第3章刚体力学基础.ppt

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-第第3章章刚体动力学刚体动力学大学物理学课件大学物理学课件-3-1刚体刚体运动的分析运动的分析刚体刚体，指在任何情况下，指在任何情况下形状形状和和大小大小完全完全不变不变的物体的物体一、刚体的基本运动1.平动平动在运动中，刚体上在运动中，刚体上任意两点的连线任意两点的连线始终保持平行，始终保持平行，称为刚体的平动。

平动的刚体可当成一个质点处理。

称为刚体的平动。

平动的刚体可当成一个质点处理。

平动平动和和转动转动是刚体运动中两种基本形式是刚体运动中两种基本形式.-刚体刚体，指在任何情况下，指在任何情况下形状形状和和大小大小完全完全不变不变的物体的物体一、刚体运动分类2.转动转动如果刚体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运如果刚体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为动，这种运动就称之为转动转动，这条直线称为这条直线称为转轴转轴。

分为分为定轴转动定轴转动和和非定轴转动非定轴转动AA3-1刚体刚体运动的分析运动的分析-AA若转动轴固定不动，这种转动称若转动轴固定不动，这种转动称为为定轴转动定轴转动.这个转轴称为这个转轴称为固定轴固定轴，*定轴转动定轴转动转动平面：

转动平面：

垂直于固定轴的平面垂直于固定轴的平面*非定轴转动非定轴转动若转轴若转轴方向方向或或位置位置变化变化，这种转动称为，这种转动称为非定非定轴转动轴转动-5转动转动：

分分定轴转动定轴转动和和非定轴转动非定轴转动刚体的刚体的平面运动平面运动-1.刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点轴上各点都保持不动，轴外各点在同一时间间轴上各点都保持不动，轴外各点在同一时间间隔内转过的角度一样。

隔内转过的角度一样。

二、刚体定轴转动的描述以某转动平面与转轴的交点为原点，转动平以某转动平面与转轴的交点为原点，转动平面上所有质元都绕着这个原点作圆周运动。

面上所有质元都绕着这个原点作圆周运动。

2.描述描述可类似地定义绕定轴转动的刚体的：

可类似地定义绕定轴转动的刚体的：

*角加速度角加速度*角速度角速度*角位置角位置*角位移角位移-二、刚体定轴转动的描述*各质元的各质元的角量相同角量相同：

角位移、角速度和角加速度：

角位移、角速度和角加速度3.角量与线量的关系角量与线量的关系*各质元的各质元的线量线量与该质元的距轴矢径大小成正比。

与该质元的距轴矢径大小成正比。

*各质元的各质元的线线量量一般不同一般不同：

位移、速度和加速度位移、速度和加速度。

速度速度切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度z-8O一、刚体定轴转动定律一、刚体定轴转动定律

（1）单个质点单个质点与转轴刚性连接与转轴刚性连接3-2定轴转动刚体的转动惯量定轴转动刚体的转动惯量-9

（2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力，内内力力外外力矩力矩内内力矩力矩O-10刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合合外力矩外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.转动定律转动定律定义转动惯量定义转动惯量O-11讨论讨论

（2）（3）

（1）不变不变转动定律转动定律-刚体的刚体的转动惯量转动惯量就是组成刚体的就是组成刚体的各质元的质量各质元的质量与其与其到转轴的距离到转轴的距离的的平方平方的的乘积乘积之之和和。

3-2刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律二、转动惯量的定义二、转动惯量的定义单个质点单个质点分立质点系分立质点系质量连续分布刚体质量连续分布刚体单位：

单位：

kg.m2-刚体的刚体的转动惯量转动惯量的三个因素的三个因素3-2刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律1.与刚体总质量有关；与刚体总质量有关；2.与刚体质量对轴的分布有关，质量分布与刚体质量对轴的分布有关，质量分布离轴越远，转动惯量远大；离轴越远，转动惯量远大；3.与轴的位置有关，质量分布均匀的物体，与轴的位置有关，质量分布均匀的物体，其对中心轴的转动惯例最小。

其对中心轴的转动惯例最小。

-例例22、求质量为、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。

轴与圆环平面垂直并通过圆心。

惯量。

轴与圆环平面垂直并通过圆心。

RO解：

解：

dm例例11、求长为、求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。

量。

ABLXABL/2L/2CX解：

取如图坐标，解：

取如图坐标，ddm=ddx三、转动惯量的计算三、转动惯量的计算-例例22、求质量为、求质量为m、半径为半径为R均匀圆盘的转动惯量。

轴与盘平均匀圆盘的转动惯量。

轴与盘平面垂直并通过盘心。

面垂直并通过盘心。

解：

取半径为解：

取半径为r宽为宽为ddr的薄圆环的薄圆环,Rrdr-例例33、内内半半径径为为R11外外半半径径为为R22质质量量为为m的的匀匀质质中中空空圆圆柱柱绕绕其其对称轴的转动惯量对称轴的转动惯量-例例44、质质量量为为m半半径径为为R的的匀匀质质薄薄球球壳壳绕绕过过中中心心轴轴的的转转动动惯惯量量在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径-18平行轴定理平行轴定理质量为质量为的刚体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为的的转轴的转动惯量转轴的转动惯量CO-19质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的JP圆盘对圆盘对P轴的转动惯量轴的转动惯量OO1d=L/2O1O2O2-20竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？

飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？

大都分布于外轮缘？

-21例例3.5质量为质量为mA的物体的物体A静止在光滑静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为索跨过一半径为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为，并系在另一质量为mB的物体的物体B上，上，B竖竖直悬挂直悬挂滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动，且滑轮与且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计轴承间的摩擦力可略去不计

（1）两物体的两物体的线加速度为多少？

线加速度为多少？

水平和竖直两段绳索的水平和竖直两段绳索的张力各为多少？

张力各为多少？

（2）物体物体B从静止落下距离从静止落下距离y时，其速率是多少时，其速率是多少？

-22解解

（1）用用隔离法分隔离法分别对各物体作受力分析，别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系取如图所示坐标系ABCOO-23OO-24解得：

解得：

-25如令如令，可得，可得

（2）B由静止出发作匀加速直线运动，由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率下落的速率-例例:

已知：

两物体已知：

两物体m1、m2（m2m1）滑轮滑轮m、R,可看成可看成质量均匀的圆盘质量均匀的圆盘,轴上的摩擦力矩为轴上的摩擦力矩为Mf（设绳轻，且（设绳轻，且不伸长不伸长,与滑轮无相对滑动）。

求与滑轮无相对滑动）。

求:

物体的加速度及绳物体的加速度及绳中张力。

中张力。

m1m2mRMf解解:

分别对分别对m1,m2,m分析运动、受力，分析运动、受力，设各量如图所示设各量如图所示m1gT1m2gT2mRMfmgN因绳不伸长因绳不伸长,有有a1=a2=a-因绳轻因绳轻,有有以以加速度方向为正加速度方向为正，可列出，可列出对对m1有有:

T1-m1g=m1a

（1）对对m2有：

有：

m2g-T2=m2a

（2）对滑轮对滑轮m由转动方程由转动方程（3）再从运动学关系上有再从运动学关系上有（4）（以以“方向方向”为正为正）-联立四式解得：

联立四式解得：

当不计滑轮质量和摩擦力矩时当不计滑轮质量和摩擦力矩时:

m=0,Mf=0-3-3刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律和角动量守恒定律一一.刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量作定轴转动刚体，其质元角速度作定轴转动刚体，其质元角速度相同，因此，相同，因此，第第i个质元的角动量个质元的角动量各质元的角动量的方向相同，则刚体角动量为各质元的角动量的方向相同，则刚体角动量为各质元的角动量之和各质元的角动量之和该轴的转动惯量与速度的乘积，方向为角速度方向。

该轴的转动惯量与速度的乘积，方向为角速度方向。

-3-4刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律和角动量守恒定律二二.刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量定理定轴转动刚体的角动量的增量等于合外力矩对定轴转动刚体的角动量的增量等于合外力矩对冲量矩。

冲量矩。

-三、定轴转动的角动量守恒定律三、定轴转动的角动量守恒定律若若则则L=J=恒量恒量外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒一轴的角动量守恒.刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒总角动量总角动量L=J11+J22+=常量常量-角动量守恒定律的两种情况：

角动量守恒定律的两种情况：

（1）转动惯量保持不变的刚体转动惯量保持不变的刚体例：

回转仪例：

回转仪

（2）转动惯量可变的物体转动惯量可变的物体当当J增大时，增大时，就减小就减小当当J减小时，减小时，就增大就增大而而保持不变保持不变例：

旋转的舞蹈演员例：

旋转的舞蹈演员-跳水运动员跳水运动员茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳直升飞机直升飞机-例例:

一根质量为一根质量为m长为长为2l的均匀细棒，可在竖直平面的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置，一质量为置，一质量为m/的小球，以速度的小球，以速度u垂直落到棒垂直落到棒r端点。

端点。

设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹速度速度u/及棒的角速度及棒的角速度？

（忽略轴处摩擦）（忽略轴处摩擦）om/u解：

解：

杆的角速度杆的角速度如图示如图示,假设小球碰后瞬时的速度假设小球碰后瞬时的速度u/向上向上u/系统系统：

小球小球+杆杆条件条件：

M外外=0角动量守恒（轴力无力矩；小球的角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）

（1）-

（1）因为弹性碰撞因为弹性碰撞,动能动能（机械能机械能）守恒守恒

（2）联立联立

（1）

（2）解得解得讨论讨论:

1.02.当当m3m/时时,u/0（向上）（向上）当当m=3m/时时,u/=0（瞬时静止）（瞬时静止）当当m3m/时时,u/0（向下）（向下）-一、转动动能一、转动动能刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半惯量与角速度平方乘积的一半。

比较比较：

3-4刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理质元的转动动能质元的转动动能整个刚体的转动动能整个刚体的转动动能-二、力矩的功二、力矩的功zdi对对i求和，则力矩的元功求和，则力矩的元功M为作用于刚体上为作用于刚体上外力矩之和外力矩之和（内力矩之和为零内力矩之和为零）力矩的功率为：

力矩的功率为：

当输出功率一定时当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。

力矩与角速度成反比。

-三三.刚体定轴转动的动能定理：

刚体定轴转动的动能定理：

合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量动能的增量.这就是刚体定轴转动时的动能定理这就是刚体定轴转动时的动能定理.