考研数学二真题及答案第512套.docx

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考研数学二真题及答案第512套

2017年考研数学二真题及答案

一．填空题（本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）

⎧⎪（cosx）x-2,

（1）已知f（x）=⎨

⎪⎩a,

x≠0,

x=0

在x=0处连续,则a=

（2）设y=ln,则y''=

（3）⎰

+∞

dx=

dx

（4）⎰0

=.

x2+4x+8

（5）已知向量组α1=（1,2,-1,1）,α2=（2,0,t,0）,α3=（0,-4,5,-2）的秩为2,则t=

二．选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）

b

（1）设x→0时,etanx-ex与xn是同阶无穷小,则n为__________

（A）1（B）2（C）3（D）4

（2）设在区间[a,b]上f（x）>0,f'（x）<0,f''（x）>0,记S1

=⎰af（x）dx,S2=

f（b）（b-a）,

S3=2[f（a）+f（b）]（b-a）,则__________

（A）S1

（C）S3

（3）已知函数y=

f（x）对一切x满足xf''（x）+3x[f'（x）]2=1-e-x,若f'（x）=0（x

≠0）,

00

则__________

（A）f（x0）是f（x）的极大值

（B）f（x0）是f（x）的极小值

（C）（x0,f（x0））是曲线y=

f（x）的拐点

（D）f（x0）不是f（x）的极值,（x0,f（x0））也不是曲线y=

f（x）的拐点

⎰

（4）设F（x）=x+2πesintsintdt,则F（x）__________

x

（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数

⎧2-x,

x≤0

⎧x2,

x<0

（5）设g（x）=íx+2,x>0,f（x）=í-x,

则g[f（x）]为__________

x≥0

⎩⎩

⎧2+x2,

x<0

⎧2-x2,

x<0

（A）⎨2-x,

x≥0（B）⎨2+x,

x≥0

⎧2-x2,

x<0

⎧2+x2,

x<0

（C）⎨2-x,

x≥0（D）⎨2+x,

x≥0

三．（本题共6小题,每小题5分,满分30分.）

（1）求极限lim

x→-∞

.

⎧x=arctantdy

（2）

⎩

设y=y（x）由⎨2y-ty2+et=5所确定,求dx.

（3）计算⎰e2x（tanx+1）2dx.

（4）求微分方程（3x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy）dy=0的通解.

（5）已知y=xex+e2x,y=xex+e-x,y

=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程

123

的三个解,求此微分方程.

⎡11-1⎤

（6）

⎢⎥

已知A=⎢011⎥,且A2-AB=E,其中E是三阶单位矩阵,求矩阵B.

⎢⎣00-1⎦⎥

四．（本题满分8分.）

⎧2x1+λx2-x3=1

λ取何值时,方程组⎪λx-x+x=2

无解,有惟一解或有无穷多解？

并在有无穷

⎨123

⎪4x+5x-5x

=-1

⎩

多解时写出方程组的通解.

五．（本题满分8分）

123

设曲线L的极坐标方程为r=r（θ）,M（r,θ）为L上任一点,M0（2,0）为L上一定点,

若极径OM0．OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.

六．（本题满分8分）

设函数f（x）在闭区间[0,1]上连续,在开区间（0,1）内大于零,并满足xf'（x）=

f（x）+

3ax2（a为常数）,又曲线y=

2

f（x）与x=1,y=0所围成的图形S的面积值为2,求函数

y=f（x）,并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

七．（本题满分8分.）

已知函数f（x）连续,且limf（x）=2,设ϕ（x）=⎰1f（xt）dt,求ϕ'（x）,并讨论ϕ'（x）的

连续性.

八．（本题满分8分）

x→0x0

ππ

就k的不同取值情况,确定方程x-

的结论.

sinx=k在开区间（0,）内根的个数,并证明你

22

参考答案

一．填空题（本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.）

-1

（1）【答案】：

e2

由于f（x）在x=0处连续,故

lnf（x）ln（cosx）x-2

x-2lncosx

f（0）=limf（x）=lime=lime

=lime

x→0

lncosx

x→0

lncosx

x→0

1（-sinx）

x→0

2lim

洛必达

2

limcosx

=lime

x→0

lim-

x

sinx

=ex→0x

-1

=ex→02x

=ex→0

2xcosx=e

2

（2）【答案】：

-

2

题目考察复合函数在某点处的高阶导数,按照复合函数求导法则具体计算如下：

2

y=1⎡⎣ln（1-x）-ln（1+x2）⎤⎦,

y'=1（-1-

2x）=-1

-x,

21-x

1+x2

2（1-x）1+x2

y''=-1

-1-x2

''=-3.

2（1-x）2

（1+x2）2

yx=02

（3）【答案】：

arcsin

+

C或2arcsin

2

+

C

2

题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下：

方法1：

原式=⎰dx

d（x-2）

=⎰2

1-（x-2）2

2

x-2

=arcsin+C.

2

方法2：

原式=⎰=2⎰

π

d

=2⎰

=2arcsin+C.

2

（4）

【答案】：

8

题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下：

d（x+2）

=

+∞dx

原式

1+∞2

=

⎰04+（x+2）2

1+∞

2⎰0

1

1+（x+2）2

2

πππ

=arctan

=（-）=.

2

（5）【答案】：

3

02248

方法1：

利用初等变换.

以α1,α2,α3为行构成3⨯4矩阵,对其作初等变换：

⎡α1⎤⎡12

-11⎤⎡12

-11⎤

=⎢α

⎥=⎢⎥[2]+[1]⨯（-2）⎢

-+-⎥

A⎢2⎥⎢20t

0⎥→

⎢04t

22⎥

⎢⎣α3⎥⎦

⎢⎣0

-45

-2⎥⎦

⎢⎣0

-45

-2⎥⎦

⎡12-11⎤

[3]+[2]⨯（-1）⎢⎥

→⎢0-4t+2-2⎥,

⎣⎢003-t0⎥⎦

⎡α1⎤

⎢⎥

因为r（A）=r⎢α2⎥=2,所以3-t=0,t=3.

⎢⎣α3⎥⎦

方法2：

利用秩的定义.

⎡α1⎤

⎢⎥

由于r⎢α2⎥=r（A）=2,则矩阵A中任一三阶子行列式应等于零.

⎢⎣α3⎥⎦

⎡α1⎤⎡12-11⎤

⎢α⎥=⎢20t0⎥,

⎢2⎥⎢⎥

应有

⎢⎣α3⎥⎦

⎢⎣0

-45

-2⎥⎦

12-112-112-1

20t

=0-4

t+2=0

-4t+2=0,

0-450-45003-t

解得t=3.

方法3：

利用线性相关性.

因为r（α,α

α）=r（A）=2,故α,α

α线性相关,⇔以αT,αT,αT组成的线性齐次方

123

123

123

程组αTx+αTx+αTx

=BX=0有非零解,因

112233

⎡120⎤

⎢20-4⎥

B=⎡⎣αT,αT,αT⎤⎦=⎢⎥

123⎢-1t5⎥

⎢⎥

⎣10-2⎦

⎛1⎫

[2]+[1]⨯（-2）

[2]⨯ç-⎪

⎡120⎤⎝4⎭⎡120⎤

[3]+[1]⎢-4-4⎥[3]+[2]⨯（-t-2）⎢011⎥

[4]+[1]⨯（-1）⎢0⎥[4]+[2]⨯（-2）⎢⎥

→⎢0t+25⎥→⎢00-t+3⎥,

⎢0-2-2⎥⎢000⎥

⎣⎦⎣⎦

故BX=0有非零解⇔t=3.

二．选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）【答案】：

（C）

题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下：

lim

x→0

etanx-ex

xn

=limexx→0

⋅etanx-x-1

xn

=tanx-x洛必达

sec2-1tan2xn=3

x21

lim

x→0xn

etanx-ex与x3同阶,故应选（C）.

（2）【答案】：

（D）

=lim

x→0

nxn-1

=lim

x→0

nxn-1

=lim=,

x→03x23

方法1：

用几何意义.由f（x）>0,f'（x）<0,f''（x）>0可知,曲线y=

f（x）是

上半平面的一段下降的凹弧,y=f（x）的图形大致如右图.y

S1=

⎰af（x）dx是曲边梯形ABCD的面积；

S2=f（b）（b-a）是矩形ABCE的面积；

1EC

S3=2[f（a）+f（b）]（b-a）是梯形ABCD的面积.由图可见S2

abx

O

方法2：

观察法.因为是要选择对任何满足条件的f（x）都成立的结果,故可以取满足条件的

1

特定的f（x）来观察结果是什么.例如取f（x）=

x∈[1,2],则

x2

S1=⎰1x2dx=2,S2=4,S3=8⇒S2

【评注】本题也可用分析方法证明如下：

b

由积分中值定理,至少存在一个点ξ,使⎰af（x）dx=

f（ξ）（b-a）,a<ξ

f'（x）<0,所以f（x）是单调递减的,故f（ξ）>

f（b）,从而

b

S1=⎰af（x）dx=f（ξ）（b-a）>f（b）（b-a）=S2.

1x

为证S3>S1,令ϕ（x）=2[f（x）+f（a）]（x-a）-⎰a

f（t）dt,则ϕ（a）=0,

ϕ'（x）=1f'（x）（x-a）+1（f（x）+f（a））-f（x）22

=1f'（x）（x-a）-1（f（x）-f（a））22

=1f'（x）（x-a）-1f'（η）（x-a）（a<η

=1（f'（x）-f'（η））（x-a）,2

由于f''（x）>0,所以f'（x）是单调递增的,故f'（x）>f'（η）,ϕ'（x）>0,即ϕ（x）在[a,b]上

单调递增的.由于ϕ（a）=0,所以ϕ（x）>0,x∈[a,b],从而

1b

ϕ（b）=2[f（b）+f（a）]（b-a）-⎰a

即S3>S1.因此,S2

f（t）dt>0,

如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证.

（3）【答案】：

（B）

题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下：

由f'（x）=0知x=x为f（x）的驻点.把x=x代入恒等式xf''（x）=1-e-x0,即

00000

--x0

f（x）=

.由于分子．分母同号,故f''（x）>,因此驻点

=为极小值点.应选

00xx0

0

（B）.

（4）【答案】：

（A）

由于函数esintsint是以2π为周期的函数,所以,

F（x）=⎰x+2πesintsintdt=⎰2πesintsintdt,

F（x）的值与x无关.不选D,（周期函数在一个周期的积分与起点无关）.

⎰

估计2πesintsintdt的值有多种方法.

0

方法1：

划分esintsint取值正．负的区间.

F（x）=⎰2πesintsintdt=⎰πesintsintdt+⎰2πesintsintdt

=πesintsintdt+πe-sinu（-sinu）du

00

=π（esint-e-sint）sintdt

0

当00,esint-e-sint>0,所以F（x）>0.选（A）.

方法2：

用分部积分法.

F（x）=2πesintsintdt=-2πesintdcost

00

=-esintcost2π+2πcostdesint

00

⎰⎰

=-e0（1-1）+2πesintcost2dt=2πesintcost2dt>0.

00

故应选（A）.

【评注】本题的方法1十分有代表性.

被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正．负即可.

（5）【答案】：

（D）

题目考察函数的复合问题,分清内层函数的定义域与值域,要注意内层函数的值域又构成了外层函数的定义域.

当x<0时,f（x）=x2>0,则g[f（x）]=f（x）+2=x2+2；

当x≥0时,f（x）=-x≤0,则g[f（x）]=2-f（x）=2-（-x）=2+x.

⎧x2+2,

故g[f（x）]=⎨

⎩2+x,

x<0

x≥0

因此应选（D）.

三．（本题共6小题,每小题5分,满分30分.）

∞

（1）

【分析】这是∞型的极限,可以设法约去分子．分母中极限为∞的因子,从而转化为确定

型的极限.于是分子．分母同除

.在计算过程中应注意x趋于负无穷.

分子．分母同除

注意

=-x（x<0）,则

原式=lim

x→-∞

==1.

1

（2）题目考察参数方程所确定的函数的微分法.

x

y'=yt',x'=1,

xt'1+t

t2

yt'可由第二个方程两边对t求导得到：

tt

2y'-2tyy'-y2+et=0,

解得y'=

y2-et

.由此,有

'（1+t2）（y2-et）

t2（1-ty）

yx2（1-ty）

（3）题目考察,不定积分的换元与分部积分法,难度不大,具体计算如下：

原式=⎰e2x（sec2x+2tanx）dx=⎰e2xsec2xdx+2⎰e2xtanxdx

分部

=⎰e2xdtanx+⎰tanxde2x=e2xtanx+C.

（4）题目考察齐次微分方程的通解,分别利用齐次方程的求解方法和凑全微分方法计算如下：

方法1：

所给方程是齐次方程.

令y=xu,则dy=xdu+udx,代入原方程得

3（1+u-u2）dx+x（1-2u）du=0,

分离变量得

1-2u1+u-u2

du=-

3dx,

x

d（1+u-u2）1

积分得⎰

1+u-u2

=-3⎰xdx,

即1+u-u2=Cx-3.

以u=y代入得通解x2+xy-y2=C.

xx

方法2：

用凑全微分的方法求解.由于

（3x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy）dy

=3x2dx+（yd（x2）+x2dy）-（y2dx+xd（y2））

=d（x3）+d（x2y）-d（xy2）

=d（x3+x2y-xy2）,

故通解为：

x3+x2y-xy2=C.

（5）y-y=e-x与y-y=e2x-e-x都是相应齐次方程的解,（y-y）+（y-y）

13121312

=e2x也是相应齐次方程的解,e-x与e2x是两个线性无关的相应齐次方程的解；而

2

y-e-x=xex是非齐次方程的解.下面求该微分方程：

方法1：

由e-x,e2x是齐次解,知r=-1,r

=2是特征方程的两个根,特征方程为

12

（r+1）（r-2）=0,即r2-r-2=0,

相应的齐次微分方程为：

y''-y'-2y=0.

设所求非齐次方程为：

y''-y'-2y=f（x）,把非齐次解xex代入,便得

f（x）=（xex）''-（xex）'-2（xex）=（1-2x）ex.

所求方程为：

y''-y'-2y=（1-2x）ex.

12

方法2：

由于通解为：

y=ce-x+ce2x+xex,求出

y'=-ce-x+2ce2x+（x+1）ex,y''=ce-x+4ce2x+（x+2）ex,

1212

并消去c,c,便得微分方程y''-y'-2y=（1-2x）ex.

12

⎡021⎤

⎢⎥

（6）【答案】：

⎢000⎥

⎢⎣000⎥⎦

由题设条件A2-AB=E,把A提出来得A（A-B）=E,因为

11-1

A=011=-1≠0,

00-1

由此知道A是满秩的,所以A可逆,两边左乘A-1,从而有A-B=A-1,B=A-A-1.

（或A2-AB=E,AB=A2-E,A可逆,两边左乘A-1,得B=A-1（A2-E）=A-A-1）.

用矩阵的初等变换求A-1.

⎡11-1100⎤[1]+[3]⨯（-1）⎡11010-1⎤

⎢⎥[2]+[3]⎢⎥

[AE]=⎢011010⎥→⎢010011⎥

⎢⎣00

-1001⎥⎦

⎢⎣00

-1001⎥⎦

[1]+[2]⨯（-1）⎡1001-1

-2⎤

[3]⨯（-1）

⎢⎥=⎡

-1⎤

→⎢010011⎥

⎣EA⎦

⎢⎣00100-1⎦⎥

⎡1-1-2⎤

⎢⎥

得A-1=⎢011⎥,

⎢⎣00-1⎦⎥

⎡11-1⎤⎡1-1-2⎤⎡021⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

从而得B=A-A-1=⎢011⎥-⎢011⎥=⎢000⎥.

四．（本题满分8分.）

⎢⎣0