋，故ω＝－6k＋，k∈Z，∴ω的最小正值为.
热点三 三角函数的性质
例3
设函数f（x）＝2cos2x＋sin2x＋a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，]时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y＝f（x）（x∈R）的对称轴方程．
思维启迪 先化简函数解析式，然后研究函数性质（可结合函数简图）．
解
（1）f（x）＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝sin（2x＋）＋1＋a，
则f（x）的最小正周期T＝＝π，
且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z）时f（x）单调递增，即kπ－π≤x≤kπ＋（k∈Z）．
所以[kπ－，kπ＋]（k∈Z）为f（x）的单调递增区间．
（2）当x∈[0，]时⇒≤2x＋≤，
当2x＋＝，即x＝时sin（2x＋）＝1.
所以f（x）max＝＋1＋a＝2⇒a＝1－.
由2x＋＝kπ＋得x＝＋（k∈Z），
故y＝f（x）的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
思维升华 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质及应用的求解思路
第一步：
先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式；
第二步：
把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin（ωx＋φ）＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．
已知函数f（x）＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－（ω>0）的最小正周期为π.
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象；若y＝g（x）在[0，b]（b>0）上至少含有10个零点，求b的最小值．
解
（1）由题意得：
f（x）＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－
＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin（2ωx－），
由周期为π，得ω＝1，得f（x）＝2sin（2x－），
函数的单调增区间为2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
整理得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f（x）的单调增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝2sin2x＋1的图象，
所以g（x）＝2sin2x＋1，
令g（x）＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋（k∈Z），
所以在[0，π]上恰好有两个零点，
若y＝g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π＋＝.
1．求函数y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ），或y＝
Atan（ωx＋φ））的单调区间
（1）将ω化为正．
（2）将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．
2．已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A>0，ω>0）的图象求解析式
（1）A＝，
B＝.
（2）由函数的周期T求ω，ω＝.
（3）利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.
3．函数y＝Asin（ωx＋φ）的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
4．求三角函数式最值的方法
（1）将三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．
（2）将三角函数式化为关于sinx，cosx的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．
5．特别提醒
进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.
真题感悟
1．（20xx·辽宁）将函数y＝3sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间[，]上单调递减
B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[－，]上单调递减
D．在区间[－，]上单调递增
答案 B
解析 y＝3sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin[2（x－）＋]＝3sin（2x－π）．
令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，则y＝3sin（2x－π）的增区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.
令k＝0得其中一个增区间为[，π]，故B正确．
画出y＝3sin（2x－π）在[－，]上的简图，如图，可知y＝3sin（2x－π）在[－，]上不具有单调性，
故C，D错误．
2．（20xx·北京）设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）．若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________．
答案 π
解析 ∵f（x）在上具有单调性，
∴≥－，
∴T≥.
∵f＝f，
∴f（x）的一条对称轴为x＝＝.
又∵f＝－f，
∴f（x）的一个对称中心的横坐标为＝.
∴T＝－＝，∴T＝π.
押题精练
1．函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0）的部分图象如图，其中M（m,0），N（n,2），P（π，0），且mn<0，则f（x）在下列哪个区间中是单调的（ ）
A．（0，）B．（，）
C．（，）D．（，π）
答案 B
解析 ∵mn<0，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即M点在原点时，此时T＝π，则ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x），在（，）上为减函数，（0，）上为增函数；当图象的最高点在y轴上时，即N点在y轴上，T＝π，ω＝，∴f（x）＝2sin（x），在（0，）上是减函数，（，π）上为增函数．所以f（x）在（，）上是单调的．
2．已知函数f（x）＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－（ω>0），直线x＝x1，x＝x2是y＝f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.
（1）求f（x）的表达式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，若关于x的方程g（x）＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
解
（1）f（x）＝sin2ωx＋×－
＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin（2ωx＋），
由题意知，最小正周期T＝2×＝，
T＝＝＝，所以ω＝2，∴f（x）＝sin.
（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin（4x－）的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到y＝sin（2x－）的图象．
所以g（x）＝sin（2x－）．
令2x－＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤.
g（x）＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，
即函数g（t）＝sint与y＝－k在区间[－，]上有且只有一个交点．如图，
由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.
∴－（推荐时间：
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一、选择题
1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P（x，y）．若初始位置为P0，当秒针从P0（此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
答案 C
解析 由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度为－，针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y＝sin.
2．（20xx·四川）为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
答案 A
解析 y＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin2（x＋）的图象，即函数y＝sin（2x＋1）的图象．
3．函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0且|φ|<）在区间[，]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（ ）
A.B.
C.D.
答案 A
解析 依题意知＝－，∴T＝π＝，∴ω＝2，将点（，1）代入y＝sin（2x＋φ）得sin（＋φ）＝1，又|φ|<，φ＝，故y＝sin（2x＋），与y轴交点纵坐标为.
4．若函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且·＝0，则A·ω等于（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 由题中图象知＝－，
所以T＝π，所以ω＝2.
则M，N
由·＝0，得＝A2，
所以A＝，所以A·ω＝.
5．已知函数f（x）＝sin（2x＋φ），其中|φ|<π，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）A．f（π）＝－1
B．f（）>f（）
C．f（x）是奇函数
D．f（x）的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]（k∈Z）
答案 D
解析 由f（x）≤|f（）|恒成立知x＝是函数的对称轴，即2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又f（）0，得φ＝，即f（x）＝sin（2x＋），
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即函数的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]（k∈Z）．
6．已知A，B，C，D，E是函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0,0<φ<）一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A（－，0），B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（ ）
A．ω＝2，φ＝B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝
答案 A
解析 因为A，B，C，D，E是函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0,0<φ<）一个周期内的图象上的五个点，A（－，0），B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T＝4×（＋）＝π，所以ω＝2，
因为A（－，0），所以f（－）＝sin（－＋φ）＝0,0<φ<，φ＝.
二、填空题
7．（20xx·安徽）若将函数f（x）＝sin（2x＋）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
答案
解析 ∵函数f（x）＝sin（2x＋）的图象向右平移φ个单位得到g（x）＝sin[2（x－φ）＋]＝sin（2x＋－2φ），
又∵g（x）是偶函数，∴－2φ＝kπ＋（k∈Z）．
∴φ＝－－（k∈Z）．
当k＝－1时，φ取得最小正值.
8．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，若x1，x2∈（－，），且f（x1）＝f（x2），则f（x1＋x2）＝________.
答案
解析 观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，
f（x）＝sin（2x＋φ）．
将（－，0）代入上式得sin（－＋φ）＝0，由已知得φ＝，故f（x）＝sin（2x＋）．
函数图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈（－，），且f（x1）＝f（x2），
∴f（x1＋x2）＝f（2×）＝f（）
＝sin（2×＋）＝.
9．已知函数f（x）＝3sin（ωx－）（ω>0）和g（x）＝3cos（2x＋φ）的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，]，则f（x）的取值范围是________．
答案 [－，3]
解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f（x）＝3sin（2x－），那么当x∈[0，]时，－≤2x－≤，
所以－≤sin（2x－）≤1，故f（x）∈[－，3]．
10．给出命题：
①函数y＝2sin（－x）－cos（＋x）（x∈R）的最小值等于－1；②函数y＝sinπxcosπx是最小正周期为2的奇函数；③函数y＝sin（x＋）在区间[0，]上单调递增的；④若sin2α<0，cosα－sinα<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________．
答案 ①④
解析 对于①，函数y＝2sin（－x）－cos（＋x）
＝sin（－x），所以其最小值为－1；
对于②，函数y＝sinπxcosπx＝sin2πx是奇函数，但其最小正周期为1；
对于③，函数y＝sin（x＋）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减；
对于④，由⇒cosα<0，sinα>0，所以α一定为第二象限角．
三、解答题
11．已知函数f（x）＝Asin（3x＋φ）（A>0，x∈（－∞，＋∞），0<φ<π）在x＝时取得最大值4.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若f（α＋）＝，求sinα.
解
（1）f（x）的最小正周期T＝.
（2）由函数的最大值为4，可得A＝4.
所以f（x）＝4sin（3x＋φ）．
当x＝时，4sin（3×＋φ）＝4，
所以sin（＋φ）＝1，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为0<φ<π，所以φ＝.
所以f（x）的解析式是f（x）＝4sin（3x＋）．
（3）因为f（α＋）＝，
故sin（2α＋＋）＝.
所以cos2α＝，即1－2sin2α＝，
故sin2α＝.所以sinα＝±.
12．设函数f（x）＝sin2ωx＋2sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ（x∈R）的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y＝f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在x∈[0，]上的值域．
解
（1）因为f（x）＝sin2ωx＋2sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin（2ωx－）＋λ，
由直线x＝π是y＝f（x）图象的一条对称轴，可得
sin（2ωπ－）＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋（k∈Z），即ω＝＋（k∈Z）．
又ω∈（，1），k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f（x）的最小正周期是.
（2）由y＝f（x）的图象过点（，0），得f（）＝0，
即λ＝－2sin（×－）＝－2sin＝－，
即λ＝－.
故f（x）＝2sin（x－）－，
∵x∈[0，]，∴x－∈[－，]，
∴函数f（x）的值域为[－1－，2－]．
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