考研数学二真题及答案第512套.docx

1、考研数学二真题及答案第512套2017年考研数学二真题及答案一填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (cos x)x-2 ,(1) 已知 f (x) = a,x 0,x = 0在 x = 0 处连续,则a = (2) 设 y = ln ,则 y = (3) +dx = dx(4) 0= . x2 + 4x + 8(5) 已知向量组1 = (1, 2, -1,1),2 = (2, 0, t, 0),3 = (0, -4, 5, -2) 的秩为 2,则t = 二选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合

2、题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) b(1) 设 x 0 时 , etan x - ex 与 xn 是 同 阶 无 穷 小 , 则 n 为 _(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2) 设在区间a, b 上 f (x) 0, f (x) 0, 记 S1= a f (x)dx, S2 =f (b)(b - a) , S3 = 2 f (a) + f (b)(b - a) , 则 _(A) S1 S2 S3 (B) S2 S3 S1 (C) S3 S1 S2 (D) S2 S1 S3 (3)已知函数 y =f (x) 对一切 x 满足 xf (x) + 3x f (x)2 =

3、 1- e- x ,若 f (x ) = 0(x 0), 0 0则 _(A) f (x0 ) 是 f (x) 的极大值 (B)f (x0 ) 是 f (x) 的极小值 (C)(x0 , f (x0 ) 是曲线 y =f (x) 的拐点 (D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0 , f (x0 ) 也不是曲线 y =f (x) 的拐点 (4) 设 F (x) = x+2 esin t sin tdt, 则 F (x)_x(A) 为 正 常 数 (B) 为 负 常 数(C) 恒 为 零 (D) 不 为 常 数 2 - x,x 0x2 ,x 0 , f (x) = -x, 则 g

4、f (x) 为_ x 0 2 + x2 ,x 02 - x2 ,x 0(A) 2 - x,x 0 (B) 2 + x, x 02 - x2 ,x 02 + x2 ,x 0, f (x) 0 可知,曲线 y =f (x) 是上半平面的一段下降的凹弧, y = f (x) 的图形大致如右图. yS1 =a f (x)dx 是曲边梯形 ABCD 的面积； S2 = f (b)(b - a) 是矩形 ABCE 的面积； 1 E CS3 = 2 f (a) + f (b)(b - a) 是梯形 ABCD 的面积. 由图可见 S2 S1 S3 ,应选(D). a b xO方法 2：观察法.因为是要选择对任

5、何满足条件的 f (x) 都成立的结果,故可以取满足条件的1特定的 f (x) 来观察结果是什么.例如取 f (x) =, x 1, 2,则 x2S1 = 1 x2 dx = 2 , S2 = 4 , S3 = 8 S2 S1 S3 . 【评注】本题也可用分析方法证明如下： b由积分中值定理,至少存在一个点 ,使a f (x)dx =f ( )(b - a), a b 成立,再由f (x) f (b), 从而 bS1 = a f (x)dx = f ( )(b - a) f (b)(b - a) = S2 . 1 x为证 S3 S1 ,令(x) = 2 f (x) + f (a)(x - a)

6、 - af (t)dt, 则(a) = 0, (x) = 1 f (x)(x - a) + 1 ( f (x) + f (a) - f (x) 2 2= 1 f (x)(x - a) - 1 ( f (x) - f (a) 2 2= 1 f (x)(x - a) - 1 f ()(x - a) (a 0 ,所以 f (x) 是单调递增的,故 f (x) f () , (x) 0 ,即(x) 在a, b 上单调递增的.由于(a) = 0, 所以(x) 0, x a, b ,从而 1 b(b) = 2 f (b) + f (a)(b - a) - a即 S3 S1 .因此, S2 S1 0 , 如

7、果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证. (3)【答案】：(B) 题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下： 由 f (x ) = 0 知 x = x 为 f (x) 的驻点. 把 x = x 代入恒等式 x f (x ) = 1- e- x0 , 即0 0 0 0 0- - x0f (x ) =.由于分子分母同号,故 f (x ) ,因此驻点= 为极小值点.应选0 0 x x00(B). (4)【答案】：(A) 由于函数esin t sin t 是以2 为周期的函数,所以, F (x) = x+2 esin t sin tdt = 2 esin t sin tdt , F

8、 (x) 的值与 x 无关.不选 D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关). 估计 2 esin t sin tdt 的值有多种方法. 0方法 1：划分esin t sin t 取值正负的区间. F (x) = 2 esin t sin tdt = esin t sin tdt + 2 esin t sin tdt= esin t sin tdt + e-sin u (-sin u)du0 0= (esin t -e-sin t ) sin tdt0当0 t 0 , esin t - e-sin t 0, 所以 F (x) 0 .选(A). 方法 2：用分部积分法. F (x) = 2 es

9、in t sin tdt = - 2 esin t d cos t0 0= - esin t cos t 2 + 2 cos tdesin t0 0 = -e0 (1-1) + 2 esin t cos t 2dt = 2 esin t cos t 2dt 0.0 0故应选(A). 【评注】本题的方法 1 十分有代表性. 被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正负即可. (5)【答案】：(D) 题目考察函数的复合问题,分清内层函数的定义域与值域,要注

10、意内层函数的值域又构成了外层函数的定义域. 当 x 0 ,则 g f (x) = f (x) + 2 = x2 + 2 ； 当 x 0 时, f (x) = -x 0 ,则 g f (x) = 2 - f (x) = 2 - (-x) = 2 + x . x2 + 2,故 g f (x) = 2 + x,x 0x 0,因此应选(D). 三(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) (1)【分析】这是 型的极限,可以设法约去分子分母中极限为 的因子,从而转化为确定型的极限.于是分子分母同除.在计算过程中应注意 x 趋于负无穷. 分子分母同除,注意= -x (x 0) ,则 原式= l

11、imx-= = 1 . 1(2)题目考察参数方程所确定的函数的微分法. xy = yt , x = 1 , xt 1+ tt 2yt 可由第二个方程两边对t 求导得到： t t2 y - 2tyy - y2 + et = 0 , 解得 y =y2 - et.由此,有 (1+ t 2 )( y2 - et )t 2(1- ty)yx 2(1- ty)(3)题目考察,不定积分的换元与分部积分法,难度不大,具体计算如下： 原式= e2 x (sec2 x + 2 tan x)dx = e2 x sec2 xdx + 2 e2 x tan xdx 分部= e2 xd tan x + tan xde2

12、x = e2 x tan x + C . (4)题目考察齐次微分方程的通解,分别利用齐次方程的求解方法和凑全微分方法 计算如下： 方法 1：所给方程是齐次方程. 令 y = xu ,则dy = xdu + udx ,代入原方程得 3(1+ u - u2 )dx + x(1- 2u)du = 0 , 分离变量得 1- 2u 1+ u - u2du = -3 dx , xd (1+ u - u2 ) 1积 分 得 1+ u - u2= -3 x dx , 即 1+ u - u2 = Cx-3 . 以u = y 代入得通解 x2 + xy - y2 = C . x x方法 2：用凑全微分的方法求解.

13、由于 (3x2 + 2xy - y2 )dx + (x2 - 2xy)dy = 3x2dx + ( yd (x2 ) + x2dy) - ( y2dx + xd ( y2 ) = d (x3 ) + d (x2 y) - d (xy2 ) = d (x3 + x2 y - xy2 ) , 故通解为： x3 + x2 y - xy2 = C . (5)y - y = e- x 与 y - y = e2 x - e- x 都是相应齐次方程的解, ( y - y ) + ( y - y ) 1 3 1 2 1 3 1 2= e2 x 也是相应齐次方程的解, e- x 与 e2 x 是两个线性无关的相

14、应齐次方程的解；而2y - e- x = xex 是非齐次方程的解.下面求该微分方程： 方法 1：由e- x , e2 x 是齐次解,知r = -1, r= 2 是特征方程的两个根,特征方程为 1 2(r +1)(r - 2) = 0 ,即r 2 - r - 2 = 0 , 相应的齐次微分方程为： y - y - 2 y = 0 . 设所求非齐次方程为： y - y - 2 y = f (x) ,把非齐次解 xex 代入,便得 f (x) = (xex ) - (xex ) - 2(xex ) = (1- 2x)ex . 所求方程为： y - y - 2 y = (1- 2x)ex . 1 2

15、方法 2：由于通解为： y = c e- x + c e2 x + xex ,求出 y = -c e- x + 2c e2 x + (x +1)ex , y = c e- x + 4c e2 x + (x + 2)ex , 1 2 1 2并消去c , c ,便得微分方程 y - y - 2 y = (1- 2x)ex . 1 20 2 1 (6)【答案】： 0 0 0 0 0 0由题设条件 A2 - AB = E ,把 A 提出来得 A( A - B) = E ,因为 1 1 -1A = 0 1 1 = -1 0 , 0 0 -1由此知道 A 是满秩的,所以 A 可逆,两边左乘 A-1 ,从而

16、有 A - B = A-1 , B = A - A-1 . (或 A2 - AB = E , AB = A2 - E, A 可逆,两边左乘 A-1 ,得 B = A-1 ( A2 - E ) = A - A-1 ). 用矩阵的初等变换求 A-1 . 1 1 -1 1 0 0 1+3(-1) 1 1 0 1 0 -1 2+3 A E = 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0-1 0 0 10 0-1 0 0 1 1+2(-1) 1 0 0 1 -1-23(-1) = -1 0 1 0 0 1 1 E A 0 0 1 0 0 -11 -1 -2 得 A-1 = 0 1 1 , 0 0 -11 1 -1 1 -1 -2 0 2 1 从 而 得 B = A - A-1 = 0 1 1 - 0 1 1 = 0 0 0 . 四(本题满分 8 分.) 0