届冲刺圆锥曲线选填100道.docx

1、届冲刺圆锥曲线选填100道2021 届冲刺圆锥曲线选填1.已知点 F -c,0 c 0且平行于双曲线渐近线的直线与圆 x2+ y2 = c2 交于点 F 和另一个点 且点 y2 = 4cx ，则该双曲线的离心率是 ( )A.5【解析】如图， + 5 C.2D. 5 - 1 5 + 1 22设抛物线 y2 = 4cx 的准线为 l，作 PQ l 于 Q，双曲线的右焦点为 F，由题意可知 FF 为圆 x2 + y2 = c2 的直径， 设 P x,y , x 0 y2 = 4cx, ，则 PF PF ，且 tanPFF = b ，a 2 2 2 满足 x + y = c , ，将代入得 x2 +

2、4cx - c2 = 0， y = b , x + c a则 x = - 4c 2 5 c =-2c 5c，2即 x = 将 x = 5 - 2 c 或 x = - 5 - 2 c( 舍去 )，5 - 2 c 代入，得 y = b = y ，5c - 2c + c a即 y = bc 5 - 1 ，再将 x,y 代入得，a 5 - 1 c b2 c2 5 - 1 2 =a2 b2 5 - 1 24c2 5 - 2 ，即 = 4 a25 - 2 ， b2 = 4 5 - 2 = c2 - a 2 = -2a2 5 - 1 2a2 e 1， 5 + 1 2解得 e2 = 5 + 1 ，所以该双曲线

3、的离心率是2，故选 C.2.已知 P 为椭圆 x24+ y23= 1 上一个动点，过点 P 作圆 x - 12 + y2 = 1 的两条切线，切点分别是 A，B， 则 PA PB 的取值范围为 ( )A. 3 , + B. 3 , 56C. 2 2 - 3, 56D. 2 2 - 3, + 2 2 9 9【解析】如图，PA,PB 的夹角为 2，则 PA= PB= 1 tan 1 c o s2 PA PB = PA PB cos2 = tan2 cos2 = sin2 cos2 =- 1 + c os 2 cos21 cos2令 t = cos2，则 y = 1 + c os 2 cos2 =

4、t 1 + t =-3 + 1 - t+ 2 2 2 -1 - cos2-3，当且仅当 1 - t = 2 ，即1 tt = 1 - 2 时等号成立，1 - t1 - t PA PB 的最小值为 2 2 - 3第 1 页 共 39 页 1又点 P 在椭圆的左端点时，PA PB 的值最大，此时 sin = 3 ， cos2 = 1 - 2sin2 = 7 .9 1 + 77 56 PA PB 的最大值为 9 = . 1 - 799 9 56PA PB 的取值范围为 2 2 - 3，9 故选 C x2 y23.已知点 F1( -c,0)，F2(c,0) (c 0) 是椭圆 a2 + b2 = 1(

5、a b 0) 的左、右焦点，点 P 是这个椭圆上位 于 x 轴上方的点，点 G 是 PF1F2 的外心，若存在实数 ，使得 GF1 + GF2 + GP = 0，则当 PF1F2 的面积为 8 时，a 的最小值为 ( )A. 4 B. 4 3 C. 2 6 D. 4 3 + 2 【解析】由于外心在 F1F2 的垂直平分线上, 故外心在 y 轴上, 而 GF1 + GF2 方向朝着 y 轴的负半轴,故 P 点位于椭圆的上顶点, 此时三角形面积为 1 2c b = 8,bc = 8.2所以 a = b2 + c2 2bc = 4, 故选 A.4.已知点 P 是焦点为 F 的抛物线 C : y2 =

6、 2px p 0上的一点，且 PF= 10，点 Q 是直线 l1 : 2x - y + 3= 0 与 l2 : x + 2y - 6 = 0 的交点，若 PQ QF ，则抛物线的方程为 ( )A. y2 = 4x B. y2 = 4x 或 y2 = 36x C. y2 = 12x D. y2 = 12x 或 y2 = 28x20 y ，【解析】依题意，F( p ,0)；设 P( y , )2 2p 0 联立 2x - y + 3 = 0 ，解得 x = 0,y = 3，x + 2y - 6 = 0 故 - 1 x - lnx = 0，QF = ( p 0 y 3 ；, - 3),QP = (

7、y2 , - )2 2因为 PQ QF ，2p 0 p y2 y2 18故 QF QP = (, - 3) ( 0 ,y - 3) = 0 - 3(y - 3) = 0，解得 y = 6，且 P(,6)；2 2p 0 4 0 0 p又由 PF = 10 得， ( 18 - p )2 + 36 = 10，解得 p = 2 或 p = 18，p 2故选：B.5.设椭圆 E 的两焦点分别为 F1，F2，以 F1 为圆心， F1F2直角三角形，则 E 的离心率为 ( )为半径的圆与 E 交于 P，Q 两点，若 PF1F2 为A. 5 - 12【解析】如图所示，B. 2 - 1 C. 22D. 2 +

8、1第 2 页 共 39 页因为 PF1F2 为直角三角形，所以 PF1F2 = 900，所以 PF1= 2c, PF2= 2 2c，则 2c + 2 2c = 2a，解得 e = c = 2 - 1，故选 Ba 6.已知 F 是抛物线 C : y2 = 2px p 0 的焦点，抛物线 C 上动点 A，B 满足 AF = 4FB，若 A，B 的准线上的射影分别为 M ，N 且 MFN 的面积为 5, 则 AB = ( )A. 94B. 134C. 214D. 254【解析】过点 A 作 x 轴的垂线垂足于 C ，交 NB 的延长线于点 D1 y设 A y2 , y2 , = -2 yB，则 MN

9、 y y .2p 12p 2 1 2 SMFN = 5 y1 - y2 p = 10 AFC ABD A F = A C ，即 4 = y 1 AB AD 5 y1 - y2 y1 =-4y2 = = y2 + p , = y2 + p2AF AM 12p2 FB BN 2p 2124 y2 + p = ( y2 + p ) 2p 2 2p 2联立解得 y1 = 4，y2 =-1，p = 2 = y2 + y2 += 25p AB故选 D1 22p 2p 4 x2 y27.已知双曲线 C : a2 - b2 = 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1( -c,0),F2(c,0)，A

10、为双曲线 C 的右支上一点，且 AF1 = 2c，AF1 与 y 轴交于点 B，若 F2B 是 AF2F1 的平分线，则双曲线 C 的离心率 e =( )A. 5 - 1 B. 1 + 52C. 3 + 52D. 5【解析】如图： 由题意得： AF1= F1F2 ，所以 F1AF2 = F1F2A，又 F1B= F2B ，所以 BF1F2 = BF2F1，又 F2B 是 AF2F1 的平分线，所以 BF1F2 = AF2B， 所以 BAF2 AF2F1，所以 AF2 2 = |AB| F1F2 ，即 (2c - 2a)2 = |AB| 2c，所以 |AB| = 2 (c - a) 2，c第 3

11、 页 共 39 页 A B | |由角平分线定理知，BF= A F 2 ，则 F F B F 1|AB|+ 1 = F 1 F2 AF+ 1， 1 1 2 2 |A B | A F 2 2 c - 2 a 2c ( c - a ) 2 (c - a) 2所以 AF= F F+ AF，所以 |AB| = 2c - 2a + 2c 2c =2c - a = c ，1 1 2 2故 c2 - 3ac + a2 = 0 e2 - 3e + 1 = 0 e = 3 + 5 2故选：C8.已知椭圆 x24+ y23= 1，若此椭圆上存在不同的两点 A，B 关于直线 y = 4x + m 对称，则实数 m

12、的取值范围是 ( )A. - 2 1 3 , 2 2B. - 2 1 3 , 2 1 3C. - 2 , 2 1 3D. - 2 3 , 2 313 13 x2 y213 132 213 1313 13【解析】椭圆4 + 3= 1，即：3x + 4y - 12 = 0，设椭圆上两点 A(x1，y1)、B(x2，y2) 关于直线 y = 4x + m 对称，AB 中点为 M (x0，y0)，则 3x2 + 4y2 - 12 = 0，1 13x2 + 4y2 - 12 = 0 2 2 - 得：3(x1 + x2) (x1 - x2) + 4(y1 + y2) (y1 - y2) = 0，即 32x

13、0 (x1 - x2) + 42y0 (y1 - y2) = 0， y1 - y 2 =- 3 x0 =- 1 x1 - x2 4 y0 4 y0 = 3x0，代入直线方程 y = 4x + m 得 x0 =-m，y0 =-3m ；因为 (x0，y0) 在椭圆内部， 3m2 + 4 ( -3m)2 12，即 3m2 + 36m2 12，解得 - 2 1 3 m b 0 ，F1，F2 为其左、右焦点，P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点， G 为 F1PF2 内一点，满足 3PG = PF1 + PF2，F1PF2 的内心为 I ，且有 PM = (x - 1)2 + y2 =x2 - 2x

14、+ 1 + 4 - 2x2 = 6 - (x + 1)2( 其中 为实数 )，则椭圆 C 的离心率 e 等于 ( )A. 13B. 12C. 23D. 32【解析】设 P x0,y0 ,F1 -c,0 ,F2 c,0 ， 由 3PG = PF1 + PF2，可得 G 为 F1PF2 的重心，即有 G 点坐标为 G x0 , y0 ，3 3由 PM = (x - 1)2 + y2 = x2 - 2x + 1 + 4 - 2x2 = 6 - (x + 1)2 ，可得 IG x 轴，即有 I 的纵坐标为 y0 ，3在 F1PF2 中， PF1+ PF2= 2a, F1F2= 2c，则 S = 1 F

15、 F y F1PF22 1 2 0因为 I 为 F1PF2 的内心，故有 I 的纵坐标即为内切圆半径，所以 S = 1 ( PF + F F + PF ) y0 ，F1PF2 2 1 1 2 3故 1 F F y = 1 ( PF+ F F + PF ) y0 ，2 1 2 0 2 11 2 3第 4 页 共 39 页即 1 2c y = 1 (2a + 2c) y0 ，2 0 2 3整理得 2c = a，故椭圆 C 的离心率 e = c = 1 选 Ba 2 x2 y210.已知双曲线： 2 -ab2 = 1 a 0,b 0的左右焦点分别为 F1,F2，焦距为 2c，直线 y = 3 x +

16、 c 与双曲线的一个交点 M 满足 MF1F2 = 2MF2F1，则双曲线的离心率为 ( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 + 1【解析】试题分析：由直线 y = 3 x + c 与双曲线的一个交点 M 可知 MF F = 2MF F = 60，1 2 2 1sin M F 1 F 2 + M F2 F 1则双曲线的离心率为 e = 2 = 3 + 1，故选 D.|sin M F 1 F 2 - M F2 F 1 |211.若随机变量 N 3,20192 ，且 P( 1) = P( a). 已知 F 为抛物线 y2 = 4x 的焦点，O 为原点，点 P是抛物线准线上一动点，若点 A 在

17、抛物线上，且 |AF| = a，则 |PA| +|PO| 的最小值为 ( )A. 5 B. 13 C. 2 5 D. 2 13【解析】 随机变量 N 3,20192 1 和 a 关于 x = 3 对称， a = 5 即 |AF| = 5，设 A 为第一象限中的点，A x,y 抛物线方程为：y2 = 4x，F 1,0，且 P( 1) = P( a)， AF = x + 1 = 5 解得 x = 4 即 A 4,4 ， A 4,4 关于准线 x =-1 的对称点为 A -6,4 ， 根据对称性可得： PA = PA |PA| +|PO| = PA + |PO| A O = -6 2 + 42 =

18、52 = 2 13当且仅当 A ,P,O 三点共线时等号成立 . 如图故选：D12.过双曲线 X 的一个焦点 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段 OF 的垂直平分线上， 则双曲线 C 的离心率是 ( )A. 3 B. 3 C. 2 D. 2【解析】因为双曲线 X 的一条渐近线为 y = b x，且过其焦点 F(c,0) 的直线 l 与 y = b x 垂直，所以直a y = a (x - c)a2 2 2线 l 的方程为：y = a (x - c)，所以由 b 可得垂足的横坐标为 x = a c = a c = a b ba2 + b2 c2 c y = a x第 5 页

19、共 39 页 c a2 c c2因为垂足恰好在线段 OF 的垂直平分线 x = 2 上，所以 c = 2 ，即 a2 = 2，所以双曲线 C 的离心率为 e = 2 ，故应选 D13.已知梯形 ABCD 满足 AB CD，BAD = 45，以 A，D 为焦点的双曲线 经过 B，C 两点 . 若 CD =7AB，则双曲线 的离心率为 ( )A. 3 24B. 3 34C. 3 54D. 3 + 54【解析】如图：连接 AC ，BD，设双曲线的焦距 AD = 2c，实轴长为 2a，则 BD - AB = AC - CD = 2a，设 AB = m，则 CD = 7m，BD = 2a + m，AC

20、= 2a + 7m，BAD = 45，ADC = 135，在 ABD 中，由余弦定理及题设可得：(2a + m)2 = m2 + 4c2 - 2 2mc，在 ACD 中，由余弦定理及题设可得：(2a + 7m)2 = 49m2 + 4c2 + 14 2mc， 整理得： 2(c2 - a2) = m( 2a + c)， 2(c2 - a2) = 7m( 2a - c)，两式相结合得： 2a + c = 7( 2a - c)，故 6 2a = 8c， 双曲线 的离心率为 e = c = 3 2 .a 4故选：A.14.过抛物线 y2 = 2px p 0的焦点 F 作直线与抛物线在第一象限交于点 A

21、，与准线在第三象限交于点B，过点 A 作准线的垂线，垂足为 H . 若 tanAFH = 2，则 A F = ( ) BFA. 54B. 43C. 32D.2【解析】如图，设准线与 x 轴的交点为 M ，过点 F 作 FC AH . 由抛物线定义知 AF = AH ，所以 AHF = AFH = ，FAH = - 2 = OFB， BF= M F = p ， AF= C F = C H t an = p t an ，cos - 2 cos - 2sin - 2 sin - 2 sin - 2所以 A F BF= ta n tan - 2= ta n =-tan2 ta n 2 - 1 2= 3

22、 .2故选：C第 6 页 共 39 页 x2 y215.已知双曲线 C : a2 - b2 = 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2 为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为 ( )2 + 2A. 2 B. 2 + 2 C. 2 D.【解析】设以 F1F2 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 P1(m,n),m 0,n 0， m2 - n2 =2 + 2 = 2a2 b21，m n c以 F1F2 为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则 m = n c 2代入可得： 2 - c2 = c 2 - c 2 =2 1， 22a 2

23、b2a 2(c - a )2 2 1(c2 - a2)c2 - a2c2 = 2a2(c2 - a2)c4 - 4a2c2 + 2a4 = 0，两边同时除以 a4 得：e4 - 4e2 + 2 = 0，e2 = 4 8 = 2 2 ，双曲线离心率 e 1,e2 12e2 = 2 + 2所以 e = 2 + 2故选：D x2 y216.双曲线 a2 - b2 = 1 a 0，b 0 的左右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线交曲线左支于 A，B 两点，F AB 是以 A 为直角顶点的直角三角形，且 AF B = 30若该双曲线的离心率为 e，则 e2 =2 2( )A. 11 + 4 3 B

24、. 13 + 5 3 C. 16 - 6 3 D. 19 - 10 3【解析】由题意，设 BF2 = 2m，如图所示，因为 F AB 是以 A 为直角顶点的直角三角形，且 AF B = 30，由 AF2由 BF22- AF1- BF1= 2a，所以 AF1= 2a，所以 BF12= 3m - 2a，= 2m - 2a，所以 AF1+ BF1= AB ，即 3m - 2a + 2m - 2a = m，所以 m = 2a( 3 - 1)，所以 AF2= 3 2a( 3 - 1) = 2a(3 - 3)， AF1= 2a(3 - 3) - 2a = 2a(2 - 3)，在直角 F1AF2 中， AF

25、1 2 + AF2 2 = 4c2，即 4a2(3 - 3)2 + 4a2(2 - 3)2 = 4c2，2 2 2 c2整理得 (19 - 10 3)a = c ，所以 e = a2 = 19 - 10 3 ， 故选 D.17.已知抛物线 C1 ：y2 = 2px(p 0) 与圆 C2：x2 + y2 - 12x + 11 = 0 交于 A，B，C ，D 四点 . 若 BC x 轴，且线段 BC 恰为圆 C2 的一条直径，则点 A 的横坐标为 ( )第 7 页 共 39 页A. 116B. 3 C. 113D. 6【解析】圆 C2 ：x2 + y2 - 12x + 11 = 0 可化为 x - 6 2 + y2 = 52，故圆心为 6,0x 轴和线段 BC 恰为圆 C2 的一条直径，半径为 5，由于 BC 故 B 6, - 5 ,C 6,5 . 将 B 点坐标代入抛物线方程得 25 = 12p，故 p = 25 ，抛物线方程为 y2 = 25 x. 6 a 212 6 设 A 25 ,a，由于 BC 是圆的直径，所对圆周角为直角，即 AC AB, 也即 AC AB = 0，所以 6 - 6 a 2 , -5 a25 6 - 6 a 2 , - -5 a25= 0，