等差数列的前n项和性质及应用_精品文档.ppt

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等差数列的前n项和的性质及应用,等差数列的前n项和公式:

形式1:

形式2:

复习回顾,1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？

当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则Sn=An2+Bn,令,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,当n=7时,Sn取最大值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,an=13+（n-1）（-2）=2n+15,由,得,a7+a8=0,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,当n=7时,Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又d=20,a70,a80,求等差数列前n项的最大（小）的方法,方法1:

由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.,方法2:

利用an的符号当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an0且an+10求得.,练习:

已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为（）A.12B.13C.12或13D.14,C,2.等差数列an前n项和的性质,性质1:

Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:

若Sm=p,Sp=m（mp）,则Sm+p=,性质3:

若Sm=Sp（mp）,则Sp+m=,性质4:

（1）若项数为偶数2n,则S2n=n（a1+a2n）=n（an+an+1）（an,an+1为中间两项）,此时有:

S偶S奇=,n2d,0,nd,（m+p）,性质4:

（1）若项数为奇数2n1,则S2n-1=（2n1）an（an为中间项）,此时有:

S偶S奇=,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:

若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5:

为等差数列.,an,例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=（）A.63B.45C.36D.27,例2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=（）A.85B.145C.110D.90,B,A,3.等差数列an前n项和的性质的应用,例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为.,110,等差数列an前n项和的性质的应用,例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:

27,则公差为.,例6.（09宁夏）等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.,例7.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|=.,5,10,153,等差数列an前n项和的性质的应用,例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.

（1）求公差d的取值范围;

（2）指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:

（1）由已知得,等差数列an前n项和的性质,

（2）,Sn图象的对称轴为,由

（1）知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,练习1已知等差数列25,21,19,的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.,练习2:

求集合的元素个数，并求这些元素的和.,练习3：

已知在等差数列an中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.,

（1）问该数列从第几项开始为负？

（2）求S10（3）求使Sn0的最小的正整数n.（4）求|a1|+|a2|+|a3|+|a20|的值,课堂小结,1.根据等差数列前n项和，求通项公式.,2、结合二次函数图象和性质求的最值.,3.等差数列an前n项和的性质,性质1:

Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:

若Sm=p,Sp=m（mp）,则Sm+p=,性质3:

若Sm=Sp（mp）,则Sp+m=,性质4:

（1）若项数为偶数2n,则S2n=n（a1+a2n）=n（an+an+1）（an,an+1为中间两项）,此时有:

S偶S奇=,n2d,0,nd,（m+p）,性质4:

（1）若项数为奇数2n1,则S2n-1=（2n1）an（an为中间项）,此时有:

S偶S奇=,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:

若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5:

为等差数列.,an,作业,P46A组5T,B组2T,4T,