数列极限.ppt

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第一章二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质三三、极限存在准则、极限存在准则一、数列极限的定义一、数列极限的定义1.2数列的极限数列的极限一、数列的定义一、数列的定义定义定义:

叫叫数列数列，记作记作称为称为通项通项（一般项一般项）.按一定顺序排列的无穷多个数按一定顺序排列的无穷多个数例如例如2.2.数列是自变量取正整数数列是自变量取正整数n的函数记为的函数记为注：

注：

1.1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作可看作一动点在数轴上依次取一动点在数轴上依次取趋势不定趋势不定收收敛敛发发散散“当当n无限增加时无限增加时,xn与与a无限接近无限接近”能定量刻画吗？

能定量刻画吗？

描述性定义描述性定义:

xn为数列，为数列，a为常数，如果当为常数，如果当n无限增加无限增加否则称数列否则称数列发散发散.时，时，xn与与a无限接近，称无限接近，称xn的极限是的极限是a.记作：

记作：

为数列，为数列，a为常数为常数,当当nN时时,总有总有记作：

记作：

此时也称数列收敛此时也称数列收敛,否则称数列发散否则称数列发散.或或则称该数列则称该数列的极限为的极限为a,分析定义分析定义:

二、数列极限的定义二、数列极限的定义因为因为所以任给所以任给当当nN时时,几何解释几何解释:

注注:

2.N与与有关有关,但不唯一但不唯一.1.为任意给定的正数，从而刻画了为任意给定的正数，从而刻画了与与a的接近程度，的接近程度，N刻画刻画n增大的程度增大的程度分析定义用来证明极限的存在性。

分析定义用来证明极限的存在性。

例例1.证明：

证明：

例例2.设设证明等比数列证明等比数列三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质性质性质1：

收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.性质性质2：

收敛数列一定有界收敛数列一定有界.推论：

推论：

无界数列必定发散无界数列必定发散.推论：

若数列有两个子数列收敛于不同的极限推论：

若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散则原数列一定发散.性质性质3：

收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.四四.极限的四则运算法则极限的四则运算法则则则注：

定理中的注：

定理中的

（1）

（1）与与

（2）

（2）可以推广到有限个数列的情形可以推广到有限个数列的情形.定理定理（有理运算法则有理运算法则）设设例例2例例3例例1五五.极限存在准则极限存在准则准则准则I：

迫敛准则（夹逼准则）：

迫敛准则（夹逼准则）注意注意:

迫迫敛准准则给出了判定数列收出了判定数列收敛的方法的方法,而且提供了而且提供了求极限的一种方法求极限的一种方法.例例1解解由迫敛定理得由迫敛定理得练习：

练习：

证明证证:

利用迫敛准则利用迫敛准则.且且由由2.单单调有界准则调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列准则准则II（单调有界准则单调有界准则）单调有界数列必有极限。

单调有界数列必有极限。

例例3.设证明数列证明数列极限存在极限存在.记此极限为记此极限为e,e为无理数为无理数,其值为其值为即即内容小结内容小结1.数列极限的数列极限的“N”定义及应用定义及应用2.收敛数列的性质收敛数列的性质:

唯一性唯一性;有界性有界性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限四则运算性质四则运算性质3.数列极限存在准则数列极限存在准则迫敛准则；单调有界迫敛准则；单调有界准则准则作业：

作业：