矢量的标积和矢量的正交_精品文档.ppt

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量子化学量子化学第三章第三章矩阵与算符矩阵与算符3.1线性代数线性代数（LinearAlgebra）3.2矩阵矩阵（Matrices）3.3行列式行列式（Determinants）3.4算符算符（Operators）3.5量子力学的基本假设量子力学的基本假设1.1.三维矢量代数三维矢量代数三维矢量：

（3.1）（3.2）列矩阵（Columnmatrix）a=,a=（3.3a-3b）http:

/互正交基矢（mutuallyorthogonalbasisvectors）（3.6）利用正交关系（3.6）式有（3.1）式可该写为（3.6）单位并矢式（unitdyadic）其中，（3.7）（3.7）亦称基底的完备性条件，即任何一矢量可表示为基向量的线性组合。

2行矢和列矢行矢和列矢n个分量分别由行矩阵和列矩阵表示。

（3.8）3Dirac符号符号行矢左矢（bravector），以表示.列矢右矢（ketvector）,以|表示.H=转置+共轭（3.9）44矢量的标积和矢量的正交矢量的标积和矢量的正交（3.10）括号-标积，bra&ket由bracket而得.连续函数如果=0，称X和Y正交。

当X=Y时，XHX的平方根称为矢量X的长度或模（norm）,即（3.11）3.2矩阵（Matrices）11矩阵的定义矩阵的定义（3.12）22矩阵的运算矩阵的运算相等A=B,aij=bij（3.13）加法A+B=C,cij=aij+bij（3.14）数乘A=C,cij=aij（3.15）对易纪律和结合律A+B=B+A，A=AA+（B+C）=（A+B）+C（3.16）（a+b）A=aA+bA,（A+B）=A+B矩阵和矩阵相乘矩阵和矩阵相乘nmmknk（i=1,2,n,j=1,2,k）（3.17）例1一般而言ABBA,即矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律ABC=A（BC）=（AB）C转置矩阵、共轭矩阵、转置共轭矩阵转置矩阵、共轭矩阵、转置共轭矩阵A=aijnmAT=ajimnA*=aij*nm例2（3.18）如果F=ABCX则FH=（ABCX）H=XHCHBHA（3.19）33方阵与对角阵方阵与对角阵方阵：

方阵：

行和列相等行和列相等（n=m）.对对角角阵阵：

除除对对角角线线上上各各元元素素外外，其其余余都都是是零的方阵。

零的方阵。

4单位矩阵和纯量矩阵Unitmatrix:

Scalarmatrix:

IA=AI,In=ISA=AS（3.20）55方阵的逆方阵的逆A-1A=AA-1=I（AB）-1=B-1A-1（3.21）6Hermite矩阵和矩阵和Unitary矩阵矩阵Hermitesymmetricmatrix:

A=AHaij=aji*（3.22）Unitarymatrix:

A-1=AH.（3.23）A=AH7方阵的迹（Trace）（3.24）3.3行列式行列式（Determinants）列指标的置换（permutation）.pi为将置换还原所需对换的数目。

（-1）pi称为置换Pi的宇称，偶宇称取+1和奇宇称取1.行列式的计算行列式的计算（3.25）S3=Pip0=0p1=1p2=1p3=1p4=2p5=2例3|A|=a11a22a33a12a21a33a13a22a31a11a23a32a12a23a31a13a21a322.2.行列式的展开行列式的展开=（i=1,2,n）=（j=1,2,n）（3.26）Aij称为aij的余子式-去掉行列式|A|的i行和j列元素后剩下的子行列式。

例4=a11a22a33a11a23a32a12a21a33a12a23a31a13a21a32a13a22a313.4算符算符（Operators）算符算符：

算符是把一个函数变为另一个函数的数学运算符号。

如微分算符，；位置算符x,xf（x）=xf（x）.1算符的加法和乘法算符的加法和乘法如果=+，则=+算符相加如果=（），则=算符乘法22算符的对易算符的对易若,称与对易，反之非对易。

一般情况下，算符的乘法不对易。

定义A,B=ABBA对易关系式例5Dxf（x）=D（xf（x）=f（x）+xf（x）xDf（x）=xf（x）=xf（x）Dxf（x）=（I+xD）f（x）orDx=I+xDExercise令求33算符的平方算符的平方2=44线性算符线性算符如果c1f1（x）+c2f2（x）=c1f1（x）+c2f2（x）则为线性算符。

一般而言，也是线性算符an（x）n+an-1（x）n-1+a1（x）+a0（x）（3.27）线性算符满足下列等式（3.28）55本征函数、本征值和本征方程本征函数、本征值和本征方程（Eigenfunctions,eigenvaluesandeigenequation）如果算符作用于f（x）等于某一常数乘以f（x），即f（x）=kf（x）（3.29）f（x）本征函数，k本征值。

Schroedinger方程Schroedinger方程的算符形式（3.30）其中（3.31）Hamilton算符，2Laplace算符。

66算符与量子力学算符与量子力学经典力学量子力学与时间有关的Schroedinger方程（3.32）（3.33）77平均值平均值（Averagevalues）（3.35）例6令求.8Hermite算符算符（3.36）在量子力学中常用线性算符表示力学量G，由（3.35）可求得力学量的平均值（3.37）由于力学量为实数，则量子力学中表示力学量的算符一定是线性Hermite算符。

3.53.5量子力学的基本假设量子力学的基本假设1基本概念基本概念力力学学量量：

时间、位置、速度、质量、角动量、势能、动能、总能量等。

状态函数状态函数描述微观体系的状态；算符：

2基本假设基本假设假设假设I状态函数和几率。

假设假设II力学量与线性Hermite算符。

力学量及其算符力学量算符时间t位置qi动量pi角动量Mz=xpy-ypz动能总能H=T+V假设假设III力学量的本征状态和本征值（3.38）微观体系的力学量G在状态（q,t）下具有确定的值G0,G0称为G的本征值，（q,t）称为G的本征状态，（3.38）称为G的本征方程。

定理定理：

线性Hermite算符属于不同本征值的本征函数相互正交。

，（3.39）若gi组成分立谱，本征函数i可归一化（3.40）合并（3.39）和（3.40）式（3.41）满足（3.41）式的函数集合i，称为正交归一集合。

可以证明这一集合组成完全集合（completeset）.即任何函数f（x）可由集合表示（3.42）态叠加原理（3.43）假设假设IV态随时间变化的Schroedinger方程（3.44）Schroedinger方程的第二式。

假设假设IVPauli互不相容原理（自旋假定）非相对论量子力学的补充假设，在Dirac相对论量子力学，自旋是其理论的自然结论