学年广西桂林市高二上学期期末考试理数学试题解析版.docx
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学年广西桂林市高二上学期期末考试理数学试题解析版
广西桂林市2020-2021学年高二上学期
期末考试（理）试题
（考试用时120分钟，满分150分）
第I卷选择题
一､选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.
1.命题“若，则”的逆命题是（）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
『答案』B
『解析』由命题“若，则”，
其逆命题为：
若，则.
故选：
B
2.不等式的解集为（）
A.或B.
C.或D.
『答案』B
『解析』因为，
所以或，解得或，
综上可得，不等式的解集为，
故选：
B.
3.若､､且，则一定有（）
A.B.C.D.
『答案』A
『解析』对于A，由，则，故A正确；
对于B，由，则，当时，，故B不正确；
对于C，当时，，故C不正确；
对于D，当，则，故D不正确；
故选：
A
4.在等差数列中，若，，则（）
A.6B.8C.16D.32
『答案』B
『解析』因为等差数列中，，，
所以公差，则，
故选：
B.
5.的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（）
A.B.C.D.
『答案』A
『解析』因为，，，
所以由正弦定理可得，
则，故选：
A.
6.已知变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）
A.0B.1C.2D.3
『答案』C
『解析』画出约束条件所表示的平面区域如下（阴影部分），
又目标函数可化为，
因此表示直线在轴的截距；
由图像可得：
当直线过点时，在轴的截距最大，即取最大值；
由图像易得，所以.故选：
C.
7.双曲线的渐近线方程是（）
A.B.C.D.
『答案』B
『解析』由题意可知，双曲线的渐近线方程为.
故选：
B.
8.已知命题：
，，则命题的否定为（）
A.：
，B.：
，
C.：
，D.：
，
『答案』C
『解析』命题：
，，为全称量词命题，
其否定为存在量词命题，故：
，
故选：
C.
9.的内角的对边分别为，且，，，则的面积为（）
A.B.C.D.
『答案』D
『解析』在中，由，，，
则．
故选：
D．
10.若则是的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
『答案』A
『解析』因为等价于，
∴“a>2”是“a<2或a>2”的充分不必要条件．
故选A.
11.已知，.且，若恒成立，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
『答案』D
『解析』因为，故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9，故，
故选：
D.
12.设抛物线：
的焦点为，过的直线与于两点，为坐标原点.若，则的面积为（）
A.B.C.D.
『答案』C
『解析』抛物线的焦点为，准线方程为，
不妨设在第一象限，设，、，，
，所以到准线的距离为3，，
解得，，
直线的斜率为
直线的方程为，
由，整理可得，
解得，，当时，，
因此的面积为：
．
故选：
C.
第Ⅱ卷非选择题
二､填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，则的最小值是___________.
『答案』4
『解析』因为，则，当且仅当时取等.
故答案为:
4.
14.设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两焦点距离之和为_____.
『答案』8
『解析』由，得，
由椭圆的定义可得到该椭圆的两个焦点的距离之和为.
故答案为：
15.若等比数列的各项均为正数且，则_____.
『答案』10
『解析』∵等比数列的各项均为正数，且，
.
故答案为：
10.
16.已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若，，则的离心率为________.
『答案』2
『解析』因为，所以，即，
所以为点到渐近线的距离，
，
所以，可得点为的中点，
又因为，所以，所以，
设双曲线的左焦点为，，
则，
因为，所以，
所以，，所以，
因为为中点，所以，，
将代入整理可得：
即，
所以，可得，解得：
或（舍），
故答案为：
三､解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明､证明过程及演算步骤.
17.记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求.
『解』
（1）∵等差数列中，，，
∴，，解得，，
∴
（2）∵，，∴
18.已知，命题：
，；命题：
，.
（1）若是真命题，求的最大值；
（2）若是真命题，是假命题，求的取值范围.
『解』
（1）若命题：
，为真，
∴则令，，
又∵，∴，∴的最大值为1.
（2）因为是真命题，是假命题，所以与一真一假，
当是真命题时，，解得或，
当是真命题，是假命题时，有，解得；
当是假命题，是真命题时，有，解得；
综上，的取值范围为.
19.如图，在中，是上的点，，，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
『解』
（1）在中，
又，所以.
（2）由
（1）知，，所以，
又，所以，，由，知，
所以.
20.某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为的矩形，房高为.因地理位置的限制，房屋侧面的宽度不得超过5米，房屋正面的造价为400元/房屋侧面的造价为150元/，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，不计房屋背面的费用，设房屋的总造价为元.
（1）求用表示的函数关系式；
（2）当为多少时，总造价最低？
最低总造价是多少？
『解』
（1）因为侧面宽度为米，所以正面长度为米，
依题意得：
（2）因为，当且仅当即时取等号，
所以，∴时，（元），
所以当侧面的宽度为4米时，总造价最低，最低总造价为13000元.
21.设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：
.
『解』
（1）当时，
当时，①
②
1②得：
，∴.
当时，，上式也成立，∴
（2）由
（1）知.
当时，，
当时，
∴
22.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点恰好围成面积为的等边三角形.
（1）求的方程；
（2）如图，设的左，右顶点分别为，右焦点为，是上异于的动点，直线与直线交于点，当点运动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明.
『解』
（1）设椭圆半焦距为，依题意有，
∴，，，
故的方程为.
（2）以为直径的圆与直线相切，
证明如下：
易知，，.
由题意可设直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为.
由得.
设点的坐标为，则.
所以，.
①当时，点的坐标为，
点的坐标为，直线轴，
此时以为直径的圆与直线相切.
②当时，则直线的斜率，
所以直线的方程为.
点到直线的距离
.
又因为，故以为直径的圆与直线相切.
综上，当点运动时，以为直径的圆与直线相切.
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