微分中值定理.ppt

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1,第三章微分中值定理与导数的应用,因为导数是函数随自变量变化的瞬时变,所以可借助导数来研究函数.,但每一点,的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新,的“桥梁”.,中值定理（MeanValueTheorem）,化率,2,1.Rolle定理,2.Lagrange中值定理,4.小结思考题,3.Chauchy中值定理,3.1微分中值定理,第三章微分中值定理与导数的应用,3,定义,极大值,（或极小值）,函数的极大值与极小值统称为,极值.,极值点.,一、Fermat引理,1.函数极值的定义,使函数取得极值的点x0（自变量）称为,4,函数的极大值、极小值,是局部性的.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大,于某个极大值.,只是一点附近的,5,Fermat引理,如果函数,可导,处取得极值,那么,6,费马（16011665）,法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的Fermat大定理:

Fermat大定理1994年得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究,最大值与最小值的方法中提炼出来的.,7,Rolle定理,

（1）,

（2）,（3）,罗尔Rolle,（法）1652-1719,使得,如,二、罗尔（Rolle）定理,8,

（1）定理条件不全具备,结论不一定成立.,Rolle定理,

（1）,

（2）,（3）,使得,9,例,证,

（1）,

（2）,定理的假设条件满足,结论正确,验证Rolle定理的正确性.,10,拉格朗日Lagrange（法）1736-1813,拉格朗日中值定理,

（1）,

（2）,使得,二、拉格朗日（Lagrange）中值定理,11,拉格朗日（17361813）,法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,12,几何解释:

证,分析:

弦AB方程为,13,作辅助函数,Lagrange中值公式,14,它表明了函数在两点处的函数值,的单调性及某些等式与不等式的证明.,在微分学中占有,极重要的地位.,与导数间的关系.,今后要多次用到它.,尤其可利用它研究函数,15,例1,证,如果f（x）在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.,记,利用微分中值定理,得,16,Lagrange公式可以写成下面的各种形式:

它表达了函数增量和某点的,但是增量、,这是十分方便的.,由（3）式看出,导数之间的直接关系.,导数是个等式关系.,Lagrange中值定理又称,Lagrange中值公式又称,有限增量公式.,有限增量定理.,注：

17,推论,证,有,由条件,即在区间I中任意两,点的函数值都相等,所以,Lagrange中值定理,

（1）,

（2）,使得,18,例2,证,由推论,自证,说明,欲证,只需证在,上,且,使,19,例3,证,由上式得,设,由,关键,满足拉氏定理的条件,20,柯西Cauchy（法）1789-1859,

（1）,

（2）,使得,三、柯西（Cauchy）中值定理,广义微分中值定理,21,柯西（17891857）,法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有27卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书7本,22,罗尔定理,Lagrange中值定理,罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理之间的关系:

推广,推广,这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.,而,成立;,不成立.,定理,也可能,23,例4,证,零点定理,即为方程的小于1的正实根.,

（1）存在性,24,

（2）唯一性,满足Rolle定理的条件.,矛盾,故假设不真!

25,例5.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,26,例6.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,27,例7,28,例8,29,例9,30,试证至少存在一点,使,例9,31,练习,分析,32,四、小结,常利用逆向思维,构造辅助函数,注意利用Lagrange中值定理证明不等式的步骤.,三个微分中值定理成立的条件;,各微分中值定理的关系;,证明存在某点,使得函数在该点的导数满足一个方程.,运用罗尔定理.,Lagrange中值定理的各种形式,其关系;,33,1.微分中值定理的条件、结论及关系,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,2.微分中值定理的应用,

（1）证明恒等式,

（2）证明不等式,（3）证明有关中值问题的结论,关键:

利用逆向思维设辅助函数,Fermat引理,34,思考与练习,1.填空题,1）函数,在区间1,2上满足Lagrange定理,条件,则中值,2）设,有,个根,它们分别在区间,上.,方程,35,4.思考:

在,即,当,时,问是否可由此得出,不能!

因为,是依赖于x的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示x从右侧以任意方式趋于0.,应用Lagrange中值定理得,上对函数,36,思考题,37,备用题,求证存在,使,1.设,可导，且,在,连续，,证：

因此至少存在,显然,在上满足Rolle定理条件,即,设辅助函数,使得,38,设,证明对任意,有,证：

2.,不妨设,