高考理科全国1卷数学解析.docx
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高考理科全国1卷数学解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
1.已知集合Mx4x2，N{xx2x60，则MN=
A.{x4x3B.{x4x2C.{x2x2D.
{x2x3
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数
形结合的思想解题．
【详解】由题意得，Mx4x2,Nx2x3，则
MNx2x2．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括
二者部分．
2.设复数z满足z
i=1，z在复平面内对应的点为
（x，y），则
A.
（x+1）2
y2
1
B.（x1）2
y2
1
C.x2
（y1）2
1
D.
x2
（y+1）2
1
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点
（0，1）之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】zxyi,zix（y1）i,zix2（y1）21,则x2（y1）21．故选C．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式
法或几何法，利用方程思想解题．
3.已知alog20.2,b20.2,c0.20.3，则
A.abcB.acbC.cabD.
bca
【答案】B
【解析】
【分析】
运用中间量
0比较a,c，运用中间量1比较b,c
【
详
解
】
alog20.2log21
0,b20.2
20
1,00.20.3
0.20
1,则
0
c
1,a
c
b．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，
渗透了直观想象和数学运算素养．
采取中间变量
法，利用转化与化归思想解题．
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
51
2
（51≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体
2
的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51．若某人满足上述两个黄金分割
2
比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm
【答案】B
【解析】
【分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
【详解】设人体脖子下端至腿根的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则
26
26x
51
42.07cm,y5.15cm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下
x
y105
，得x
2
端的长度为26cm，所以其身高约为
42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．
【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利
用转化思想解题．
sinxx
5.函数f（x）=cosxx2在[—π，π]的图像大致为
A.B.
C.D.
【答案】
【解析】
【分析】
D
先判断函数的奇偶性，得
f（x）
是奇函数，排除
A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正
确答案．
sin（
x）
（
x）
sinx
x
f（x），得f（x）是奇函数，其图象关
【详解】由f（x）
x）
（
x）2
cosx
x2
cos（
于原点对称．又f（）
1
2
4
2
20．故选D．
21,f（）
1
2
（
）
2
2
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、
直观想象和数学运算素养．采取性
质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻
组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重
卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
5
11
21
11
A.
B.
C.
D.
16
32
32
16
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算
等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳
爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有
2中情况，一重卦的6爻有26情况，其中
6爻中恰有
3个阳爻
情况有C63
，所以该重卦恰有
3个阳爻的概率为
C63
=5，故选A．
26
16
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，
首先要分析元素是否可重复，
其次要分析是排
列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，
满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
7.已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为
π
π
2π
5π
A.
B.
C.
D.
6
3
3
6
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化
归、数学计算等数学素养．先由（ab）
b得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利用向
量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为
（ab）b，所以（a
b）b
ab
b2
=0，所以a
bb2，所以cos=
ab
|b|2
1
a与b的夹角为
，故选B．
ab
2|b|2
，所以
2
3
【点睛】对向量夹角的计算，
先计算出向量的数量积及各个向量的摸，
在利用向量夹角公式
求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为
[0,]．
1
8.如图是求2
1
的程序框图，图中空白框中应填入
2
1
2
1
B.A=2
1
1
A.A=
C.A=
D.A=
2A
A
12A
1
1
2A
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查算法中的程序框图，
渗透阅读、分析与解决问题等素养，
认真分析式子结构特
征与程序框图结构，即可找出作出选择．
1,k
1
1
，k
k
1
【详解】执行第1
次，A
12是，因为第一次应该计算
1
=
2
2
2
2
A
1
=2，循环，执行第
2次，k
2
2，是，因为第二次应该计算
1
=
1
，k
k
1
2
1
2
2
A
2
=3，循环，执行第
3次，k
2
2，否，输出，故循环体为
1
，故选A．
A
A
2
1
【点睛】秒杀速解
认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为
A
．
2
A
9.记Sn
为等差数列{an}的前n项和．已知S4
0，a5
5，则
A.
an
2n
5
B.an3n10
C.
Sn2n2
8n
D.
Sn
1n2
2n
2
【答案】A
【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前n
项和公式．本题还可用排除，对B，a5
5，
S4
4（72）
10
0，排除B，对C，S4
0,a5
S5
S4
252
8
5010
5，
2
排除C．对D，S4
0,a5
S5
S4
1
52
25
0
5
5，排除D，故选A．
2
2
S4
4a1
d
4
3
0
a1
3
an
n
5，故选
【详解】由题知，
2
，解得
，∴
A．
2
a5
a1
4d
5
d
2
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前
n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素
养．利用等差数列通项公式与前
n项公式即可列出关于首项与公差的方程，
解出首项与公差，
在适当计算即可做了判断．
10.已知椭圆C的焦点为
F1（1,0），F2（1,0），过F2
的直线与
C
交于
，
两点若
AB
.
│AF│2
2│F2B│
1
，│AB││BF│，则C的方程为
A.
x2
y
2
1
x2
y2
x2
y2
D.
2
B.
1
C.
1
3
2
4
3
x2
y2
1
5
4
【答案】B
【解析】
【分析】
可以运用下面方法求解：
如图，由已知可设
F2B
n，则AF2
2n,BF1
AB
3n
，
由椭圆的定义有
2a
BF1
BF2
4n,
AF1
2a
AF2
2n
．在
△
12
△BFF
中，
AFF
和
12
由余弦定理得
4n2
4
22n2cos
AF2F1
4n2,
，又AFF,
BFF互补，
n2
4
2n2cosBF2F1
9n2
2
1
2
1
cosAFF
cosBFF
，0两式消去cos
AFF,cos
BFF
，得
3n
2
6
11n
2
，
2
1
2
1
2
1
2
1
解得n
3．
2a
4n
23,a
3,
b2
a2
c2
3
1
2,
所求椭圆方程为
2
x2
y2
1，故选B．
3
2
【详解】如图，由已知可设
F2B
n，则AF2
2n,BF1
AB
3n
，由椭圆的定义有
2aBF1
BF2
4n,AF1
2aAF2
2n．在△AF1B中，由余弦定理推论得
cosF1AB
4n2
9n2
9n2
1
2
2
2
1
4，
2
2n
3n
．在△AF1F2中，由余弦定理得4n
4n
2n2n
3
3
解得n
3．
2
2a4n23,a3,b2a2c2312,所求椭圆方程为x2y21，
32
故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，
很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
11.关于函数f（x）
sin|x||sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数
②f（x）在区间（
）单调递增
2
③f（x）在[,
]有4个零点
④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数f
x
sinx
sinx，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
f
x
sin
x
sinxsinx
sinx
f
x,f
x
为偶函数，故①
正确．当
2
x
时，f
x
2sinx，它在区间
单调递减，故②错误．当0x
2
时，
f
x
2
si
nx
0
；当
x
0
时，
，它有两个零点：
fxs
in
x
sixn
，它2有x一s个i零n点：
，故f
x在
有3
个零点：
0
，故③错误．当x2k,2k
kN
时，f
x2sinx；当
x2k
2k
2
kN
时，fx
sinxsinx，0又f
x为偶函数，
fx
的最大值为
2
，故④正确．综上所述，①④
正确，故选C．
【点睛】画出函数
f
x
sinx
sinx的图象，由图象可得①④正确，故选
C．
12.已知三棱锥
P-ABC的四个顶点在球
O的球面上，
PA=PB=PC，△ABC是边长为
2的正三
角形，
E，F分别是
PA，PB的中点，∠
CEF=90°，则球
O的体积为
A.86
B.46
C.26
D.6
【答案】
D
【解析】
【分析】
先证得
PB
平面
PAC，再求得
PA
PB
PC
2
，从而得
P
ABC为正方体一部分，
进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】解法一:
PAPBPC,ABC为边长为2的等边三角形，PABC为正三
棱锥，
PB
AC，又E，F分别为PA、AB中点，
EF//PB，
EF
AC，又EFCE，CE
AC
C,
EF
平面PAC，PB
平面PAC，
PAB
PA
PB
PC
2，
P
ABC为正方体一部分，
2R
222
6
，即R
6,
V
4
R3
4
66
6，故选D．
2
3
3
8
解法二:
设PA
PB
PC
2x，E,F分别为PA,AB中点，
EF//PB，且EF
1PB
x，
ABC为边长为
2的等边三角形，
2
CF
3又
CEF
90
CE
3
x2
AE
1PA
x
2
AEC中余弦定理cos
EAC
x2
4
3
x2
，作PD
AC于D，
PAPC，
22
x
AD
1
x
2
4
3
x
2
1，
QD为AC中点，cos
EAC
，
PA
2x
4x
2x
2x2
12
x2
1
x
2，
PA
PB
PC
2，又AB=BC=AC=2，
2
2
PA,PB,PC两两垂直，
2R
2
2
2
6，
R
6，
2
V
4R3
4
6
6
6，故选D.
3
3
8
【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到
三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y3（x2x）ex在点（0,0）处的切线方程为．
【答案】3xy0.
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得
切线方程
【详解】详解：
y/3（2x1）ex3（x2x）ex3（x23x1）ex,
所以，ky/|x03
所以，曲线y3（x2x）ex在点（0,0）处的切线方程为y3x，即3xy0．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计
算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
14.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1
1，a42
a6，则S5=
．
【答案】121
3
.
3
【解析】
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到
S5．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】设等比数列的公比为
q，由已知a1
1,a4
2
a6
，所以（1q3）2
1q5,又q
0，
3
3
3
1
5
所以q3,所以
S5
a1（1
q5）
3（1
3）
121
．
1
q
1
3
3
【点睛】准确计算，是解答此类问题基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式
分式计算，部分考生易出现运算错误．
15
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