届冲刺圆锥曲线选填100道.docx

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届冲刺圆锥曲线选填100道

2021届冲刺圆锥曲线选填

1.已知点F-c,0

c>0

且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2

+y2=c2交于点F和另一个点且点y2=4cx，则该双曲线的离心率是（）

A.

5

【解析】如图，

+5C.

2

D.5-1

5+12

2

设抛物线y2=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，

双曲线的右焦点为F'，由题意可知FF'为圆x2+y2=c2的直径，

∴设Px,y,x>0

y2=4cx,①

，则PF'⊥PF，且tan∠PFF'=b，

a

222

∴满足x+y=c,②，将①代入②得x2+4cx-c2=0，

y=b,③

x+ca

则x=-4c±25c=-2c±5c，

2

即x=

将x=

5-2c或x=-5-2c（舍去），

5-2c代入③，得y=b=y，

5c-2c+ca

即y=bc5-1，再将x,y代入①得，

a

5-1c

b2c25-12=

a2

b25-12

4c2

5-2，

即=4

a2

5-2，

∴b2=45-2=c2-a2=-

2

a2

5-12

a2e1，

5+12

解得e2=5+1，所以该双曲线的离心率是

2

，故选C.

2.已知P为椭圆

x2

4

+y2

3

=1上一个动点，过点P作圆x-1

2+y2=1的两条切线，切点分别是A，B，

则PA⋅PB的取值范围为（）

A.3,+∞

B.3,56

C.22-3,56

D.22-3,+∞

2299

【解析】如图，PA,PB的夹角为2α，则PA

=PB

=1．

tanα

∴

1

cos2α

PA⋅PB=PA

PBcos2α=tan2α⋅cos2α=sin2α⋅cos2α=

-

1+cos2α⋅cos2α．

1cos2α

令t=cos2α，

则y=1+cos2α⋅cos2α=t1+t=-3+1-t

+2≥22-

1-cos2α

-

3，当且仅当1-t=2，即

1t

t=1-2时等号成立，

1-t

1-t

∴PA⋅PB的最小值为22-3．

第1页共39页

1

又点P在椭圆的左端点时，PA⋅PB的值最大，此时sinα=3，

∴cos2α=1-2sin2α=7.

9

1+7

756

∴PA⋅PB的最大值为9×=.

∴

1-7

9

99

56

PA⋅PB的取值范围为[22-3，9]．

故选C．

x2y2

3.已知点F1（-c,0），F2（c,0）（c>0）是椭圆a2+b2=1（a>b>0）的左、右焦点，点P是这个椭圆上位

于x轴上方的点，点G是△PF1F2的外心，若存在实数λ，使得GF1+GF2+λGP=0，则当△PF1F2的面积为8时，a的最小值为（）

A.4B.43C.26D.43+2

【解析】由于外心在F1F2的垂直平分线上,故外心在y轴上,而GF1+GF2方向朝着y轴的负半轴,

故P点位于椭圆的上顶点,此时三角形面积为1⋅2c⋅b=8,bc=8.

2

所以a=b2+c2≥2bc=4,故选A.

4.已知点P是焦点为F的抛物线C:

y2=2pxp>0

上的一点，且PF

=10，点Q是直线l1:

2x-y+3

=0与l2:

x+2y-6=0的交点，若PQ⊥QF，则抛物线的方程为（）

A.y2=4xB.y2=4x或y2=36xC.y2=12xD.y2=12x或y2=28x

2

0y，

【解析】依题意，F（p,0）；设P（y,）

22p0

联立2x-y+3=0，解得x=0,y=3，

x+2y-6=0

故-1x-lnx=0，QF=（p

0y3；

-3）,QP=（

y2,-）

22

因为PQ⊥QF，

2p0

p

y2

y2

18

故QF⋅QP=（

-3）⋅（0,y-3）=0-3（y-3）=0，解得y=6，且P（

6）；

22p0400p

又由PF=10得，（18-p）2+36=10，解得p=2或p=18，

p2

故选：

B.

5.

设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，F1F2直角三角形，则E的离心率为（）

为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF1F2为

A.5-1

2

【解析】如图所示，

B.2-1C.2

2

D.2+1

第2页共39页

因为△PF1F2为直角三角形，所以∠PF1F2=900，

所以PF1

=2c,PF2

=22c，则2c+22c=2a，解得e=c=2-1，故选B

a

6.已知F是抛物线C:

y2=2pxp>0的焦点，抛物线C上动点A，B满足AF=4FB，若A，B的准线

上的射影分别为M，N且△MFN的面积为5,则AB=（）

A.9

4

B.13

4

C.21

4

D.25

4

【解析】过点A作x轴的垂线垂足于C，交NB的延长线于点D．

1y

设A

y2,

y2,=-

2y

B

，则MNyy.

2p1

2p212

∵S△MFN=5

∴y1-y2⋅p=10⋯⋯⋯①

∵△AFC∼△ABD

∴AF=AC，即4=y1

ABAD5y1-y2

∴y1=-4y2⋯⋯⋯②

∵==y2+p,=

=y2+p

2

AFAM1

2p

2FBBN2p2

1

2

4

③

∴y2+p=（y2+p）⋯⋯⋯

2p22p2

联立①②③解得y1=4，y2=-1，p=2

∴=y2+y2+

=25

p

AB

故选D

12

2p2p4

x2y2

7.已知双曲线C:

a2-b2=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0），A为双曲线C的右

支上一点，且AF1=2c，AF1与y轴交于点B，若F2B是∠AF2F1的平分线，则双曲线C的离心率e=

（）

A.5-1B.1+5

2

C.3+5

2

D.5

【解析】如图：

由题意得：

AF1

=F1F2，所以∠F1AF2=∠F1F2A，

又F1B

=F2B，所以∠BF1F2=∠BF2F1，

又F2B是∠AF2F1的平分线，所以∠BF1F2=∠AF2B，所以△BAF2∾△AF2F1，所以AF22=|AB|⋅F1F2，

即（2c-2a）2=|AB|⋅2c，所以|AB|=

2（c-a）2

，

c

第3页共39页

AB

||

由角平分线定理知，

BF

=AF2，则

FF

BF1

|AB|

+1=

F1F2

AF

+1，

1122

|AB|

AF2

2c-2a

2c（c-a）

2（c-a）2

所以

AF

=

FF

+AF

，所以|AB|=2c-2a+2c⋅2c=

2c-a=c，

1122

故c2-3ac+a2=0⇒e2-3e+1=0⇒e=3+5．

2

故选：

C．

8.已知椭圆

x2

4

+y2

3

=1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y=4x+m对称，则实数m的取

值范围是（）

A.-213,22

B.-213,213

C.-2,213

D.-23,23

1313

x2

y2

1313

22

1313

1313

【解析】椭圆

4+3

=1，即：

3x+4y-12=0，

设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），

则3x2+4y2-12=0，①

11

3x2+4y2-12=0②

22

①-②得：

3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，即3•2x0•（x1-x2）+4•2y0•（y1-y2）=0，

∴y1-y2=-3⋅x0=-1．

x1-x24y04

∴y0=3x0，代入直线方程y=4x+m得x0=-m，y0=-3m；因为（x0，y0）在椭圆内部，

∴3m2+4•（-3m）2<12，即3m2+36m2<12，解得-213

故选B．

1313

x2y2

9.已知椭圆C:

a2+b2=1a>b>0，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，

G为△F1PF2内一点，满足3PG=PF1+PF2，△F1PF2的内心为I，且有PM=（x-1）2+y2=

x2-2x+1+4-2x2=6-（x+1）2（其中λ为实数），则椭圆C的离心率e等于（）

A.1

3

B.

1

2

C.

2

3

D.

3

2

【解析】设Px0,y0,F1-c,0,F2c,0，

由3PG=PF1+PF2，可得G为△F1PF2的重心，

即有G点坐标为Gx0,y0，

33

由PM=（x-1）2+y2=x2-2x+1+4-2x2=6-（x+1）2，可得IG∥x轴，

即有I的纵坐标为y0，

3

在△F1PF2中，PF1

+PF2

=2a,F1F2

=2c，

则S△

=1FF⋅y．

F1PF2

2120

因为I为△F1PF2的内心，故有I的纵坐标即为内切圆半径，

所以S△

=1（PF+FF+PF）y0，

F1PF221123

故1FF⋅y=1（PF

+FF+PF）y0，

212021

123

第4页共39页

即1⋅2c⋅y=1（2a+2c）y0，

2023

整理得2c=a，

故椭圆C的离心率e=c=1．选B．

a2

x2y2

10.已知双曲线：

2-

a

b2=1a>0,b>0

的左右焦点分别为F1,F2，焦距为2c，直线y=3x+c与双

曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则双曲线的离心率为（）

A.2B.3C.2D.3+1

【解析】试题分析：

由直线y=3x+c与双曲线的一个交点M可知∠MFF=2∠MFF=60∘，

1221

sin∠MF1F2+∠MF2F1

则双曲线的离心率为e=2=3+1，故选D.

|sin∠MF1F2-∠MF2F1|

2

11.若随机变量ξ~N3,20192，且P（ξ≤1）=P（ξ≥a）.已知F为抛物线y2=4x的焦点，O为原点，点P

是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且|AF|=a，则|PA|+|PO|的最小值为（）

A.5B.13C.25D.213

【解析】∵随机变量ξ~N3,20192

∴1和a关于x=3对称，

∴a=5即|AF|=5，

设A为第一象限中的点，Ax,y

∵抛物线方程为：

y2=4x，F1,0

，且P（ξ≤1）=P（ξ≥a），

，

，

∴AF=x+1=5解得x=4即A4,4，

∴A4,4关于准线x=-1的对称点为A-6,4，

∵根据对称性可得：

PA=PA

∴|PA|+|PO|=PA

+|PO|≥AO=

-62+42=52=213

当且仅当A,P,O三点共线时等号成立.如图

故选：

D

12.过双曲线X的一个焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF的垂直平分线上，则双曲线C的离心率是（）

A.3B.3C.2D.2

【解析】因为双曲线X的一条渐近线为y=bx，且过其焦点F（c,0）的直线l与y=bx垂直，所以直

a

y=a（x-c）

a

222

线l的方程为：

y=a（x-c），所以由b可得垂足的横坐标为x=ac=ac=a．

bb

a2+b2c2c

y=ax

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ca2cc2

因为垂足恰好在线段OF的垂直平分线x=2上，所以c=2，即a2=2，所以双曲线C的离心率为e=2，故应选D．

13.已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD=45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C两点.若CD=

7AB，则双曲线Γ的离心率为（）

A.32

4

B.33

4

C.35

4

D.3+5

4

【解析】如图：

连接AC，BD，设双曲线的焦距AD=2c，实轴长为2a，则BD-AB=AC-CD=2a，

设AB=m，则CD=7m，BD=2a+m，AC=2a+7m，∠BAD=45°，∠ADC=135°，在△ABD中，由余弦定理及题设可得：

（2a+m）2=m2+4c2-22mc，

在△ACD中，由余弦定理及题设可得：

（2a+7m）2=49m2+4c2+142mc，整理得：

2（c2-a2）=m（2a+c），2（c2-a2）=7m（2a-c），

两式相结合得：

2a+c=7（2a-c），故62a=8c，

∴双曲线Γ的离心率为e=c=32.

a4

故选：

A.

14.过抛物线y2=2pxp>0

的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点

B，过点A作准线的垂线，垂足为H.若tan∠AFH=2，则AF=（）

BF

A.5

4

B.

4

3

C.

3

2

D.

2

【解析】如图，设准线与x轴的交点为M，过点F作FC⊥AH.由抛物线定义知AF=AH，

所以∠AHF=∠AFH=α，∠FAH=π-2α=∠OFB，BF

=MF=p，AF

=CF=CHtanα=ptanα，

cosπ-2αcosπ-2α

sinπ-2αsinπ-2αsinπ-2α

所以AF

BF

=tanα

tanπ-2α

=tanα=

-

tan2α

tan2α-12

=3.2

故选：

C

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x2y2

15.已知双曲线C:

a2-b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（）．

2+2

A.2B.2+2C.2D.

【解析】设以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P1（m,n）,m>0,n>0，

m2-n2=

2+2=2

a2b2

1，mnc

以F1F2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则m=n

c

2

代入可得：

2-

c2=c2-

c2=

21，2

2a2b

2a2（c-a）

221

（c2-a2）c2-a2c2=2a2（c2-a2）

c4-4a2c2+2a4=0，两边同时除以a4得：

e4-4e2+2=0，e2=4±8=2±2，双曲线离心率e>1,e2>1

2

e2=2+2

所以e=2+2

故选：

D

x2y2

16.双曲线a2-b2=1a>0，b>0的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，

△FAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AFB=30°．若该双曲线的离心率为e，则e2=

22

（）

A.11+43B.13+53C.16-63D.19-103

【解析】由题意，设BF2=2m，如图所示，

因为△FAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AFB=30∘，

由AF2

由BF2

2

-AF1

-BF1

=2a，所以AF1

=2a，所以BF1

2

=3m-2a，

=2m-2a，

所以AF1

+BF1

=AB，即3m-2a+2m-2a=m，

所以m=2a（3-1），

所以AF2

=3⋅2a（3-1）=2a（3-3），AF1

=2a（3-3）-2a=2a（2-3），

在直角△F1AF2中，AF12+AF22=4c2，即4a2（3-3）2+4a2（2-3）2=4c2，

222

c2

整理得（19-103）a=c，所以e=a2=19-103，故选D.

17.

已知抛物线C1：

y2=2px（p>0）与圆C2：

x2+y2-12x+11=0交于A，B，C，D四点.若BC⊥x轴，且线段BC恰为圆C2的一条直径，则点A的横坐标为（）

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A.11

6

B.3C.11

3

D.6

【解析】圆C2：

x2+y2-12x+11=0可化为x-62+y2=52，故圆心为6,0

x轴和线段BC恰为圆C2的一条直径，

，半径为5，由于BC⊥

故B6,-5,C6,5.将B点坐标代入抛物线方程得25=12p，故p=25，抛物线方程为y2=25x.

6a2

126

设A25,a

，由于BC是圆的直径，所对圆周角为直角，即AC⊥AB,也即AC⋅AB=0，所以

6-

6a2,-

5a

25

⋅6-

6a2,--

5a

25

=0，