概率论与数理统计猴博士 (1).docx

1、概率论第一课一、 无放回类题目例1：盒子中有4红3白共7个球，不用眼瞅，七个球摸起来是一样的，现无放回的摸4次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少？P=C条件一总条件一取C条件二总条件二取C总取P=C42C32C74例2：隔壁山头共有11只母猴儿，其中有5只美猴儿、6只丑猴儿，在大黑天看起来是一样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来5只，问天亮后，发现有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少？P=C条件一总条件一取C条件二总条件二取C总取P=C52C63C115关于 Cnm 的计算：二、 有放回类题目例1：盒子中有5红6白共11个球，不用眼瞅，11个球摸起来是一样的，现有放回的摸5次，那摸出两个红

2、球三个白球的概率是多少？例2：在小弟为我抓回的5只母猴儿中，有2美3丑，每天我都随机挑一只母猴儿来，为她抓虱子。就这样，过去了101天，抓了101次虱子，问这101次中，为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少？三、 需要画图的题目例1：已知0x1，0yy的概率是多少？ 表现已知条件 表现待求概率的条件 找出重合部分 P(xy)= = 12例2：已知-1x1，-1y1，求x+y1的概率是多少？Px2+y21=S圆S正=124=4四、 条件概率公式：P(B|A)=P(AB)P(A)解释：事件A：掷一次骰子，朝上点数大于3事件B：掷一次骰子，朝上点数是6P(B|A)：掷一次骰子，已知朝上点

3、数大于3，朝上点数是6的概率P(AB)：掷一次骰子，朝上点数是6的概率P(A)：掷一次骰子，朝上点数大于3的概率例1：小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少？事件A：小明得60分以上事件B：小明得80分以上P(B|A)：小明得60分以上时，小明得80分以上的概率P(AB)：小明得80分以上的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=8085=1617例2：某地区今年会发生洪水的概率是80%，今明两年至少有一年会发生洪水的概率是85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水的概率是多少？事件A：今年没有发生洪

4、水事件B：明年发生洪水P(B|A)：今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率P(AB)：今年没有发生洪水，明年发生洪水的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=85-801-80=520=14五、 全概率公式公式：A、B等个体均可能发生某事，则P(发生某事)=P(A出现)P(A发生某事)+P(B出现)P(B发生某事)例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障的概率。 P(有客车发生故障)=P(高速车出现)P(高速车故障)+P(普通车出现)P(普通车故障)=20%0.002+

5、80%0.01=0.0084例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，那么抽中的员工通过考核的概率是多少？ P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士出现)P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)P(傻狍子通过)=50100+501=50.5六、 贝叶斯公式公式：A、B等个体均可能发生某事，则P(已知有个体发生某事时，是A发生的)=P(A出现)P(A发生某事)P(发生某事)例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障

6、的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。P(有客车发生故障)=P(高速车出现)P(高速车故障)+P(普通车出现)P(普通车故障)=20%0.002+80%0.01=0.0084P(已知有客车发生故障，是高速客车发生的)=P(高速客车出现)P(高速客车故障)P(有客车故障)=200.0020.0084=121例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时，被抽中的员工是傻狍子的概率。P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士出现)P(

7、猴博士通过)+P(傻狍子出现)P(傻狍子通过)=50100+501=50.5 P(已知有员工通过考核，是傻狍子通过的)=P(傻狍子出现)P(傻狍子通过)P(抽中的员工通过考核)=50150.5=1101概率论第二课七、 已知 FX(x)与 fX(x)中的一项，求另一项公式：fX(x)=FX(x) FX(x)=-xfX(x)dx例1：设X的分布函数 FX(x)=0，x1 lnx，1xe1，xe ，求X的密度函数 fX(x)。fX(x)=FX(x)=0，x1 (lnx)，1xe1，xe 0，x1 1x，1xe0，xe 1x，1x2时，FX(x)=-xfX(x)dx=1当0x2时，FX(x)=-xf

8、X(x)dx=-x24+x当x0时，FX(x)=-xfX(x)dx=-x0dx=0FX(x)=0，x2 八、 已知 FX(x)与 fX(x)中的一种，求P公式：P(aXb)=FX(b)-FX(a)=abfX(x)dx例1：设X的分布函数FX(x)= 0，x1 lnx，1xe1，xe ，求概率Px24P(x24)=P(-2x2) =FX(2)-FX(-2) =ln2-0 =ln2例2：设X的密度函数fX(x)=-12x+1，0x20，其他 ，求概率P(-1x2)P(-1x0(0)，求a和b。 FX(+)=1 a+be-(+)=1 a+be-=1 a+be+=1 a=1 F上(0)=F下(0) 0

9、=a+be-(0) 0=a+be0 a+b=0 a=1 a+b=0 a=1 b=-1例2：设X的密度函数 fX(x)=ax+1，0x20，其他 ，求常数a。 -+fX(x)dx=1 -0fX(x)dx+02fX(x)dx+2+fX(x)dx=1 -00dx+02ax+1dx+2+0dx=1 0+2a+2+0=1 解得 a=-12十、 求分布律例1：从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示从中取出的最大号码，求其分布律。X可能的取值为3，4，5，6P(X=3)=C22C11C30C63=120P(X=4)=C32C11C20C63=320P(X=5)=C42C11C10C63=

10、310P(X=6)=C52C11C63=12分布列：十一、 已知含有未知数的分布列，求未知数例1：已知分布列如下，求k的值。 120+320+310+k=1解得 k=12概率论第三课十二、 已知X分布列，求Y分布列例1：已知X的分布列，求Y=X2+1的分布列。X-202P0.40.30.3根据X的所有取值，计算Y的所有取值 Y=-22+1=5 Y=02+1=1 Y=22+1=5将表格里X那一列对应换成YY515P0.40.30.3化简一下：Y15P0.30.7例2：已知X的分布列，求Y=2X-1的分布列。X3456P12032031012根据X的所有取值，计算Y的所有取值 Y=23-1=5 Y

11、=24-1=7 Y=25-1=9 Y=26-1=11将表格里X那一列对应换成YX57911P12032031012也可以表示成：Y5791112032031012十三、 已知 FXx，求 FYy例1：设X的分布函数为 FXx=0，x0 x2，0x11，x1 ，求Y=2X的分布函数。 写出X=?YY=2X X=Y2 用?y替换FXx中的x，结果为 FX(?y) FXy2=0，y20 y22，0y211，y21 判断?y中是否有负号若无，则 FY(y)= FX(?y)若有，则 FY(y)=1- FX(?y) FY(y)=FXy2=0，y0 y24，0y21，y2 例2：设X的分布函数为 FXx=0，x0 x2，0x11，x1 ，求Y=-X的分布函数。写出X=?Y Y=-X X=-Y 用?y替换FXx中的x，结果为 FX(?y) FX(-y)=0，-y0 (-y)2，0-y11，-y1 判断?y中是否有负号若无，则 FY(y)= FX(?y)若有，则 FY(y)=1- FX(?y) FY(y)=1-FX(-y)=1，y0 1-y2，-1y00，y-1 十四、 已知 fXx，求 fYy例1：设X的密度函数为 fXx=1，0x10，