第六章求解线性方程组的迭代法_精品文档.ppt

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1引言,第6章求解线性方程组的迭代法,考虑线性方程组,也就是AX=b.（1.1）,低阶稠密的线性方程组用直接法（如高斯消去法和三角分解法）。

大型稀疏非带状的线性方程组（n很大,且零元素很多.如偏微方程数值解产生的线性方程组,n104）的求解问题？

零元素多，适合用迭代法。

我们将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯塞德尔迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收敛性。

例1求解线性方程组,记为Ax=b,即,精确解x*=（3,2,1）T.,改写（1.2）为,或写为x=B0x+f,即,任取初值,如x（0）=（0,0,0）T,代入（1.3）得到x

（1）=（2.5,3,3）T.,反复迭代,即x（k+1）=B0x（k）+f，（k=0,1,2,）,2基本迭代法,考虑线性方程组,也就是Ax=b.（2.1）,进行矩阵分裂A=M-N,（2.2）,其中M为可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解.,于是,Ax=bx=M-1Nx+M-1b.,可得一阶定常迭代法:

一、雅可比迭代法,可以得到计算公式（雅可比迭代法）：

对k=0,1,二、高斯塞德尔迭代法,还可得到迭代计算公式：

对k=0,1,称为高斯塞德尔迭代法.,例2求解线性方程组（1.2）,取初值x（0）=（0,0,0）T,高斯塞德尔迭代法又等价于：

对k=0,1,SOR迭代法的计算公式:

对k=0,1,三、逐次超松驰（SOR）迭代法,说明:

1）=1,GS;2）运算量;3）1超松驰,1低松驰;,4）控制迭代终止的条件:

例3用上述迭代法解线性代数方程组,初值x（0）=0，写出计算格式。

P242.,作业:

P259,2.,3迭代法的收敛性分析,一、一阶定常迭代法的基本定理,1）Jacobi:

BJ=D-1（L+U），fJ=D-1b;2）Gauss-Seidel:

BG=（D-L）-1U，fG=（D-L）-1b;3）SOR:

BSOR=（D-wL）-1（1-w）D+wU，fSOR=w（D-wL）-1b.,迭代的统一格式：

x（k+1）=Bx（k）+f,例5考察用雅可比迭代法求解线性方程组,定义3

（1）按行严格对角占优：

（2）按行弱对角占优：

上式至少有一个不等号严格成立。

二、某些特殊方程组的迭代收敛性,*定义每行每列只有一个元素是1,其余元素是零的方阵称为置换阵（或排列阵）.,作业:

P259,5.,定理6（对角占优定理）若矩阵A按行（或列）严格对角占优，或按行（或列）弱对角占优且不可约；则矩阵A非奇异。

定理7若矩阵A按行（或列）严格对角占优,或按行（或列）弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。

证明若矩阵A按行严格对角占优，或按行（或列）弱对角占优不可约，则GS迭代收敛。

假若不然，（BG）1，即迭代矩阵BG的某一特征值使得|1，并且,类似地，若矩阵A按行严格对角占优，或按行（或列）弱对角占优不可约，则Jacobi迭代收敛。

假若不然，（BJ）1，即迭代矩阵BJ的某一特征值使得|1，并且,定理9对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当02时，SOR迭代收敛.,证明只需证明1（其中为L的任一特征值）.,定理10对于线性代数方程组Ax=b，若A按行（或列）严格对角占优，或按行（或列）弱对角占优不可约；则当0w1时，SOR迭代收敛。

作业:

P260,7,8.,