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大学物理答案第十章doc

第十章静电场中的导体与电介质

10－1将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将

（）

（A）升高（B）降低（C）不会发生变化（D）无法确定

分析与解不带电的导体B相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A移到不带电的导

体B附近时，在导体B的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无

穷远处，因而正确答案为（A）.

10－2将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N，在N的左端感应出正电荷，右端感应出

负电荷.若将导体N的左端接地（如图所示），则（）

（A）N上的负电荷入地（B）N上的正电荷入地

（C）N上的所有电荷入地（D）N上所有的感应电荷入地

题10-2图

分析与解

导体N接地表明导体N为零电势，即与无穷远处等电势，

这与导体N在哪一端接地

无关.因而正确答案为（

A）.

10－3如图所示将一个电量为

q的点电荷放在一个半径为

R的不带电的导体球附近，点电荷

距导体球球心为d，参见附图

.设无穷远处为零电势，则在导体球球心

O点有（

）

（A）E

0,V

（B）E

4π

ε0d

（C）E

0,V0

（D）E

4π

ε0d

ε0R

题10-3图

分析与解

达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零

.点电荷

在导

体球表面感应等量异号的感应电荷±

q′，导体球表面的感应电荷±

q′在球心

O点激发的电势

为零，

点的电势等于点电荷

q在该处激发的电势

.因而正确答案为（

A）.

10－4

根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于

这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是（）

（A）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷

（B）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零

（C）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷

（D）介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关

（E）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关

分析与解电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面

内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量

与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E）.

10－5对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（）

（A）电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定

等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍

（B）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的

εｒ倍

（C）在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强

度的1/εｒ倍

（D）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的

εｒ倍

分析与解

电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，

由于极

化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充

满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S有

1χEdS

E0dS

εi

即E

＝E０/εｒ，因而正确答案为（

A）.

10－6

不带电的导体球

A含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷

、qc

，导体球

外距导体球较远的

r处还有一个点电荷

（如图所示）

.试求点电荷

、qc

、qd

各受多大

的电场力

题10-6图

分析与解根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面

感应电荷；导体球A外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷

qd的作用力.

qbqcqd

Fd4πεr2

点电荷qd与导体球A外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电

荷qb、qc处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷

qb、qc受到的作用

力为零.

10－7一真空二极管，其主要构件是一个半径

R１＝×10

－4m的圆柱形阴极和一个套在阴极

外、半径R＝×10

－3

m的同轴圆筒形阳极．阳极电势比阴极电势高

300V，阴极与阳极的长

２

度均为L＝×10－２

m．假设电子从阴极射出时的速度为零．求：

（１）

该电子到达阳极时

所具有的动能和速率；（２）电子刚从阳极射出时所受的力．

题10-7图

分析

（1）由于半径R１＜＜L，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场

具有轴对称性．从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于

电场力所作的功，也即等于电子势能的减少．由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率．

（2）计算阳极表面附近的电场强度，由F＝qE求出电子在阴极表面所受的电场力．解

（1）电子到达阳极时，势能的减少量为

EepeV4.81017J

由于电子的初始速度为零，故

EekEek

Eep

4.8

1017J

因此电子到达阳极的速率为

2Eek

2eV

1.03

-1

（2）两极间的电场强度为

2πε0rer

两极间的电势差

lnR2

Edr

2π0r

2π0R1

负号表示阳极电势高于阴极电势．阴极表面电场强度

2πε0R1

R1ln

电子在阴极表面受力

FeE（4.371014N）er

－3１

这个力尽管很小，但作用在质量为９.1１×10kg的电子上，电子获得的加速度可达重力

加速度的5×10１5

倍．

10－8一导体球半径为R

，外罩一半径为R2

的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为

Q，

１

而内球的电势为V０．求此系统的电势和电场的分布．

分析

若V0

，内球电势等于外球壳的电势，

则外球壳内必定为等势体，

电场强度

4πε0R2

处处为零，内球不带电．

若V0，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带

4πεR

电．一般情况下，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电

荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由

Edl或电势叠加求出电势的

分布．最后将电场强度和电势用已知量

V0、Q、R１

、R2表示．

题10-8图

解根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定

理E

4πr2

Erq/ε0，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，

解得各区

域内的电场分布为

r＜R

时，

E1r

１

R＜r＜R

时，E2

１

4πε0r2

时，

r＞R

4πε0r2

由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布．

r＜R１时，

Edl

1dl

E3dl

E2dl

4π0R1

4π0R2

R１＜r＜R2时，

Edl

2dl

E3dl

4π0r

4π0R2

r＞R2时，

V3rE3

4π0r

也可以从球面电势的叠加求电势的分布：

在导体球内（r＜R１）

4πεR

ε0R1

在导体球和球壳之间（

R１＜r＜R2）

4πε0r

4πε0R2

在球壳外（r＞R2）为

4π0r

由题意

4πεR

ε0R2

得

q4π0R1V0R1Q

于是可求得各处的电场强度和电势的分布：

r＜R１时，

E10；V1V0

R１＜r＜R2时，

R1V0

R1Q

；V2

R1V0

（rR1）Q

4πεRr2

4π0R2r

时，

r＞R

R1V0

（R2

R1）Q

；V3

R1V0

（R2R1）Q

4π0R2r2

4π0R2r

10－9

地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为

100km，试估算地球－电离层

系统的电容．设地球与电离层之间为真空．

解由于地球半径R1＝×106m；电离层半径R2＝×105m＋R1＝×106m，根据球形电

容器的电容公式，可得

C4πε0

R1R2

4.58102

R2R1

10－10两线输电线，其导线半径为

3.26mm，两线中心相距

0.50m，导线位于地面上空很

高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容．

分析假设两根导线带等量异号电荷，电荷在导线上均匀分布，则由长直带电线的电

场叠加，可以求出两根带电导线间的电场分布,

EEE

再由电势差的定义求出两根导线之间的电势差，就可根据电容器电容的定义，求出两线输电线单位长度的电容

解建立如图坐标，带等量异号电荷的两根导线在P点激发的电场强度方向如图，由上述分析可得P点电场强度的大小为

E（）

2π0xdx

电场强度的方向沿x轴，电线自身为等势体，依照定义两导线之间的电势差为

Edl

（

）dx

2π0

上式积分得

lndR

πε0

因此，输电线单位长度的电容

λπε0

/lndR

πε0

/lnd

代入数据C5.521012F

题10-10图

10－11电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底

板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）.当按下按键时电容发

生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号.假设金属片面积为50.0

mm2，两金属片之间的距离是0.600mm.如果电路能检测出的电容变化量是pF，试问按键

需要按下多大的距离才能给出必要的信号

题10-11图

分析按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下

的最小距离：

解按下按键时电容的变化量为

Cε0S1

按键按下的最小距离为

dmind0d

Cd02

0.152

10－12一片二氧化钛晶片，其面积为

1.0cm2

，厚度为0.10mm．把平行平板电容器的两

极板紧贴在晶片两侧

（1）求电容器的电容；（

2）当在电容器的两极间加上12V电压时，

极板上的电荷为多少

此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少

（3）求电容器内的电

场强度．

解

（1）查表可知二氧化钛的相对电容率

εr

＝173，故充满此介质的平板电容器的电容

εεr0S

1.53

109F

（2）电容器加上U＝12V的电压时，极板上的电荷

1.84

108C

极板上自由电荷面密度为

1.84

-2

晶片表面极化电荷密度

σ0

1σ01.83104Cm-2

εr

（3）晶片内的电场强度为

1.2

105

m-1

10－13如图所示，半径R＝0.10m的导体球带有电荷

Q＝×10

－８

C，导体外有两层均匀

介质，一层介质的

εr

＝0.10m，另一层介质为空气，充满其余空间．求：

（

1）

＝，厚度d

离球心为r＝5cm、15cm、25cm处的D和E；

（2）离球心为r

＝5cm、15cm、25cm

处

的V；（3）极化电荷面密度σ′．

题10-13图

分析带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介

质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的．任取同心球面为高斯面，电位移矢量

D的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D呈均匀对称分布，由高斯定理

DdSq可得D（r）．再由ED/εε可得E（r）．

00r

介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系VEdl求得，或者由电势叠

加原理求得．

极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度Pn．

解

（1）取半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理得

＜R

D14πr2

0；E1

＜

＋

4π2

；E2

4πr2

4πεε0rr2

r＞R＋d

D34πr2

；E3

4πr2

4π0r2

将不同的r

值代入上述关系式，可得

r＝5cm、15cm

和25cm

时的电位移和电场强度的大

小，其方向均沿径向朝外．

＝5cm，该点在导体球内，则

Dr1

；Er1

＝15cm，该点在介质层内，εｒ

＝，则

Dr2

3.510

4π2

Er2

8.010

4π

εε0rr2

＝25cm，该点在空气层内，空气中

ε≈ε0，则

Dr3

1.3108Cm2；

4πr32

Er3

1.4103Vm1

4π0r2

（2）取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得

＝25cm，

360V

4π

ε0r

r2＝15cm，

E3dr

E2dr

4π0rr2

4π0rRd4π0

480V

r1＝5cm，

4πεε0rR

4πε0R

540V

（3）均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率略．故在介质外表面；

ε＝ε0，极化电荷可忽

εr

1ε0En

εr

4π

εr

σPn

εr

21.6108C

4πεr

在介质内表面：

εr

1ε0En

εr

4π

εrR

σPn

εr

6.410

4π

εrR

介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号．

10－14人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷

.设某细胞壁厚为

－9

×10m，两表面所

带面电荷密度为±

×10

－3C／m2

，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为，

求

（1）细胞壁内的电场强度；（

2）细胞壁两表面间的电势差．

解

（1）细胞壁内的电场强度

（2）细胞壁两表面间的电势差

9.8

106V/m；方向指向细胞外．

εε

5.1

102V．

10－15如图（a）所示，有两块相距为的薄金属板A、B构成的空气平板电容器被屏蔽在

一金属盒Ｋ内，金属盒上、下两壁与A、B分别相距0.25mm，金属板面积为30mm×40mm.

求

（1）被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍

2）若电容器的一个引脚不慎与金属

题10-15图

分析薄金属板A、B与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（ｂ）所示，由于

两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A、B间的电

容.

解

（1）由等效电路图可知

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