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第一节第一节QRQR分解分解QRQR分解也称为正交三角分解分解也称为正交三角分解矩矩阵阵QRQR分分解解是是一一种种特特殊殊的的三三角角分分解解，在在解解决决矩矩阵阵特特征征值值的的计计算算、最最小小二二乘乘法法等等问问题题中中起起到到重重要作用。

要作用。

主要内容：

主要内容：

11矩阵的矩阵的QRQR分解分解-SchmidtSchmidt正交化方法正交化方法22矩阵的矩阵的QRQR分解分解-HouseholderHouseholder变换、变换、GivensGivens变换变换QRQR分解定理分解定理任意一个满秩实任意一个满秩实（复）矩阵复）矩阵AA，都可都可唯一地分解唯一地分解A=QRA=QR，其中其中QQ为为正交（酉）矩阵，正交（酉）矩阵，R是具有正是具有正对角元的上三角矩阵。

对角元的上三角矩阵。

由于由于xx11,xx22,xxnn线性无关，将它们用线性无关，将它们用SchmidtSchmidt正交正交证明证明设设AA是一个实满秩矩阵是一个实满秩矩阵,AA的的nn个列向量为个列向量为xx11,xx22,xxnn定义定义:

设设如果存在如果存在n阶酉矩阵阶酉矩阵Q和和n阶上三角矩阵阶上三角矩阵RR，使得使得则则称之为称之为AA的的QRQR分解或酉三角分解分解或酉三角分解当当时，则称为时，则称为A的正三角分解的正三角分解化方法得标准正交向量化方法得标准正交向量ee11,ee22,eenn其中其中从而有从而有由此得由此得式中式中D=RD=R11RR-1-1仍为具有正对角元的上三角矩阵。

由于仍为具有正对角元的上三角矩阵。

由于即即DD为正交矩阵，因此为正交矩阵，因此DD为单位矩阵（正规上三角为对角阵）为单位矩阵（正规上三角为对角阵）故故说明：

说明：

1若不要求若不要求R具有正对角元，则具有正对角元，则A的不同的不同QR分解仅在正交分解仅在正交矩阵的列和上三角矩阵矩阵的列和上三角矩阵R的对应行相差模为的对应行相差模为1的因子。

的因子。

该该定理的证明过程给出了利用定理的证明过程给出了利用SchmidtSchmidt正交化方法求可逆矩阵正交化方法求可逆矩阵QRQR分解的方法。

分解的方法。

例例求矩阵求矩阵AA的的QRQR分解分解解解22若若AA为满秩复矩阵，则存在酉矩阵为满秩复矩阵，则存在酉矩阵QQ与复非与复非奇异上三角矩奇异上三角矩阵阵RR，使使A=QRA=QR将将正交化正交化整理得整理得令令则则例例11：

利用：

利用SchmidtSchmidt正交化方法求矩阵的正交化方法求矩阵的QRQR分解分解设设则则线性无关，首先将它们正交化得：

线性无关，首先将它们正交化得：

再再单位化单位化：

于是：

于是：

从而从而HouseholderHouseholder变换变换O+O则则记记即：

该变换将向量即：

该变换将向量变成了以变成了以为法向量为法向量的平面的对称向量的平面的对称向量。

HouseholderHouseholder变变换换又又称称为为反反射射变变换换或或镜镜像像变变换换，有有明明显显的的几几何何意意义义。

在在中中，给给定定一一个个向向量量，令令表表示示关关于于平平面面（以以为为法法向向量量）的的反反射射变变换换所所得得像像，如如图所示，图所示，定义定义设设是一个单位向量，令是一个单位向量，令则称则称HH是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵或矩阵或HouseholderHouseholder变换。

变换。

性质性质5.1.15.1.1设设HH是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵，则矩阵，则（11）HH是是HermiteHermite矩阵，矩阵，；（22）HH是酉矩阵，是酉矩阵，；（33）HH是对合矩阵，是对合矩阵，；（44）HH是是自逆矩阵自逆矩阵（55）diagdiag（II,HH）也是一个也是一个HouseholderHouseholder矩阵矩阵;（66）detdetHH=-1=-1。

其中其中为实数。

为实数。

定理定理设设是一个单位向量，则对于任意的是一个单位向量，则对于任意的当当时，取单位向量时，取单位向量使使存在存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵HH，使得使得证明证明当当x=0x=0时，任取单位向量时，任取单位向量则则则则所以所以当当时，取时，取由于由于推论推论11对于任意的对于任意的，存在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵HH，使使其中其中为实数。

为实数。

推论推论22对于任意的对于任意的，存在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵HH上述结论表明，可以利用上述结论表明，可以利用HouseholderHouseholder变换将任意向量变换将任意向量化为与第一自然基向量化为与第一自然基向量平行的向量（共线）平行的向量（共线）。

，其中，其中使得使得得得例例22用用HouseholderHouseholder变换将向量变换将向量化为与化为与平行的向量。

平行的向量。

因此因此解解由于由于为了使为了使为实数，取为实数，取令令则则也也可取可取或或说明说明11将矩阵将矩阵AA按列分块按列分块,取取利用利用HouseholderHouseholder矩阵求矩阵的矩阵求矩阵的QRQR分解的步骤：

分解的步骤：

则则22将矩阵将矩阵按列分块，按列分块，取取则则其中其中则则A=QRA=QR依次进行下去，得到第依次进行下去，得到第n-1n-1个个nn阶的阶的HouseholdHousehold矩阵矩阵HHnn-1-1，使得使得33因因为自逆矩阵，令为自逆矩阵，令例例2：

已知矩阵：

已知矩阵利用利用HouseholderHouseholder变变换求换求AA的的QRQR分解分解因为因为记记令令则则从而从而记记则则令令记记则则取取则则GivensGivens变换变换x2yxO我们知道，平面坐标系我们知道，平面坐标系中的旋转角为中的旋转角为变换可表变换可表示为示为TT是正交矩阵，称为平面旋转矩阵。

是正交矩阵，称为平面旋转矩阵。

将其推广到一般的将其推广到一般的nn维酉空间中，维酉空间中，可以得到初等旋转变换，也称为可以得到初等旋转变换，也称为GivensGivens变换。

变换。

定义定义设设记记nn阶矩阵阶矩阵由由所确定的线性变换称为所确定的线性变换称为GivensGivens变换或初等旋转变换。

变换或初等旋转变换。

称称为为GivensGivens矩阵或初等旋转矩阵；矩阵或初等旋转矩阵；容易验证，容易验证，GivensGivens矩阵是矩阵是酉矩阵酉矩阵，且，且。

定理定理对于任意向量对于任意向量，存在，存在GivensGivens变换变换，使得，使得的第的第ll个分量为个分量为00，第，第kk个分量为非负实数，其个分量为非负实数，其余分量不变。

余分量不变。

证明证明记记由由GivensGivens矩阵的定义可得矩阵的定义可得当当时，取时，取cc=1,=1,ss=0=0，则则TTklkl=II,此时此时当当时，取时，取,结论成立。

结论成立。

则则与第一自然基向量与第一自然基向量推论推论给定一个向量给定一个向量，则存在一组，则存在一组GivensGivens矩阵矩阵，使得使得称为用称为用GivensGivens变换化向量变换化向量证明证明设设由上述定理存在由上述定理存在GivensGivens矩阵矩阵使得使得共线。

共线。

依此继续下去，可以得出依此继续下去，可以得出对于对于又存在又存在GivensGivens矩阵矩阵，使得，使得例例33用用GivensGivens变换化向量变换化向量与第一自然基向量与第一自然基向量共线共线解解由于由于取取则构造则构造GivensGivens矩阵矩阵对于对于由于由于取取则则利用利用GivensGivens矩阵求矩阵的矩阵求矩阵的QRQR分解的步骤：

分解的步骤：

先将矩阵先将矩阵AA按列分块，按列分块，11对于对于存在一组存在一组GivensGivens矩阵矩阵于是于是使得使得又存在一组又存在一组GivensGivens矩阵矩阵使得使得22将矩阵将矩阵按列分块按列分块33令令。

依次进行下去，得到依次进行下去，得到因此因此其中，其中，则则A=QRA=QR说明说明：

利用利用GivensGivens矩阵进行矩阵进行QRQR分解，需要作分解，需要作个初等个初等旋转矩阵的连乘积，旋转矩阵的连乘积，当当n较大时，计算量较大，因此较大时，计算量较大，因此常用镜像变换来进行常用镜像变换来进行QRQR分解分解