计算固体09_精品文档.ppt

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第九章边界元法,边界元法是继有限元法之后，在二十世纪七十年代发展起来的一种求解边值问题的数值方法固体力学及许多其他的物理学科，都涉及边值问题，即待求函数在域内要满足方程，在边界上要满足边界条件,值得注意的是，所给的边界条件只包含边界值的一部分，未给的边界值是待求量例如，只给出边界上的表面力，而位移是待求量，或只给出边界点的位移，表面力是待求量,当用有限元求解边值问题时，采用的是在域内划分单元，再对每个单元建立统一的简单插值关系，用节点参数表示单元内任一点的待求函数值，经过对基本方程按所给边界条件进行处理，最后求出节点参数使问题得到解,边界元法不同，它是用一种解的叠加来近似满足边界值要求的方法，所用的解在域内已满足泛定的方程，因为它们本来就是一种特殊问题的解析解剩下的问题是满足边界条件，为此可用若干个解的叠加来达到此目的,于是要在边界上划分单元，在每个单元内用节点的边界值代替单元的边界值，即用有限个节点的边界值近似代替无限多个边界点上的边界值.然后用有限个解的叠加来满足这些节点上的边界条件，并据此求出解中的待定量,此后，域内各点的近似解，也由这些已定的解叠加而得此即为边界元的基本思想，其名称即来源于只在边界上划分单元由上述基本思想可以看出，边界单元法在其构成中有下列三个要素：

（一）解的特性及其选用解也称基本解大多数都是前人已经得到的带奇异性的某个特殊问题的解例如，在无限大的弹性介质中的某一点受到集中力作用时的凯尔文（Kelvin）解，以及在无限大的弹性介质中沿某个带状平面的两侧有一定量的相对位移问题的克劳契（Crouch）解等等,

（二）离散化思想的运用及边界单元的选择上面已经说过，实际物体的边界上有无穷多个点，欲用有限个基本解的叠加使每个点的边界条件都得到满足是不可能的边界元的思想就是在解决这一问题中运用离散化的思想，即把边界划分为若干个单元，并指定其中一个或几个点为节点,例如，每个边界单元（小段的线或小块的面）只用一个节点，则认为单元内各点的边界值（已经给定的表面力或表面位移）都与该节点的边界值相同，即使实际上不如此也这样近似处理这当然会带来误差，但只要单元划分得足够小，即可保证一定的精度,如果一个边界单元是一个线段，取其首尾两个点为节点，则认为单元内任一点的边界值可由此二个节点的边界值按线性插值关系得到即认为它们是按线性规律分布的,显然，一个单元内节点越多，插值函数的阶次越高，越能正确反映实际上单元内各点边界值的分布规律，但付出的代价是计算复杂、计算量增加,（三）叠加方法与求解技术当单元划分完毕并确定了节点的位置之后，剩下的主要问题就是用有限个基本解叠加起来，使其在节点处的结果等于节点上已给定的边界值，并由此列出基本方程，求出基本解中的待定量,9.1直接边界元法的位移法,文献记载最早的直接边界元方法是Rizzo于1967年提出来的，他在文章中对于经典的弹性问题提出了一种解法，利用虚功原理推导出弹性力学问题的边界积分方程，并讨论了数值求解的方法，随后Cruse于1969年也完成了直接边界元法若干重要公式的推导，给出了弹性体区域内部应力的求解公式,随后，他们相继给出关于直接边界元方法的重要论文，着重讨论了三维问题的边界积分方程的施行和三维热弹性问题的计算方法，为直接边界元方法奠定了基础1978年在英国的Southampton召开了边界元法的第一届国际会议，并出版了第一本有关边界元方法的文集，边界元法得到了公认并蓬勃发展起来,最早提出并广泛应用的直接边界元法是将区域内的位移用边界上的位移和面力表达出来，给出边界积分方程，然后将求解的区域边界划分成若干单元，将边界积分方程在边界上离散化，利用数值积分方法将其化为包含边界上未知和已知位移和面力分量的方程组，代入已知的边界位移和面力条件，求解方程组，得到边界上未知的位移和面力分量。

然后利用边界积分方程求出区域内的位移和应力由于区域内只出现位移变量，我们称之为位移法，以区别于后面要介绍的应力法直接边界积分方程可以用不同的方式导出，这里用功的互等定理我们用弹性力学平面应变问题说明直接边界元法的求解过程,对于各向同性弹性平面应变问题，弹性力学的基本方程和边界条件汇总如下：

平衡方程：

应变位移关系：

应力、应变关系：

面力边界条件：

位移边界条件：

图9.1,考虑图9.1的区域，为区域内部，为区域的边界，,其中和分别为已知位移分量的边界和已知面力分量的边界,若不考虑体力，二维弹性力学的边值问题可以表示为：

将上面的第一个方程的两边乘以基本解，并在区域上积分：

其中称为基本解，它表示单位集中力所产生的位移场，即在点有一个方向的集中力在任一点的方向所产生的位移对于面力同样如此，平面应变问题的基本解为Kelvin解,其中，,即单位力作用点（即点）到所考虑的（或点）之间的距离，为外表面的法线，是点的表面法线的方向余弦对前面的积分方程应用Green公式：

则有：

由边界条件可知,又因基本解满足方程,把上式和前面的两个边界条件代入积分方程，并把下标换成可得,故有,这就是区域内任意点的位移分量和边界上的表面力分量，位移分量之间的关系式，如果求出边界上的所有未知的面力和位移分量，区域内的任意点的位移分量都可以通过上式求出这个公式在弹性理论中叫索米格里安纳（Somigliana）恒等式，也可以用加权余量法来推导得到,上式只能用于区域内，因为当点位于边界并趋于边界上的点时，基本解会产生奇异性我们需要将上式推广到边界上，为此，以点为圆心，为半径作一圆弧（图9.2），上式可以写为：

图9.2,记,当时求的值，,因是与边界上坐标有关的量，而因而有,因方向与的方向相同，因而有,对于光滑边界，在和则有：

即：

把上式代入前面的表达式式可以得到,其中：

而表示Cauchy主值积分前一个公式即为所需的边界积分方程由此式可求出边界上的全部未知位移分量和表面力分量再由前面的积分方程式就可得到域内任一给定点的位移,一般情况下，很难用解析的方法求得边界积分方程的解，因此求助于数值解法，这就促成了边界元法的发展具体的边界元离散过程这里就不详细介绍了,值得注意的是，在计算积分时要碰到奇异积分，需要采用较有效的数值积分，以取得精确的计算结果，这方面内容在一些边界元的参考书或文献中均有专门的探讨,9.2直接边界元法的应力法,前面介绍的是Rizzo和Cruse提出的边界积分方程法，它的特点是将求解弹性体中某点的位移用边界上的位移和面力表达出来这种类型的边界积分方程在已知位移的边界上是第一类积分方程，在已知外力的边界上是第二类积分方程,经验表明，利用第二类积分方程得到的线性代数方程，对角元素的优势较强，便于数值计算为了在已知位移的边界上取得较好的数值结果，胡海昌提出了另一种边界积分方程，它将弹性体中某点的应力用边界上的位移和面力表达出来，这样得到的边界积分方程在已知位移的边界上是第二类积分方程，在已知外力的边界上是第一类积分方程,所提出的边界积分方程与Rizzo型边界积分方程在积分方程的类型上正好互为补充，我们称为应力型边界积分方程我们仍从弹性力学的基本方程出发：

边界上的平衡条件为：

应变能密度为：

如果和严格满足前面几个方程，则称它们为一组精确对应的弹性力学状态，对于精确状态分别沿和求导数，就可以得到两组精确状态,在此要注意，并不是由直接求导得出，而是由平衡条件得出的对于原精确状态和上式中的一组精确状态，由虚功原理可得到：

由前面二个公式可得：

由此可得：

由上两式可以得到：

上式是弹性力学平面问题的守恒积分，亦称单场守恒积分下面推导分布载荷情况下的双场守恒积分设,为两个精确的力学状态，考虑它们的线性组合：

其中为任意常数，显然，这也是一组精确状态现在将这个状态代入前式,由于上式是的恒等式，考虑两边的各项次数：

将上式展开后，比较二边的同次数项，对于常数项，项和项有：

显然，前两式就是两个状态的单场守恒积分，是恒等式，由于是任意取的，因此，第三式也是恒等式因为它对应着两组精确状态，所以称之为双场守恒积分显然有：

因此，第三式可化为：

在上述双场守恒积分式中的两组状态分别取为待定解和基本解,基本解表示弹性体在点承受方向的单位集中力时的解，,其中为Kronecker符号，是奇点在点Dirac函数,这样，上述双场守恒积分式可写为：

将代入：

这就得到了用区域边界积分表示的区域内位移导数的表达式我们以平面应变问题为例将上式作进一步整理先处理：

展开下式：

在区域边界上,而,将此两式代入前式然后再代入再前一式：

同理可得：

将此两式代入弹性平面应变的本构关系，可得到应力的表达式，,与位移边界积分方程相同，当在边界上时，可以从前面的位移公式导出下列边界积分方程：

由于基本解和待定解的互换性，此两式也可以写成,将此两式或前两式代入弹性平面应变的本构关系，可得到边界应力的表达式，,再经过一系列数学运算后可化为：

其中：

前面两式就是要求的弹性力学平面应变问题的应力边界积分方程用边界上离散的方法可以从已知的位移和应力求出未知的应力和位移再从前面的公式求出域内的应力这种边界元的应用实例可参阅有关的文献,在边界元法中还有间接法因为在每一段边界上只能给出一部分边界值，另一部分边界值为待求量，如果先根据已知的边界值求出解答，再由所得解求未知的边界值，也即基本方程中不包括未知的边界值，则称为间接法在前面所讲的直接法中，将未知的边界值列入基本方程一次解出，故称为直接法当前直接法用得较多，间接法用得很少，所以，这里就不再介绍间接法了,