第6章非线性控制系统分析.ppt

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LOGO自动控制原理自动控制原理教学课件教学课件自动控制原理课程教学组自动控制原理课程教学组6.1非线性系统概述非线性系统概述6.2描述函数法描述函数法6.3非非线性系统分析与应用线性系统分析与应用6.4MATLAB应用实例应用实例第6章非线性系统分析6.1非线性系统概述自动控制系统中所包含的非线性特性可以分为两类。

v非本质非线性能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。

v本质非线性用小偏差线性化方法不能解决的非线性。

6.1.1典型非线性特性常见的典型非线性特征有以下几种：

1.饱和非线性2.死区特性3.具有不灵敏区的饱和特性具有不灵敏区的饱和特性4.继电特性继电特性5.间隙特性间隙特性v饱和非线性实际的放大器只能在一定的输入范围内保持输出量和输入量之间的线性关系。

当输入量超出该范围时，其输出量则保持为一个常值。

饱和非线性特性如图a所示。

死区特性一般的测量元件、执行机构都具有不灵敏区特性。

只有在输入信号大到一定程度以后才会有输出。

一般的机械系统、电机等,都不同程度地存在死区。

这种只有当输入量超过一定值后才有输出的特性称为死区特性，如图b所示。

具有不灵敏区的饱和特性在很多情况下，系统的元件同时存在死区特性和饱和限幅特性。

譬如，测量元件的最大测量范围与最小测量范围都是有限的。

具有不灵敏区的饱和特性如图c所示。

（磁敏传感器）磁敏传感器）磁敏传感器）磁敏传感器）霍尔元件霍尔元件霍尔元件霍尔元件霍尔元件霍尔元件+UUHH继电特性由于继电器吸合电压与释放电压不等,使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，如图所示。

0ima时，触头吸合；时，触头吸合；i1x01，tlnx0/（x01）时时，随随t增增大大，x（t）递递增增；t=lnx0/（x01）时，时，x（t）为无穷大。

为无穷大。

当当x01x01lnx0x013.自持振荡问题产生某一固定振幅和频率的振荡（一种稳定的周期运动）。

非线性系统出现的这种周期运动称为自持振荡或简称为自振。

4.对正弦输入信号的响应非线性系统对正弦输入信号的响应比较复杂，其稳态输出除了包含与输入频率相同的信号外，还可能有与输入频率成整数倍的高次谐波分量。

非线性系统与线性系统的比较线性系统非线性系统数学模型线性微分方程（迭加原理）非线性微分方程（不能用迭加原理）稳定性与系统结构参数有关与系统结构参数、初始条件外部输入有关运动状态稳定或不稳定稳定、不稳定、自持振荡研究重点稳定性、动态及静态性能稳定性、自持振荡研究方法传函、频率法等相平面法、描述函数法、波波夫法，李亚普诺夫法等典型环节比例惯性积分微分振荡等饱和、死区、间隙、继电器等6.1.3非线性系统的分析方法目前，工程上广泛应用的分析和设计非线性控制系统的方法是描述函数法和相平面分析法。

描述函数法是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。

方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。

相平面分析法适用于一、二阶非线性系统的分析，方法的重点是将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方程。

然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。

6.2描述函数法基本思想：

当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。

6.2.1描述函数法的基本概念描述函数法的基本概念v描述函数法主要用来分析在无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自振荡问题。

v这种方法不受系统阶次的限制，对系统的初步分析和设计十分方便，获得了广泛应用。

v描述函数法是一种近似的分析方法，它的应用有一定的限制条件。

应用描述函数法分析非线性系统时，要求元件和系统必须满足以下条件：

（1）非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节和一个线性部分相串联的典型形式；

（2）非线性环节的输入输出特性是中心对称的，即y（x）-y（-x）；（3）系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。

描述函数的定义针对一任意非线性系统，设输入x=Asint,输出波形为y（t），则可以将y（t）表示为富氏级数形式设非线性元件的输出为奇对称函数谐波线性化的处理方法是：

以输出y（t）的基波分量近似地代替整个输出。

亦即略去输出的高次谐波，将输出表示为这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。

这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。

描述函数法的定义：

输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比。

其数学表达式为6.2.2典型非线性特性的描述函数理想继电器特性的描述函数将y（t）傅氏展开得斜对称、奇函数A0=An=0理想继电器特性死区继电器特性y（t）ty（t）ty（t）tty（t）滞环继电器特性饱和特性死区特性死区饱和特性间隙、滞环特性一般非线性一般非线性描描述述函函数数不不仅仅适适合合于于分分段段线线性性系系统统，也也适适合合于于一一般般非非线线性性系系统统，只只要要能能求求出出非非线线性性环环节节的的描描述述函函数数。

我我们们举一个例子举一个例子:

因为它是单值、奇对称的，因为它是单值、奇对称的，先求出，先求出：

所以所以和和非非线线性性特特性性求求出出输输出出，然然后后由由积积分式求出分式求出，最后由求出，最后由求出。

概括起来，求描述函数的过程是：

先根据已知概括起来，求描述函数的过程是：

先根据已知的输入的输入以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计算也复杂得多。

此时也可以将复杂的非线件特性分解为算也复杂得多。

此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。

描述函数。

6.2.3组合非线性特性的描述1非线性特性的并联计算非线性特性的并联计算设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单值函数，即它们的描述函数都是实数。

单值函数，即它们的描述函数都是实数。

x（t）y1（t）y11（t）N1y12（t）N2y1（t）=y11（t）+y12（t）=N1Asint+N2Asint=（N1+N2）AsintN=（N1+N2）总的描述函数总的描述函数若干个非线性环节并联后的总的若干个非线性环节并联后的总的描述函数，等于描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。

当各非线性环节描述函数之和。

当N1和和N2是复数时，该是复数时，该结论仍成立。

结论仍成立。

0M0kxy+xk0My例例例例6-16-1一个具有死区的一个具有死区的非线性环节，求描述函数非线性环节，求描述函数N（A）。

解：

该死区非线性特性可分解为解：

该死区非线性特性可分解为一个死区继电一个死区继电器特性器特性和和一个典型死区特性一个典型死区特性的并联，描述函数为的并联，描述函数为2非线性特性的串联计算非线性特性的串联计算必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。

特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。

x（t）N1y（t）N2z（t）120xy例例6-2求图所示两个非线性特性串联后总的描述函求图所示两个非线性特性串联后总的描述函数数N（A）。

k1=1120xz120zyk2=2k=2等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线性区斜率有完全相同的线性区斜率k=2和不同死区宽度和不同死区宽度1=1及及2=2的死区特性的并联相减。

的死区特性的并联相减。

两个非线环节并联使非线性特性发生改变示例6.2.3非线性系统的描述函数分析法基本假设可归化为下图所示的典型结构。

vv当讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部造成的周期运动，不考虑外力作用，因此，认为外作用为0。

非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波振幅。

线性部分的低通滤波效应较好，高次谐波可忽略。

非线性系统的稳定性（乃奎斯特判据）若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G（j）轨迹不包围复平面的（-1,j0）。

负倒描述函数（描述函数负倒特性负倒描述函数（描述函数负倒特性）线性系统（-1,j0）?

设：

系统开环的线性部分G（j）稳定G（j）与负倒描述函数相交闭环系统出现自持振荡（极限环振荡）稳定？

不稳定？

振幅（A）？

频率（）？

微小扰动分析法当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“（-1,j0）”被G（j）轨迹包围，系统不稳定；振幅A继续增大；不能返回到a。

当微小扰动使振幅A减小到d点，d点“（-1,j0）”未被G（j）轨迹包围，系统稳定；振幅A继续减小；不能返回到a。

a点为不稳定自振交点。

当微小扰动使振幅A增大到e点时，e点“（-1,j0）”未被G（j）轨迹包围，系统稳定；振幅A减小；返回到b。

当微小扰动使振幅A减小到f点，f点“（-1,j0）”被G（j）轨迹包围，系统不稳定；振幅A增大；返回到b。

b点为稳定自振交点。

基准负倒数描述函数基准负倒数描述函数理想继电器特性非线性特性的尺度系数非线性特性的尺度系数死区继电器特性具有饱和特性的非线性系统Aa时A时负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k,-）具有死区特性的非线性系统Aa时A时负倒描述函数轨迹=实轴上（-,-1/k）。

具有间隙特性的非线性系统负倒描述函数为G平面上一条曲线。

A时具有理想继电器特性的非线性系统负倒描述函数轨迹为整个负实轴具有滞环继电器特性的非线性系统负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。

例6-3：

判断系统是否有自持振荡，若有，则求其振幅和频率。

解：

非线性环节：

例6-4：

判断系统是否有自持振荡，若有，则求其振幅和频率。

线性环节：

自振频率：

自振振幅：

补充补充:

一、结构图的等效变换一、结构图的等效变换11由于在讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部由于在讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部产生的周期运动，并不考虑外作用，因此在将结构产生的周期运动，并不考虑外作用，因此在将结构简化时，可以认为所有外作用均为零，只考虑系统简化时，可以认为所有外作用均为零，只考虑系统的封闭回路。

的封闭回路。

22与线性系统等效变换一样，简化的原则是信号的与线性系统等效变换一样，简化的原则是信号的等效变换。

等效变换。

二、非线性特性的应用非线性阻尼控制非线性阻尼控制非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果.非线性阻尼下的阶跃响应未引入微分反馈未引入微分反馈未引入微分反馈未引入微分反馈引入微分反馈引入微分反馈引入微分反馈引入微分反馈非线性阻尼非线性阻尼非线性阻尼非线性阻尼K试分析系统稳定性；试分析系统稳定性；如果系统出现自持振荡，如何消除之？

如果系统出现自持振荡，如何消除之？

KK2020，死区继电器特性，死区继电器特性MM33，aall。

三、改善非线性系统性能举例三、改善非线性系统性能举例三、改善非线性系统性能