Px2+y2<1=S圆S正=π×124=π4
四、条件概率
公式：
P（B|A）=P（AB）P（A）
解释：
事件A：
掷一次骰子，朝上点数大于3
事件B：
掷一次骰子，朝上点数是6
P（B|A）：
掷一次骰子，已知朝上点数大于3，朝上点数是6的概率
P（AB）：
掷一次骰子，朝上点数是6的概率
P（A）：
掷一次骰子，朝上点数大于3的概率
例1：
小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少？
事件A：
小明得60分以上
事件B：
小明得80分以上
P（B|A）：
小明得60分以上时，小明得80分以上的概率
P（AB）：
小明得80分以上的概率
P（B|A）=P（AB）P（A）=80％85％=1617
例2：
某地区今年会发生洪水的概率是80%，今明两年至少有一年会
发生洪水的概率是85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水
的概率是多少？
事件A：
今年没有发生洪水
事件B：
明年发生洪水
P（B|A）：
今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率
P（AB）：
今年没有发生洪水，明年发生洪水的概率
P（B|A）=P（AB）P（A）=85％-80％1-80％=5％20％=14
五、全概率公式
公式：
A、B…等个体均可能发生某事，则P（发生某事）=P（A出现）·P（A发生某事）+P（B出现）·P（B发生某事）…
例1：
某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。
求该高速公路上有客车发生故障的概率。
P（有客车发生故障）
=P（高速车出现）·P（高速车故障）+P（普通车出现）·P（普通车故障）
=20%×0.002+80%×0.01
=0.0084
例2：
猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，那么抽中的员工通过考核的概率是多少？
P（抽中的员工通过考核）
=P（猴博士出现）·P（猴博士通过）+P（傻狍子出现）·P（傻狍子通过）
=50％×100％+50％×1％
=50.5％
六、贝叶斯公式
公式：
A、B…等个体均可能发生某事，则
P（已知有个体发生某事时，是A发生的）=P（A出现）·P（A发生某事）P（发生某事）
例1：
某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。
求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。
P（有客车发生故障）
=P（高速车出现）·P（高速车故障）+P（普通车出现）·P（普通车故障）
=20%×0.002+80%×0.01
=0.0084
P（已知有客车发生故障，是高速客车发生的）
=P（高速客车出现）·P（高速客车故障）P（有客车故障）
=20％·0.0020.0084
=121
例2：
猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个
考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率
是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时，
被抽中的员工是傻狍子的概率。
P（抽中的员工通过考核）
=P（猴博士出现）·P（猴博士通过）+P（傻狍子出现）·P（傻狍子通过）
=50％×100％+50％×1％
=50.5％
P（已知有员工通过考核，是傻狍子通过的）
=P（傻狍子出现）·P（傻狍子通过）P（抽中的员工通过考核）
=50％·1％50.5％
=1101
概率论第二课
七、已知FX（x）与fX（x）中的一项，求另一项
公式：
fX（x）=FX′（x）FX（x）=-∞xfX（x）dx
例1：
设X的分布函数FX（x）=0，x<1lnx，1≤xfX（x）=FX′（x）=0'，x<1（lnx）'，1≤x例2：
设X的密度函数fX（x）=-12x+1，0≤x≤20，其他，求X的分布
函数FX（x）。
当x>2时，FX（x）=-∞xfX（x）dx=1
当0≤x≤2时，FX（x）=-∞xfX（x）dx=-x24+x
当x<0时，FX（x）=-∞xfX（x）dx=-∞x0dx=0
FX（x）=0，x<0-x24+x，0≤x≤21，x>2
八、已知FX（x）与fX（x）中的一种，求P
公式：
P（a例1：
设X的分布函数FX（x）=0，x<1lnx，1≤xP（x2<4）=P（-2=FX
（2）-FX（-2）
=ln2-0
=ln2
例2：
设X的密度函数fX（x）=-12x+1，0≤x≤20，其他，求概率P（-1P（-1=-10fX（x）dx+02fX（x）dx
=-100dx+02（-12x+1）dx
=0+1
=1
九、FX（x）或fX（x）含未知数，求未知数
公式：
FX（-∞）=0，FX（+∞）=1，F上（分段点）=F下（分段点）
-∞+∞fX（x）dx=1
例1：
设X的分布函数FX（x）=0，x≤0a+be-λx，x>0（λ>0），求a和b。
FX（+∞）=1⇒a+be-λ·（+∞）=1
⇒a+be-∞=1⇒a+be+∞=1⇒a=1
F上（0）=F下（0）⇒0=a+be-λ·（0）⇒0=a+be0⇒a+b=0
a=1a+b=0⇒a=1b=-1
例2：
设X的密度函数fX（x）=ax+1，0≤x≤20，其他，求常数a。
-∞+∞fX（x）dx=1
⇒-∞0fX（x）dx+02fX（x）dx+2+∞fX（x）dx=1
⇒-∞00dx+02ax+1dx+2+∞0dx=1
⇒0+2a+2+0=1
解得a=-12
十、求分布律
例1：
从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示从中取出的最大号码，求其分布律。
X可能的取值为3，4，5，6
P（X=3）=C22C11C30C63=120
P（X=4）=C32C11C20C63=320
P（X=5）=C42C11C10C63=310
P（X=6）=C52C11C63=12
分布列：
十一、已知含有未知数的分布列，求未知数
例1：
已知分布列如下，求k的值。
120+320+310+k=1
解得k=12
概率论第三课
十二、已知X分布列，求Y分布列
例1：
已知X的分布列，求Y=X2+1的分布列。
X
-2
0
2
P
0.4
0.3
0.3
①根据X的所有取值，计算Y的所有取值
Y=-22+1=5
Y=02+1=1
Y=22+1=5
②将表格里X那一列对应换成Y
Y
5
1
5
P
0.4
0.3
0.3
化简一下：
Y
1
5
P
0.3
0.7
例2：
已知X的分布列，求Y=2X-1的分布列。
X
3
4
5
6
P
120
320
310
12
①根据X的所有取值，计算Y的所有取值
Y=2×3-1=5
Y=2×4-1=7
Y=2×5-1=9
Y=2×6-1=11
②将表格里X那一列对应换成Y
X
5
7
9
11
P
120
320
310
12
也可以表示成：
Y~5791112032031012
十三、已知FXx，求FYy
例1：
设X的分布函数为FXx=0，x≤0x2，0函数。
①写出X=?
Y
Y=2X⇒X=Y2
②用?
y替换FXx中的x，结果为FX（?
y）
FXy2=0，y2≤0y22，0③判断?
y中是否有负号
若无，则FY（y）=FX（?
y）
若有，则FY（y）=1-FX（?
y）
FY（y）=FXy2=0，y≤0y24，0例2：
设X的分布函数为FXx=0，x≤0x2，0函数。
①写出X=?
Y
Y=-X⇒X=-Y
②用?
y替换FXx中的x，结果为FX（?
y）
FX（-y）=0，-y≤0（-y）2，0<-y<11，-y≥1
③判断?
y中是否有负号
若无，则FY（y）=FX（?
y）
若有，则FY（y）=1-FX（?
y）
FY（y）=1-FX（-y）=1，y≥01-y2，-1十四、已知fXx，求fYy
例1：
设X的密度函数为fXx=1，0
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