学年度人教版数学九年级上册考点归纳与练习211 一元二次方程.docx

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学年度人教版数学九年级上册考点归纳与练习211一元二次方程

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

1.一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2．

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：

“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

2.一元二次方程的一般形式

（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．

其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．

（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．

3.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．

一．选择题（共15小题）

1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）

A．x2+

=1B．ax2+bx+c=0C．（x+1）（x+2）=1D．3x2﹣2xy﹣5y=0

2．下列方程中是一元二次方程的为（　　）

A．x2+y=3B．x2﹣2x+5=0C．

D．x﹣2y=9

3．若关于x的方程（a+1）x2﹣2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）

A．a≠﹣1B．a＞1C．a＜1D．a≠0

4．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）

A．m≠2B．m=2C．m≥2D．m≠0

5．若方程（m﹣1）xm2+1﹣（m+1）x﹣2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）

A．0B．±1C．1D．﹣1

6．若关于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，则a的值不能为（　　）

A．2B．﹣2C．0D．3

7．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（　　）

A．3x2﹣4x+2=0B．3x2﹣4x﹣2=0C．3x2+4x+2=0D．3x2+4x﹣2=0

8．一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，a、b、c的值分别是（　　）

A．3、﹣4、﹣2B．3、﹣3、2C．3、﹣2、2D．3、﹣4、2

9．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（　　）

A．0B．1C．2D．1或2

10．将一元二次方程3x2+1=6x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（　　）

A．3，﹣6B．3，6C．3，1D．3x2，﹣6x

11．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．﹣1B．1C．1或﹣1D．3

12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根0，则a值为（　　）

A．1B．﹣1C．±1D．0

13．若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则（　　）

A．a+b+c=1B．a﹣b+c=0C．a+b+c=0D．a﹣b﹣c=0

14．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是（　　）

A．2016B．2018C．2020D．2022

15．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）

A．﹣1B．2C．22D．30

二．填空题（共8小题）

16．若（m﹣2）

﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为　　．

17．若关于x的方程（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为　　．

18．一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为　　．

19．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）=5的二次项系数是　　，一次项系数是　　，常数项是　　．

20．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值　　．

21．若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　　．

22．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=　　．

23．若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为　　．

三．解答题（共7小题）

24．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0．

（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？

（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？

25．方程

是一元二次方程，试求代数式m2+2m﹣4的值．

26．把方程（3x+2）（x﹣3）=2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．

27．若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．

28

．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+

ax﹣a2=0的一个根，求a的值．

29．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．

（1）求m的值；

（2）求△ABC的周长．

30．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣

+1）的值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）

A．x2+

=1B．ax2+bx+c=0C．（x+1）（x+2）=1D．3x2﹣2xy﹣5y=0

【解答】解：

A、x2+

=1是分式方程，故此选项错误；

B、ax2+bx+c=0（a≠0），故此选项错误；

C、（x+1）（x+2）=1是一元二次方程，故此选项正确；

D、3x2﹣2xy﹣5y=0是二元二次方程，故此选项错误．

故选：

C．

2．下列方程中是一元二次方程的为（　　）

A．x2+y=3B．x2﹣2x+5=0C．

D．x﹣2y=9

【解答】解：

A、x2+y=3，是二元二次方程，故此选项错误；

B、x2﹣2x+5=0，是一元二次方程，故此选项正确；

C、x2﹣

=4是分式方程，故此选项错误；

D、x﹣2y=9是二元一次方程，故此选项错误；

故选：

B．

3．若关于x的方程（a+1）x2﹣2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）

A．a≠﹣1B．a＞1C．a＜1D．a≠0

【解答】解：

由题意可知：

a+1≠0，

∴a≠﹣1

故选：

A．

4．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）

A．m≠2B．m=2C．m≥2D．m≠0

【解答】解：

由题意，得

m﹣2≠0，

m≠2，

故选：

A．

5．若方程（m﹣1）xm2+1﹣（m+1）x﹣2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）

A．0B．±1C．1D．﹣1

【解答】解：

由题意得：

m2+1=2，m﹣1≠0，

解得m=﹣1，

故选：

D．

6．若关于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，则a的值不能为（　　）

A．2B．﹣2C．0D．3

【解答】解：

∵关于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，

∴（a﹣2）x2﹣3x+2=0是一元二次方程，

∴a﹣2≠0．

∴a≠2．

故选：

A．

7．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（　　）

A．3x2﹣4x+2=0B．3x2﹣4x﹣2=0C．3x2+4x+2=0D．3x2+4x﹣2=0

【解答】解：

方程整理得：

3x2﹣4x+2=0，

故选：

A．

8．一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，a、b、c的值分别是（　　）

A．3、﹣4、﹣2B．3、﹣3、2C．3、﹣2、2D．3、﹣4、2

【解答】解：

一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，

3x2﹣4x﹣2=0，

则a=3，b=﹣4，c=﹣2．

故选：

A．

9．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（　　）

A．0B．1C．2D．1或2

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，

∴m2﹣3m+2=0，m﹣2≠0，

解得：

m=1．

故选：

B．

10．将一元二次方程3x2+1=6x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（　　）

A．3，﹣6B．3，6C．3，1D．3x2，﹣6x

【解答】解：

一元二次方程3x2+1=6x化为一般形式是3x2﹣6x+1=0，各项的系数分别是：

3，﹣6．

故选：

A．

11．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．﹣1B．1C．1或﹣1D．3

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，

∴02+a2﹣1=0，

解得，a=±1，

故选：

C．

12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根0，则a值为（　　）

A．1B．﹣1C．±1D．0

【解答】解：

把x=0代入方程得：

a2﹣1=0，

解得：

a=±1，

∵（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0是关于x的一元二次方程，

∴a﹣1≠0，

即a≠1，

∴a的值是﹣1．

故选：

B．

13．若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则（　　）

A．a+b+c=1B．a﹣b+c=0C．a+b+c=0D．a﹣b﹣c=0

【解答】解：

把x=1代入ax2+bx+c=0，

可得：

a+b+c=0；

故选：

C．

14．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是（　　）

A．2016B．2018C．2020D．2022

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，

∴4a﹣2b+4=0，

则2a﹣b=﹣2，

∴2020+2a﹣b=2020+（2a﹣b）=2020+（﹣2）=2018．

故选：

B．

15．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）

A．﹣1B．2C．22D．30

【解答】解：

方法一：

方程x2﹣2x﹣4=0解是x=

，即x=1±

，

∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，

∴①当α=1+

，β=1﹣

时，

α3+8β+6，

=（1+

）3+8（1﹣

）+6，

=16+8

+8﹣8

+6，

=30；

②当α=1﹣

，β=1+

时，

α3+8β+6，

=（1﹣

）3+8（1+

）+6，

=16﹣8

+8+8

+6，

=30．

方法二：

∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，

∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，

∴α2=2α+4

∴α3+8β+6=α•α2+8β+6

=α•（2α+4）+8β+6

=2α2+4α+8β+6

=2（2α+4）+4α+8β+6

=8α+8β+14

=8（α+β）+14=30，

故选：

D．

二．填空题（共8小题）

16．若（m﹣2）

﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为　﹣2　．

【解答】解：

根据题意得：

，

解得：

m=﹣2．

故答案是：

﹣2．

17．若关于x的方程（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为　3　．

【解答】解：

由题意得：

|a|﹣1=2，且a+3≠0，

解得：

a=3，

故答案为：

3．

18．一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为　x2﹣9x﹣1=0　．

【解答】解：

一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为x2﹣9x﹣1=0，

故答案为：

x2﹣9x﹣1=0．

19．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）=5的二次项系数是　3　，一次项系数是　2　，常数项是　﹣13　．

【解答】解：

方程（2+x）（3x﹣4）=5整理为一般式可得3x2+2x﹣13=0，

∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是﹣13，

故答案为：

3、2、﹣13．

20．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值　﹣1　．

【解答】解：

把x=2代入方程x2+px﹣2=0得4+2p﹣2=0，解得p=﹣1．

故答案为：

﹣1．

21．若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　

　．

【解答】解：

∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，

∴4n2﹣4mn+2n=0，

∴4n﹣4m+2=0，

∴m﹣n=

．

故答案是：

．

22．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=　﹣2　．

【解答】解：

∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，

∴4+2m+2n=0，

∴n+m=﹣2，

故答案为：

﹣2．

23．若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为　2018　．

【解答】解：

由题意可知：

2m2﹣3m﹣1=0，

∴2m2﹣3m=1

∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018

故答案为：

2018

三．解答题（共7小题）

24．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0．

（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？

（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？

【解答】解：

（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0为一元二次方程，

∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，

即当m≠±1时，方程为一元二次方程；

（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0为一元一次方程，

∴m2﹣1=0，且m﹣1≠0，解得m=﹣1，

即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．

25．方程

是一元二次方程，试求代数式m2+2m﹣4的值．

【解答】解：

根据题意得，m2﹣2=2且m﹣2≠0，

解得m=±2且m≠2，

所以，m=﹣2，

所以，m2+2m﹣4=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4=4﹣4﹣4=﹣4．

26．把方程（3x+2）（x﹣3）=2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．

【解答】解：

（3x+2）（x﹣3）=2x﹣6，

3x2﹣9x=0，

所以它的二次项系数是3，一次项系数是﹣9，常数项是0．

27．若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．

【解答】解：

∵关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4=0的常数项为0，

∴m2﹣3m﹣4=0，即（m﹣4）（m+1）=0，

解得：

m=4或m=﹣1，

当m=﹣1时，方程为5x=0，不合题意；

则m的值为4．

28．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+

ax﹣a2=0的一个根，求a的值．

【解答】解：

把x=﹣2代入x2+

ax﹣a2=0得4﹣3a﹣a2=0，

即a2+3a﹣4=0，解得a1=1，a2=﹣4．

即a的值为1或﹣4．

29．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．

（1）求m的值；

（2）求△ABC的周长．

【解答】解：

（1）把x=2代入方程得4﹣4m+3m=0，解得m=4；

（2）当m=4时，原方程变为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，

∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形

∴△ABC的腰为6，底边为2，

∴△ABC的周长为6+6+2=14．

30．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣

+1）的值．

【解答】解：

∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，

∴m2﹣m﹣2=0，

∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，

∴（m2﹣m）（m﹣

+1）

=

=

=2×（1+1）

=2×2

=4．