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激光原理-第三讲,高斯光束的聚焦和准直,高阶高斯光束,基模高斯光束,第二章高斯光束及其特性,2.1.1旁轴近似,第一节基模高斯光束,由两个球面反射镜平行放置构成的横向无边界约束的稳定光学谐振腔，其基模输出光束横向分布函数是一个高斯函数，该光束称之为基模高斯光束。

高阶模输出光束称为高阶高斯光束。

基模高斯光束是波动方程在旁轴近似下的解,波动方程,设,得到赫姆霍兹方程,为分析方便，略去矢量符号，并假设波沿z方向传播,设,z变化一个波长的范围内，波的振幅变化很缓慢，物理意义是波的能量主要沿z方向传播，且能量集中在z轴附近，称为旁轴近似,极坐标下的旁轴近似方程,2.1.2高斯光束解,设的形式解,代入旁轴近似方程,r的各次幂的系数必须为零,令,代入上式,解为,P0为积分常数，只影响初始相位，取为零。

取c2/c1为虚数,得到,定义参数,利用,最后得到,光斑半径的平方为极坐标的平方平均值的4倍,等相位面的方程,在z=f处，R（z）=f,此时R（z）的值最小，称f为光束共焦参数,在光轴附近，抛物面近似为球面，球面的曲率半径为R（z）,电场,相对于z=0点,定义q参数,场可以简单表示为,q参数称为高斯光束的复曲率半径,q参数物理意义：

同时反映光斑尺寸及波面曲率半径随z的变化,与几何光学一致,旁轴球面波表达式,若已知高斯光束某一位置的q参数（z）,R（z）,q参数表征高斯光束的优点:

将描述高斯光束的两个参数（z）和R（z）统一在一个表达式中,便于研究高斯光束通过光学系统的传输规律,光腰处（z0）,0,在空间传输距离z后,到光腰的距离，光腰在左为正,2.1.3高斯光束通过光学元件的变换ABCD定律,1.自由空间,2.薄透镜（透镜焦距为F）,球面波,球面波,发散（+）会聚（-）,l1,l2,R1,R2,S1,S2,物距像距焦距,近轴情况,R1,R2,（薄透镜）,高斯光束,q1,q2,高斯光束通过一个无相差的光学系统后仍是高斯光束,3.光学系统传输矩阵为的光学系统,球面波,高斯光束q参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同,ABCD定律,R1,R2,1,2,近轴光,自由空间,透镜,球面波高斯光束,高斯光束的传输规律过渡到几何光学中旁轴光线的传输规律,4.ABCD矩阵应用实例高斯光束通过透镜的变换,已知：

0,l,F求：

通过透镜后，高斯光束参数0,l,c,Rc,方法:

由ABCD定律qB,z=0q0=iff=02/A处qA=q0+lB处1/qB=1/qA-1/FC处qc=qB+lc,关键,=-l,讨论:

高斯光束成象与几何光学成象规律的比较1.lF即有（l-F）2f2和几何光学成象规律相同,腰斑放大率,2.l=F时,和几何光学成象规律不同,几何光学:

l=Fl=（平行光）无实象有虚象,=D,3.lF,仍有实象,和几何光学成象规律不同,几何光学:

lF不能成实象,2.1.4高斯光束与球面谐振腔自再现模式,L,L,f1=R1/2,f2=R2/2,f1=R1/2,L,L,f1,f2,f1,对于自再现模有,（开腔的稳定性条件）,取负号,其他任意平面上的R和值，腰斑的大小和位置,为简化计算，参考平面尽量取平面反射镜或几何对称位置,2.2.1厄密-高斯光束,第二节高阶高斯光束,考虑x方向和y方向的场有不同的分布时，旁轴方程应重写为,假设场的解具有与基模高斯光束同样的高斯函数因子和等相位面分布，但振幅与坐标有关，此外有不同的附加相移,假设A（x,y,z）是可以分离变量的,在高功率激光器中，由于增益系数很高，高阶高斯光束满足振荡条件时形成振荡。

得到,利用,（2.2-4）式简化为,可以证明,作变量变换,设,（2.2-6）进一步简化为,作变量代换,（2.2-11）式可写为,进一步可得,X方向幅值,Y方向幅值,相位,其解为m,n阶厄密多项式,场的完整表达式,相位因子解为,场为零的线称为节线，在节线两侧，场表达式的符号相反，表明位相差为，厄米多项式的零点决定场振幅的节线,场的最终解为,为拉盖尔多项式,旁轴方程应重写为,设,2.2.2拉盖尔-高斯光束,模的振幅分布,第三节高斯光束的聚焦和准直,实际应用中常需要将基模高斯光束聚焦到很小的面积上，如光盘的读写、微细加工、受控核聚变。

或者要求高斯光束在大气或太空中传播较远的距离，如远程探测、空间通讯、制导与定向能武器，需要通过变换使激光束的发散角尽可能小，这种情况称为高斯光束的准直。

聚焦和准直都是用透镜组对高斯光束进行变换。

2.3.1高斯光束的聚焦,1.Ff透镜焦距足够小无论l为何值,成实像，均可使,2.若Ff要使要求,即,或,才能聚焦,如果,不能聚焦,（分母分子）,

（1）,

（2）,（3）,要获得良好的聚焦效果：

使用短焦距透镜光腰远离透镜；（lF）取l=0,并设法满足fF采用双透镜聚焦,才有聚焦作用,l一定,关系,思考：

为什么双透镜有更好的聚焦作用？

虚像,实像,2.3.2高斯光束的准直改善方向性，压缩发散角,高斯光波平面光波,单透镜准直效果,高斯光束通过薄透镜当l=F时,0=F/0最大,F,长焦距透镜利于准直0尽可能小,要使大,发散角,一定，取l=F，通过增加l来改善准直效果,逼近,短焦距透镜聚焦,使0，并聚在长焦距透镜焦点上长焦距透镜，使F,利用倒装望远镜准直,D,L1,L2,物距,准直倍率,望远镜放大倍率M,准直倍率（发散角压缩比）,L1,L2,光腰几乎落在焦平面上,组成一倒装望远镜,望远镜放大倍率M,D,准直倍率（发散角压缩比）,光腰几乎落在焦平面上,望远镜放大倍率M,补充1光束衍射倍率因子（光束质量因子）M2,评价激光器的激光光束质量是一个重要问题。

人们曾经使用聚焦光斑尺寸、远场发散角作为衡量光束质量的参数。

经过无相差光学系统后，光腰尺寸和发散角均可改变，但两者的乘积不变，对于基模高斯光束,对于高阶厄密-高斯光束，在x方向和y方向的光腰半径和发散角的乘积为,对于高阶拉盖尔-高斯光束，可得,激光束腰斑尺寸和发散角具有确定值，并可同时描述光束的近场和远场特性，目前普遍采用光束衍射倍率因子M2作为衡量光束质量的参量。

其定义为,对于基模高斯光束,对于高阶厄密-高斯光束和拉盖尔-高斯光束,对于多模厄密-高斯光束，x方向和y方向的光束衍射倍率因子是各模式相对强度的加权平均,对于多模拉盖尔-高斯光束,基模高斯光束具有最小的M2值（M2=1），其光斑半径和发散角也最小，达到衍射极限。

高阶、多模高斯光束或其他非理想光束的M2值大于1。

M2值可以表征实际光束偏离衍射极限的程度，因此称为衍射倍率因子。

M2值越大，光束衍射发散越快。

M21具有深刻的物理含义，可以用量子力学测不准关系来解释。

-曾冰斌，徐德衍，王润文，激光光束质量因子M2的物理概念与测试方法，应用激光，1994年，14卷，3期，104页,光源的单色亮度B反比于发光面积S和发散立体角。

M2因子越小，激光束的亮度越高。

M2因子是表征激光束空间相干性好坏的本质参量。

M2因子的测量激光输出入射CCD，记录光强分布，计算光斑尺寸。

前后移动CCD的位置，可得到不同位置上的光斑尺寸。

数据拟合得到远场光束发散角，从而计算光束质量因子。

补充2高阶高斯光束的q参数和ABCD定律,基模高斯光束和高阶高斯光束的束腰在相同的空间位置，对于高阶厄密-高斯光束,q参数,ABCD定律,对于高阶拉盖尔-高斯光束,q参数,ABCD定律,本章小结：

高斯光束q参数的表达、高斯光束在线性光学系统中的变换、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔模式的关系。

高阶高斯光束的特性。

高斯光束的准直的与聚焦特点。

作业：

第一节，练习1、2、3第三节，练习1、2,课程设计-谐振腔自再现模式特性分析,课题背景介绍,等效谐振腔,光焦度,2.课程设计任务与要求

（1）编程计算图示谐振腔的稳定性与光焦度1/F的关系。

可取R1=,R2=,l1=250mm,l2=200mm。

（2）计算输出镜M2和透镜上的模式半径与光焦度1/F的关系。

（3）取使谐振腔稳定的F值，计算腔内模式半径与z的关系。

（4）取不同的l1值和R1值，计算谐振腔的稳定性，输出镜M2和透镜上的模式半径与光焦度1/F的关系。

（5）进行光线追迹，计算从M1出发，光线参数为（r0,0）的光线在腔内往返传播的轨迹。

3.参考文献1周炳琨,高以智,陈倜嵘,陈家骅,激光原理,国防工业出版社,2004。

2吕百达，激光光学-光束描述、传输变换与光腔技术物理，高等教育出版社，2003。

3张光寅，郭曙光，光学谐振腔的图解分析与设计方法，国防工业出版社，2003。

4N.Hodgson,andH.Weber,LaserResonatorsandBeamPropagation,Springer,2005.5N.Hodgson,K.Griswold,W.Jordan,S.L.Knapp,A.A.Peirce,C.C.Pohalski,E.Cheng,J.Cole,D.R.Dudley,A.B.Petersen,andW.L.Nighan,Jr.,“HighpowerTEM00modeoperationofdiode-pumpedsolidstatelasers,”inProceedingsofSPIE-TheInternationalSocietyforOptical,1999,Vol.3611,pp.119-131.,200,200,=,=,200,200,=,=,=200,200,200,=1000,=,200,200,=1000,=,=160,200,200,=-1000,=,200,200,=-1000,=,200,200,=-1000,=,=147,100,200,=,=,100,200,=,=,100,200,=,=,=85,300,200,=,=,300,200,=,=,300,200,=,=,=166,200,200,=,=,=200,200,200,=,=,=300,200,200,=,=,=100,200,200,=,=,=90,200,200,=1000,=,=160,